管理决策分析模糊决策和灰色决策方法学习教案

会计学1管理决策管理决策(juc)分析模糊决策分析模糊决策(juc)和和灰色决策灰色决策(juc)方法方法第一页，共86页。2022-5-1例例9-1 以年龄为论域以年龄为论域,U=0,100,以以A表示模糊子集表示模糊子集“年轻年轻”.一一般认为般认为25岁以下的人均岁以下的人均(rn jn)为年轻为年轻,超过超过25岁的人岁的人“年轻年轻”程程度逐年下降度逐年下降.A的隶属函数为的隶属函数为 10025,5251250, 1)(12uuuuA 其图形其图形(txng)如图如图9-1所示所示.第1页/共85页第二页，共86页。2022-5-130岁的人在多大程度上属于岁的人在多大程度上属于“年轻年轻(ninqng)”这个范畴这个范畴,容容易计算易计算5 . 0)30( A 即即30岁的人隶属岁的人隶属(lsh)“年轻年轻”集合的程度集合的程度为为0.5. 当模糊子集的隶属函数当模糊子集的隶属函数(hnsh) 的取值仅为的取值仅为0或或1时时,模模糊子集就退化为普通子集糊子集就退化为普通子集,隶属函数隶属函数(hnsh)就变为特征函数就变为特征函数(hnsh).因此因此,普通子集就是模糊子集的特例普通子集就是模糊子集的特例.)(uA 当论域当论域U为有限集时为有限集时,模糊子集模糊子集A表示为表示为nnAAAuuuuuuA/ )(/ )(/ )(2211 ), 2, 1,(),/()(1niUuuuiniiiA iiAuu / )( 这里这里,“”,“”不表示数字和不表示数字和, , 也不表示分数也不表示分数, ,而是表示而是表示模糊集中的元素模糊集中的元素u ui i及其对应的隶属度及其对应的隶属度)(iAu第2页/共85页第三页，共86页。2022-5-1)( ,/ )(UuuuAUA 其中其中“”也不表示也不表示(biosh)积分积分. 有限有限(yuxin)集论域集论域U上的模糊集也可以表示为上的模糊集也可以表示为)(,),(),(21nAAAuuuA 2. 隶属函数的常见隶属函数的常见(chn jin)类型类型 偏小型偏小型(戒上型戒上型) cucucuaub, 1,)(1)(1 同样同样,当论域当论域U为无限集时为无限集时,模糊子集模糊子集A表示为表示为第3页/共85页第四页，共86页。2022-5-1其中其中, cU 是任一点是任一点(y din),参数参数a0,b0.图形如图图形如图9-2. 偏大型偏大型(dxng)(戒下戒下型型) cucuacuub,)(1, 0)(1 其中其中(qzhng), cU 是任一点是任一点,参数参数a0,b0.图形如图图形如图9-3.第4页/共85页第五页，共86页。2022-5-1 中间中间(zhngjin)型型(正态型正态型) 2)()(cuaeu 其中其中(qzhng), cU 是任一点是任一点,参数参数a0.图形如图图形如图9-4,表示充分接近元素表示充分接近元素c的模糊集的模糊集.第5页/共85页第六页，共86页。2022-5-1 3.模糊模糊(m hu)子集的运算子集的运算 设设A,B为论域为论域U上的模糊子集上的模糊子集,模糊子集的主要运算模糊子集的主要运算(yn sun)法则是法则是: 相等相等(xingdng). 如果如果A=B,则有则有)()(uuBA 包含包含. 如果如果 ,则有则有BA )()(uuBA 余集余集. 如果如果A余集是余集是 ,则有则有 A)(1)(uuAA 并集并集. 如果如果A、B的并集是的并集是 ,则有则有)()()(),(max)(uuuuuBABABA BA第6页/共85页第七页，共86页。2022-5-1 交集交集(jioj). 如果如果A、B的交集的交集(jioj)是是 ,则有则有BA)()()(),(min)(uuuuuBABABA 模糊模糊(m hu)子集的并集子集的并集 和交集和交集 可以用图可以用图9-5表示表示BABA 曲线曲线(qxin)1,2(qxin)1,2表示并集表示并集 曲线曲线3 3，4 4表示交集表示交集 第7页/共85页第八页，共86页。2022-5-1 例例9-2 设设U=u1,u2,u3,u4,u5, ,/ 1 . 0/ 4 . 0/7 . 0/ 9 . 04321uuuuA ,/ 1 . 0/ 3 . 0/ 8 . 0/ 5 . 0/ 2 . 054321uuuuuB 则有则有 543211 . 003 . 01 . 08 . 04 . 05 . 07 . 02 . 09 . 0uuuuuBA 54321/ 1 . 0/ 3 . 0/ 8 . 0/7 . 0/ 9 . 0uuuuu 543211 . 003 . 01 . 08 . 04 . 05 . 07 . 02 . 09 . 0uuuuuBA ,/ 1 . 0/ 4 . 0/ 5 . 0/ 2 . 04321uuuu 第8页/共85页第九页，共86页。2022-5-1 和普通集合运算和普通集合运算(yn sun)律类似律类似,模糊子集交、并、余集模糊子集交、并、余集满足下列运算满足下列运算(yn sun)律：律： 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律ABBA ABBA CBACBA)()( CBACBA)()( )()()(CABACBA )()()(CABACBA 第9页/共85页第十页，共86页。2022-5-1 对偶对偶(du u)律律 吸收吸收(xshu)律律ABAA )(ABAA )(BABA BABA 4. 模糊模糊(m hu)子集和普通子集的转化子集和普通子集的转化 定义定义9.2 设设A是论域是论域U上的模糊子集上的模糊子集,任取任取 ,集合集合 1, 0 UuuuAA ,)(| 则则A称为模糊子集称为模糊子集A的的截集截集,其中其中称为阈值或置信水平称为阈值或置信水平.模模糊子集糊子集A与它的与它的截集的关系如图截集的关系如图9-6.第10页/共85页第十一页，共86页。2022-5-1 根据根据(gnj)截集的定义，推出截集的性质截集的定义，推出截集的性质: BABA )( BABA )( 21,1, 0,2121 AA 则则且且若若第11页/共85页第十二页，共86页。2022-5-1 当当=1时时,截集截集A1的范围最小的范围最小,称为模糊子集称为模糊子集A的核的核; 当当0+时时,得到得到(d do)范围最大的集合范围最大的集合,称为称为A的支集的支集,记作记作 UuuuASuppA ,0)(| 如图如图9-7. 模糊模糊(m hu)(m hu)子集子集A A特殊的截集：特殊的截集： 第12页/共85页第十三页，共86页。2022-5-1 AuAuuA0)( A称为称为(chn wi)与与A的的积积. 定义定义9.3 设设A是是U上的普通子集上的普通子集, , A是一个是一个(y )模糊模糊子集子集,其隶属函数为其隶属函数为 1, 0 定理定理(dngl)9.1 设设A是是U上的模糊子集上的模糊子集, ,则则 1, 0 AUA1 , 0 （9-1） 例例 9-39-3设设U=U=u1,u2,u3,u4, , ,/ 1/ 2 . 0/ 8 . 0/7 . 04321uuuuA 根据定理根据定理9.19.1可以得到可以得到 18 . 07 . 02 . 01, 018 . 07 . 02 . 0AAAAAUA 第13页/共85页第十四页，共86页。2022-5-1 5. 模糊模糊(m hu)关系与模糊关系与模糊(m hu)矩阵矩阵 设设U,V为论域为论域,U和和V中任意元素中任意元素(yun s)所构成的元素所构成的元素(yun s)对对(u,v)的集合的集合,称为迪卡尔积称为迪卡尔积,记作记作 VvUuvuVU ,|, 定义定义9.4 UV上的一个模糊上的一个模糊(m hu)子集子集,称为称为U到到V上的一个上的一个模糊模糊(m hu)关系关系,记作记作R.即即 14321/1(7 . 0)/1/1/1/1(2 . 0uuuuu)/1(1)/1/1(8 . 0)/1/144242uuuuu 4321/1/2 . 0/8 . 0/7 . 0uuuu 1),(0 ;,|, vuVvUuvuRR 第14页/共85页第十五页，共86页。2022-5-1其中其中(qzhng) ),(),( ;1, 0:,vuvuVUvuRR 模糊矩阵的主要模糊矩阵的主要(zhyo)(zhyo)运算法则运算法则: : 相等相等(xingdng): (xingdng): ,)(,)(mnijmnijsSrR 设设),1 ;1 (mjnisrijij 若若则则SR 包含包含: : ,)(,)(nnijmnijsSrR 设设),1 ;1 (mjnisrijij 若若则则SR 并并: : ,)(,)(mnijnnijsSrR 设设),1 ;1 (mjnisrtijijij 若若则则SRtTmnij )(第15页/共85页第十六页，共86页。2022-5-1 交交: : ,)(,)(mnijmnijsSrR 设设),1 ;1 (mjnisrtijijij 若若则则SRtTmnij )( 余余: : .)(mnijrR 设设mnijcrSR )1(的的余余矩矩阵阵则则 合成合成(hchng): (hchng): ,)(,)(pmjkmnijsSrR 设设),1 ;1(1mjnisrtjkijmjik 若若记记作作的的合合成成矩矩阵阵，对对称称为为则则SRTSRtTpnik )(第16页/共85页第十七页，共86页。2022-5-1 模糊矩阵运算法则模糊矩阵运算法则(fz)满足下列主要性质满足下列主要性质: 若若 ,对任意对任意(rny)模糊矩阵模糊矩阵T,都有都有SR TSTR STRT 结合律结合律)()(TSRTSR 分配律分配律 )()()(TSTRTSR )()()(STRTSRT 第17页/共85页第十八页，共86页。2022-5-1 6. 模糊模糊(m hu)变换变换 设论域设论域U,VU,V均为有限集均为有限集, U=u1,u2,un,V=v1,v2,vm.U, U=u1,u2,un,V=v1,v2,vm.U上的模糊子集可以表示上的模糊子集可以表示(biosh)(biosh)为为n n维模糊向量维模糊向量)(,),(),(21nAAAuuuA ),(21naaa 同样，同样，V V上的模糊子集上的模糊子集(z j)(z j)也可以表示为也可以表示为m m维向量维向量 )(,),(),(21mBBBvvvB ),(21mbbb 第18页/共85页第十九页，共86页。2022-5-1 根据根据(gnj)模糊矩阵的合成运算模糊矩阵的合成运算,模糊关系模糊关系R确定了一个变确定了一个变换换.根据根据(gnj)这个变换这个变换,对对U上任意一个模糊子集上任意一个模糊子集A,有有V上的上的一个模糊子集与之对应一个模糊子集与之对应,即即RAB 则称则称R导出了从导出了从U到到V的模糊的模糊(m hu)变换变换. 设设U U到到V V上的一个上的一个(y )(y )模糊关系为模糊关系为R,R,其模糊矩阵为其模糊矩阵为 nmnnmmmnijrrrrrrrrrrR212222111211)(第19页/共85页第二十页，共86页。2022-5-1 二二. 模糊模糊(m hu)综合评判方法综合评判方法 一、模糊综合评价一、模糊综合评价(pngji)(pngji)基本步骤基本步骤 设因素或指标设因素或指标(zhbio)(zhbio)集合为集合为 U=u1,u2,un U=u1,u2,un 评语集合为评语集合为 V=vV=v1 1,v,v2 2,v,vm m 设第设第i i个因素的单因素模糊评价为个因素的单因素模糊评价为Ri i=(ri1i1,ri2i2,rimim)(i=1,2,n),其中其中r rijij表示第表示第i i个因素对第个因素对第j j个评语的隶属度个评语的隶属度.n.n个模糊向量个模糊向量R1 1,R2 2,Rn n构构成从成从U U到到V V的模糊关系的模糊关系, ,模糊矩阵模糊矩阵 nRRRR21 nmnnmmrrrrrrrrr212222111211 称为综合评判矩阵称为综合评判矩阵 第20页/共85页第二十一页，共86页。2022-5-1因素集因素集U U上的模糊子集可以用模糊向量上的模糊子集可以用模糊向量A=(a1,a2,an)A=(a1,a2,an)表示，表示，隶属隶属(lsh)(lsh)度度ai(i=1,2,n)ai(i=1,2,n)表示各因素在综合评价中的份表示各因素在综合评价中的份量，且满足量，且满足 11 niia给定给定A A，R R后，通过模糊后，通过模糊(m hu)(m hu)变换将变换将U U上的模糊上的模糊(m hu)(m hu)向量向量A A变为变为V V上的模糊上的模糊(m hu)(m hu)向量向量B B，即，即 (9-2)其中，其中，B B称为综合评价向量，称为综合评价向量，“ ”称为综合评判合成称为综合评判合成(hchng)(hchng)算子算子，上式称为综合评判模型。，上式称为综合评判模型。第21页/共85页第二十二页，共86页。2022-5-1 几种几种(j zhn)(j zhn)常见的合成算子：常见的合成算子： M(,) M(,)型型. . M( M(,),)型型. . M( M(,+),+)型型. . 符号符号“”“”、“+”“+”分别分别(fnbi)(fnbi)表示实数乘法和加法运表示实数乘法和加法运算算. .第22页/共85页第二十三页，共86页。2022-5-1根据根据(gnj)(gnj)实际情况赋以不同等级评语实际情况赋以不同等级评语ujuj规定值规定值jj，以，以隶属度隶属度bjbj为权数，被评事物的综合评价分值为为权数，被评事物的综合评价分值为（9-3） 一般一般(ybn)(ybn)可取可取k=1k=1，2. 2. 模糊模糊(m hu)综合评价基本步骤综合评价基本步骤 确定被评事物的因素论域确定被评事物的因素论域 ;,21nuuuU 确定评语等级论域确定评语等级论域 ;,21mvvvV 单因素评价建立模糊综合评判矩阵单因素评价建立模糊综合评判矩阵R; 确定评价因素权向量确定评价因素权向量A;第23页/共85页第二十四页，共86页。2022-5-1 对评价结果对评价结果(ji gu)B进行综合分进行综合分析析. 2.多层次模糊综合多层次模糊综合(zngh)评价评价 多层次综合多层次综合(zngh)评价的步骤是评价的步骤是: 对因素集合对因素集合U按属性划分为若干子集按属性划分为若干子集.设设U=u1,u2,un,划分划分 kUUUU,21 选择综合评价合成算子选择综合评价合成算子,并合成得到综合评价向量并合成得到综合评价向量RAB 划分应当满足划分应当满足 第二层次因素子第二层次因素子集集Ui(i=1,2,k)所包含元素为所包含元素为 kijiijiUUUU1., iiniiiuuuU,21 .1 kiinn且且第24页/共85页第二十五页，共86页。2022-5-1 对第二层次对第二层次(cngc)每个每个Ui的的ni个元素进行综合评价个元素进行综合评价.设评语集设评语集为为 Ui中各因素的权向量为中各因素的权向量为 ,21mvvvV ),(21iiniiiaaaA 综合综合(zngh)评价矩阵为评价矩阵为Ri,于是综合于是综合(zngh)评价向量评价向量), 2 , 1(),(21kibbbRABimiiiii 进行第一进行第一(dy)层次各子集的综合评价层次各子集的综合评价.在第一在第一(dy)层次将子层次将子集集Ui当作一个因素当作一个因素,第二层次综合评价向量第二层次综合评价向量Bi作为作为Ui的单因素评价的单因素评价,设设各子集的权重向量为各子集的权重向量为 综合评价矩阵为综合评价矩阵为 ,21kaaaA mkijkbBBBR )(21第25页/共85页第二十六页，共86页。2022-5-1 因此因此,总的综合评价总的综合评价(pngji)向量为向量为 mbbbRAB,21 三、应用三、应用(yngyng)(yngyng)实例实例 例例9-6 某种品牌的服装某种品牌的服装(fzhung)评价评价,设评价指标设评价指标值值 654321,uuuuuuU 其中其中u1为款式为款式,u2为面料为面料,u3为耐穿程度为耐穿程度,u4为流行性为流行性,u5为商标为商标,u6为价格为价格. 设评语集设评语集 其中其中v1为很欢迎为很欢迎,v2为欢迎为欢迎,v3为为一般一般,v4为不欢迎为不欢迎. ,4321vvvvV 第26页/共85页第二十七页，共86页。2022-5-1 利用市场调查法对各指标进行单因素评价利用市场调查法对各指标进行单因素评价.例如例如:款式很款式很受欢迎占受欢迎占55%,欢迎占欢迎占34%,一般占一般占10%,不欢迎占不欢迎占1%,于是模于是模糊糊(m hu)向量向量R1=(0.55,0.34,0.10,0.01).这样得到综合评这样得到综合评价矩阵价矩阵 18.044.017.021.0012.038.050.0008.012.080.020.015.040.025.0025.015.060.001.010.034.055.0R消费者对评价指标重视的程度消费者对评价指标重视的程度(chngd)表示为模糊向量表示为模糊向量 25. 0 ,80. 0 ,65. 0 ,12. 0 ,60. 0 ,75. 0 A第27页/共85页第二十八页，共86页。2022-5-1 按照合成算子按照合成算子M(,),计算得到综合评价计算得到综合评价(pngji)向量向量 18. 0 ,25. 0 ,38. 0 ,65. 0 RAB 对评价向量对评价向量B进行单值化处理进行单值化处理.如果给各等级评语如果给各等级评语v1,v2,v3,v4分别分别(fnbi)规定分值规定分值1,0.8,0.5,0,并且对并且对B进行规一化处理进行规一化处理,得到权重向量得到权重向量(0.45,0.26,0.17,0.12).根据公式根据公式(9-3),取取k=1,该品牌服装总评分值为该品牌服装总评分值为8 . 026. 0145. 0/4141 jkjjjkjbb 74. 0012. 05 . 017. 0 第28页/共85页第二十九页，共86页。2022-5-1 一一.灰色灰色(hus)系统的基本概念和基本方系统的基本概念和基本方法法 1.灰色系统灰色系统(xtng)的数量表的数量表示示 定义定义9.5 在灰色在灰色(hus)系统中信息不完备的元素称为灰色系统中信息不完备的元素称为灰色(hus)元素元素,简称灰元或灰数简称灰元或灰数.记作记作 .灰元的变化区域称为灰域灰元的变化区域称为灰域,记为记为 对应于灰元对应于灰元 的变量称为灰色的变量称为灰色(hus)变量变量,记作记作 .灰色灰色(hus)变量变量 其中其中R为实数集为实数集.).(),(DD)(x,)(Rx 灰元的确定值称为白化值灰元的确定值称为白化值,记作记作. 含有灰元的矩阵称为含有灰元的矩阵称为灰色矩阵灰色矩阵.含有灰元的方程称为含有灰元的方程称为灰灰色方程色方程.第二节第二节 灰色局势决策灰色局势决策第29页/共85页第三十页，共86页。2022-5-1 2.关联系数和关联度关联系数和关联度 关联系数关联系数:设有母序列设有母序列(xli)和子序列和子序列(xli)(,),2(),1 ()(0000nxxxtX), 2 , 1( ,)(,),2(),1 ()(NinxxxtXiiii 则称则称)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin)(0000kxkxkxkxkxkxkxkxkikiiikiikii为序列为序列(xli)X0(t)与与Xi(t)在时刻在时刻k的关联系数的关联系数.式中式中 称为时刻称为时刻k点点X0(t)与与Xi(t)的绝对差的绝对差;)()()(0kkxkxii (9-4)第30页/共85页第三十一页，共86页。2022-5-1min0)()(minminkxkxiki 称为称为(chn wi)最小绝对最小绝对差差;max0)()(maxmaxkxkxiki 称为称为(chn wi)最大绝对差最大绝对差;1, 0 称为称为(chn wi)分辨系数分辨系数. 关联度关联度:序列序列Xi(t)各时刻关联系数的均值称为子序列各时刻关联系数的均值称为子序列 Xi(t)对母序列对母序列X0(t)的关联度的关联度,记作记作NkiikNr1)(1 (9-5) 例例9-89-8 某地区某地区1989199319891993年商业收入年商业收入X X0(t)(t)和固定资产投资和固定资产投资X X1(t),(t),工业投资工业投资X X2(t),(t),农业投资农业投资X X3(t),(t),科技投入科技投入X X4(t),(t),交通投资交通投资X X5(t)(t)的原始数据如表的原始数据如表9-2,9-2,试作出各种投资对商业收入的关联试作出各种投资对商业收入的关联度分析度分析. .第31页/共85页第三十二页，共86页。2022-5-1 解解: :第一步第一步, ,对原始数据作初值化处理对原始数据作初值化处理(chl),(chl),结果如表结果如表9-39-3第32页/共85页第三十三页，共86页。2022-5-1第二步第二步, ,求母序列求母序列(xli)X0(xli)X0对各子序列对各子序列(xli)Xi(xli)Xi在各时刻的在各时刻的绝对差绝对差i(k)(i=1,2,3,4,5;k=1,2,3,4,5),i(k)(i=1,2,3,4,5;k=1,2,3,4,5),计算结果如表计算结果如表9-49-4 于是于是(ysh)(ysh)得到最小绝对差得到最小绝对差min=0,min=0,最大绝对差最大绝对差max=1.45max=1.45第三步第三步, ,取分辨系数取分辨系数(xsh)=0.5,(xsh)=0.5,计算各种投资与商业计算各种投资与商业收入在各时刻的关联系数收入在各时刻的关联系数(xsh),(xsh),计算结果如表计算结果如表9-59-5第33页/共85页第三十四页，共86页。2022-5-1 第四步第四步, ,求出各种投入求出各种投入(tur)(tur)对商业收入的关联度对商业收入的关联度 同样同样(tngyng)(tngyng)得出得出 r2=0.666,r3=0.648,r4=0.768,r5=0.72r2=0.666,r3=0.648,r4=0.768,r5=0.72关联度排序关联度排序(pi x)(pi x)是是: r4r5r1r2r3 : r4r5r1r2r3 因此影响商业收入的主要因素是科技投入因此影响商业收入的主要因素是科技投入, ,其次是其次是交通投资交通投资第34页/共85页第三十五页，共86页。2022-5-1 3. 序列的生成序列的生成(shn chn)运算运算 累加生成累加生成(shn chn)运运算算(AGO) 设原有数据设原有数据(shj)序列序列)(,),2(),1 ()()0(00)0(nxxxkX对对 作一次累加生成运算作一次累加生成运算,用公式用公式)()0(kXkiixkX1)0()1()()( (9-6) 得到一次累加生成序列得到一次累加生成序列 )(,),2(),1 ()()1()1()1()1(nXxxkX第35页/共85页第三十六页，共86页。2022-5-1 如果如果(rgu)对对 作作r次累加次累加,用公式用公式)()0(kXkirrixkx1)1()()()( (9-7)则得到则得到r次累加生成次累加生成(shn chn)序列序列)(,),2(),1 ()()()()()(nxxxkXrrrr 由由(9-7)式式,可以可以(ky)得到递推关系式得到递推关系式11)1()1()()()()(kirrrkxixkx)() 1()1()(kxkxrr (9-8)第36页/共85页第三十七页，共86页。2022-5-1 例例9-9 某公司某公司(n s)1991-1996年产品销售额年产品销售额(单位单位:万万元元)原始数列为原始数列为0524.11,0574.11,3775. 9 ,1177. 5 ,611. 4 ,081. 5)()0(kX 试求试求 的一次累加生成的一次累加生成(shn chn)序列序列.)()0(kx 解解: 按按(9-6)式式,可得到可得到(d do),1993(),1992(),1991()()1()1()1()1(xxxkX)1996(),1995(),1994()1()1()1(xxx297.46,2446.35,1872.24,8097.14,692. 9 ,081. 5第37页/共85页第三十八页，共86页。2022-5-1原始序列原始序列 的曲线如图的曲线如图9-10,9-10,累加生成数列曲线如图累加生成数列曲线如图9-11.9-11.对比两曲线可知对比两曲线可知, ,经过累加生成后经过累加生成后, ,原曲线的随机波动被弱化原曲线的随机波动被弱化, ,生生成序列曲线变得比较平稳成序列曲线变得比较平稳. .对生成数列用模拟曲线去逼近对生成数列用模拟曲线去逼近(bjn),(bjn),可以提高逼近可以提高逼近(bjn)(bjn)精度精度. .)()0(kX第38页/共85页第三十九页，共86页。2022-5-1 设设 为为r次累加生成数列次累加生成数列,对对 作作r次累减生成运算次累减生成运算,记作记作 其中其中 表示表示0次累减次累减,即没有累减即没有累减.于是于是(ysh),有基本关系式有基本关系式)()(kXr)()(kXr), 2 , 1 , 0)()()(rkxrr)()()0(kxr)()()()()0(kxkxrr)1()()()()0()()0()()1(kxkxkxrrr)1()()()()1()()1()()2(kxkxkxrrr)1()()()()1()()1()()(kxkxkxrrrrrr由基本关系式推导由基本关系式推导(tudo)出如下关系式出如下关系式 累减生成累减生成(shn chn)运算运算(IAGO)第39页/共85页第四十页，共86页。2022-5-1)1()()()()0()()0()()1(kxkxkxrrr) 1()()()(kxkxrr11) 1(1) 1()()(kirkirixix)()1(kxr)1()()()() 1 ()() 1 ()()2(kxkxkxrrr) 1()()1()1(kxkxrr11)2(1)2()()(kirkirixix)()2(kxr )()()0()()(kxkxrr (9-9)第40页/共85页第四十一页，共86页。2022-5-1 由此可知由此可知,对对r累加生成数列作累加生成数列作r次累减生成运算次累减生成运算(yn sun),就就还原成原始数列还原成原始数列. 由递推关系式由递推关系式(9-8)得出得出(d ch), 2 , 1(),1()()()()() 1(nkkxkxkxrrr (9-10) 此取此取,x,x(r)(r)(0)=0 . (0)=0 . 4. GM(1,1)模模型型(mxng) GM(1,1) GM(1,1)是一阶微分方程模型，其形式是是一阶微分方程模型，其形式是 (9-11) 其中，其中，a,ua,u为待估参数为待估参数. . 第41页/共85页第四十二页，共86页。2022-5-1将方程中的将方程中的 和和x x作离散化处理作离散化处理. .当当t t很小并取很小很小并取很小的的1 1个单位个单位(dnwi)(dnwi)时间间隔时间间隔,t,t取离散值取离散值k,k,则有近似等式则有近似等式 dtdx GM(1,1)模型模型(mxng) 设有原始设有原始(yunsh)(yunsh)数列数列 作一次累加生成作一次累加生成, ,得到得到 第42页/共85页第四十三页，共86页。2022-5-1 对方程对方程(9-11)(9-11)作离散作离散(lsn)(lsn)化处理，代入化处理，代入 ,x(1)(t),x(1)(t)的近似表达式的近似表达式, ,得到得到 )1(txdd 即即 取取k=1,2,k=1,2,，n-1 n-1 ，便有下列，便有下列(xili)(xili)等式组等式组 第43页/共85页第四十四页，共86页。2022-5-1 引入向量引入向量(xingling)(xingling)记号记号 等式等式(dngsh)(dngsh)组改写为组改写为 如果如果(rgu)(rgu)记记 上式可改写为上式可改写为 （9-12）其中，其中，Y YN N是是n-1n-1维向量，维向量，B B是是(n-1)(n-1)2 2矩阵矩阵, , 是是2 2维列向维列向量量第44页/共85页第四十五页，共86页。2022-5-1 待估向量待估向量(xingling) (xingling) (9-13) 将将=(a,u)T=(a,u)T估计值代入方程估计值代入方程(fngchng)(9-11),(fngchng)(9-11),有有 解得解得 令初始值令初始值t=1,t=1,常数常数(chngsh)(chngsh) 于是于是 当当t=k+1t=k+1时时, ,得到一次累加生成的时间响应函数得到一次累加生成的时间响应函数 (9-14)第45页/共85页第四十六页，共86页。2022-5-1 GM(1,1)建模计算建模计算(j sun)基本步基本步骤是骤是: 对原始数据对原始数据X(0)(k)X(0)(k)作一次累加生成作一次累加生成(shn chn)(shn chn)得得X(1)(k) ;X(1)(k) ; 用最小二乘法用最小二乘法(chngf)估算估算参数参数;),(),(1NTTTYBBBuaa 解一阶线性微分方程解一阶线性微分方程 ,得时间响应函数得时间响应函数 uaxdtdx)1()1(;) 1 () 1()1()1(aueauxkxak 模型检验模型检验; 利用模型进行预测利用模型进行预测.第46页/共85页第四十七页，共86页。2022-5-1 二二. 灰色局势灰色局势(jsh)决策决策 1.决策决策(juc)局局势势 设事件设事件(shjin)集集 ,对对策集策集maaaA,21,21nbbbB 目标集目标集.,21kcccC 对于目标对于目标), 2 , 1(lkck事件事件ai和对策和对策bj的二元组合称为一个局势的二元组合称为一个局势,记为记为sij=(ai,bj).全部局全部局势的集合称为势的集合称为局势集局势集,记作记作njmibasssjiijij, 2 , 1;, 2 , 1),(| 在目标在目标ck下下,每一个局势每一个局势sij都有一个效果值都有一个效果值,称为目标称为目标ck下局下局势势sij的的效果样本效果样本.记作记作 .全体效果样本集合全体效果样本集合,称为称为效果样本集效果样本集,记作记作)(kiju第47页/共85页第四十八页，共86页。2022-5-1lknjmiuUkij, 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1| 0)( 2. 效果测度效果测度(c du)和效果测度和效果测度(c du)矩阵矩阵 通常采用的三种通常采用的三种(sn zhn)测度方测度方法法: 上限效果测度上限效果测度(c du).设在目标设在目标ck下下,局势局势sij的上限效果的上限效果测测 度为度为 ,其计算公式为其计算公式为)(kijr)()()(maxmaxkijjikijkijuur (9-15)第48页/共85页第四十九页，共86页。2022-5-1 下限效果下限效果(xiogu)测度测度.下限效果下限效果(xiogu)测度测度的计算公式为的计算公式为)()()(minminkijkijjikijuur (9-16) 中心中心(zhngxn)效果测度效果测度.计算公式为计算公式为0)(0)()(,max,minuuuurkijkijkij (9-17)或或00)(0)(uuuurkijkij (9-18)第49页/共85页第五十页，共86页。2022-5-1 单目标单目标ck局势局势(jsh)sij的效果测度的效果测度 所构成的矩阵称所构成的矩阵称为效果测度矩阵为效果测度矩阵,记作记作)(kijr)()(2)(1)(2)(22)(12)(1)(12)(11)()()(kmnkmkmknkkknkknmkijkrrrrrrrrrrR 全部全部(qunb)目标目标Ck(k=1,2,l)下下,局势局势Sij的综合效果测度的综合效果测度lkkijijrlr1)(1 所构成的矩阵所构成的矩阵,称为综合效果称为综合效果(xiogu)测度矩测度矩阵阵,记作记作第50页/共85页第五十一页，共86页。2022-5-1mnmmnnnmijrrrrrrrrrrR212222111211)( 其中其中(qzhng)lkkijijnjmirlr1)()., 2 , 1;, 2 , 1(1 3. 决策决策(juc)准则和决策准则和决策(juc)步骤步骤 行决策是在综合效果测度矩阵行决策是在综合效果测度矩阵 中中,按行选择按行选择综合效果测度最大的局势为最佳综合效果测度最大的局势为最佳(zu ji)决策局势决策局势.即如果即如果nmijrR)(第51页/共85页第五十二页，共86页。2022-5-1 列决策是在匹配列决策是在匹配(ppi)的决策中选择最佳事件的决策中选择最佳事件,是在是在 中中,按列选择综合效果测度最大的局势为最佳决策局势按列选择综合效果测度最大的局势为最佳决策局势.即即nmijrR)( 则对策则对策(duc)bj(duc)bj* *是事件是事件aiai的最佳对策的最佳对策(duc),sij(duc),sij* *是最佳决策局势是最佳决策局势 表示表示(biosh)(biosh)事件事件aiai* *是对策是对策bjbj匹配的最佳事件匹配的最佳事件,si,si* *j j是最是最优决策局势优决策局势. . 灰色局势决策的步骤是灰色局势决策的步骤是: 根据实际问题计算各目标的局势效果值根据实际问题计算各目标的局势效果值; 计算效果测度得到各目标的效果测度矩阵计算效果测度得到各目标的效果测度矩阵 计算综合效果测度矩阵计算综合效果测度矩阵R;)(kR第52页/共85页第五十三页，共86页。2022-5-1 对对R进行行和列决策进行行和列决策(juc),选择最优局势选择最优局势; 对对R进行优序化处理进行优序化处理,作出灰色作出灰色(hus)局势决策局势决策. 例例9-12 某县有三个农业区域某县有三个农业区域,除种植业以外除种植业以外,按照人均收入和按照人均收入和每百元产值的劳力投入、资金投入、土地投入四个目标对林业每百元产值的劳力投入、资金投入、土地投入四个目标对林业(ln y)、畜牧业、工副业进行灰色局势决策、畜牧业、工副业进行灰色局势决策.各区各业各目标值如表各区各业各目标值如表9-8. 三、灰色局势决策应用实例三、灰色局势决策应用实例 第53页/共85页第五十四页，共86页。2022-5-1 解解: 根据实际问题根据实际问题,将有关统计资料按各目标分类整理将有关统计资料按各目标分类整理,得到各农业区域局势效果值得到各农业区域局势效果值.其中其中 事件事件(shjin)集集 A=a1,a2,a3=区域区域,区域区域,区域区域, 对策集对策集 B=b1,b2,b3=林业林业,畜牧业畜牧业,工副业工副业, 目标集目标集 C=c1,c2,c3,c4=人均收入人均收入,劳力投入劳力投入,资金投入资金投入,土地土地 投入投入.各目标局势效果样本值如表各目标局势效果样本值如表9-8. 计算各目标的效果测度矩阵计算各目标的效果测度矩阵. .对于对于(duy)(duy)目标目标c1,c1,人均收入是越多越优人均收入是越多越优, ,宜采取上限效果测度计算宜采取上限效果测度计算. .按公式按公式(9-(9-15), 15), 效果测度值效果测度值, 4 .22maxmax)1(ijjiu4 .22maxmax)1()1()1()1(ijijjiijijuuur第54页/共85页第五十五页，共86页。2022-5-1218. 02366. 00508. 0625. 01964. 004. 017. 0102455. 0)1(R 对于目标对于目标c2,劳力安排过少不利于就业劳力安排过少不利于就业,安排过多安排过多(u du)增加增加成本成本.因此因此,宜采用中心效果测度宜采用中心效果测度.取效果样本值的平均值取效果样本值的平均值u0,.03. 1913131)2(0ijijuu 考虑到适当多安排一些考虑到适当多安排一些(yxi)劳力劳力就业有就业有 利于社会利于社会,采用采用(9-17)式计算式计算(j sun)效果测度效果测度.效果测度值效果测度值)03. 1 ,max()03. 1 ,min(),max(),min()2()2(0)2(0)2()2(ijijijijijuuuuuur 从而求出目标从而求出目标c1的效果测度矩阵的效果测度矩阵第55页/共85页第五十六页，共86页。2022-5-1 由此求出目标由此求出目标c2的效果测度的效果测度(c du)矩矩阵阵776. 07357. 08737. 07357. 097. 0679. 097. 0572. 0291. 0)2(R 对于目标对于目标c3,希望最小的资金投入获得最大的经济效益希望最小的资金投入获得最大的经济效益,故故宜采用下限效果测度宜采用下限效果测度(c du).按公式按公式(9-16),效果测度效果测度(c du)值值, 1 . 0minmin)3(ijjiu)3()3()3()3(1 . 0minminijijijjiijuuur 目标目标(mbio)c3的效果测度矩阵为的效果测度矩阵为02. 011. 01025. 005. 0166. 002857. 00333. 0125. 0)3(R第56页/共85页第五十七页，共86页。2022-5-1 对于目标对于目标c4,国土是十分珍贵的资源国土是十分珍贵的资源,希望尽量减少土地希望尽量减少土地(td)使使用面积用面积,故宜采用下限效果测度故宜采用下限效果测度.根据公式根据公式(9-16),效果测度值为效果测度值为)4()4()4()4(1 . 0minminijijijjiijuuur 于是于是,c4的效果的效果(xiogu)测度矩阵测度矩阵为为12 .01492.013333.025.011667.03333.0)4(R 计算综合效果测度计算综合效果测度(c du)矩阵矩阵. 综合效果测度综合效果测度(c du)计算出综合效果测度计算出综合效果测度(c du)矩阵矩阵41)(41kkijijrr5035. 03206. 05169. 0059643874. 02838. 05421. 0443. 01935. 0R第57页/共85页第五十八页，共86页。2022-5-1 对对R进行行决策进行行决策(juc)和列决策和列决策(juc). 对对R分别进行行决分别进行行决策策(juc)和列决策和列决策(juc),选择最优局势选择最优局势.行决策行决策(juc)的最优局势的最优局势为为312313,sss 列决策列决策(juc)的最优局势为的最优局势为231213,sss其中其中s13,s23是行决策和列决策相同是行决策和列决策相同(xin tn)的最优决策的最优决策,即表示农业区域即表示农业区域应发展工副业应发展工副业,区域区域应发展畜牧业应发展畜牧业.但是但是,区区域域应发展的优势产业尚需进一步决策应发展的优势产业尚需进一步决策. 对对R优序化处理优序化处理,并进行灰色决策并进行灰色决策.对综合效果测度矩阵对综合效果测度矩阵R,按照测度值大小按照测度值大小,分别按行和列作两次调整分别按行和列作两次调整,使其从左到使其从左到第58页/共85页第五十九页，共86页。2022-5-1 右、从上到下排成递减序列右、从上到下排成递减序列.先按行调整先按行调整(tiozhng),得优序化矩得优序化矩阵阵3206. 05035. 05169. 02838. 03874. 05964. 01935. 0443. 05421. 0*1R 再按列调整再按列调整,并将局势符号并将局势符号(fho)标注在测度值之下标注在测度值之下,得优序化得优序化矩阵矩阵112231211213323323*21935. 03874. 05169. 02838. 0443. 05421. 03206. 05035. 05964. 0sssssssssR第59页/共85页第六十页，共86页。2022-5-1根据优序化矩阵根据优序化矩阵 ,作出灰色决策作出灰色决策.从左上到右下按测度值用从左上到右下按测度值用虚线将虚线将 划分为不同级别取值的若干梯级段划分为不同级别取值的若干梯级段,然后然后,逐段选项逐段选项择各区域的最优局势择各区域的最优局势.同时同时,兼顾兼顾(jing)全局效益和各产业全局效益和各产业协调发展协调发展.灰色局势决策的结论是灰色局势决策的结论是*2R*2R区域区域(qy)选择选择s13(工副业工副业)、s12(畜牧业畜牧业);区域区域(qy)选择选择s23(工副业工副业) 、 s22 (畜牧业畜牧业);区域区域选择选择s31(林业林业) 、 s33(工副业工副业).第60页/共85页第六十一页，共86页。2022-5-1第四节第四节 灰色灰色(hus)(hus)规划规划灰色规划：指在规划模型的建模过程中，有的系数和约束值需要通灰色规划：指在规划模型的建模过程中，有的系数和约束值需要通过过GMGM模型求解，或者模型求解，或者(huzh)(huzh)本身就是灰色变量的模本身就是灰色变量的模型型. . 一、灰色一、灰色(hus)(hus)线性线性规划规划 灰色线性规划的一般形式如下灰色线性规划的一般形式如下: 约束条件约束条件 (9-23) 式中式中,X=(x1,x2,xn)T，C=(c1,c2,cn)T，系数，系数ci可以是可以是灰数灰数目标函数目标函数第61页/共85页第六十二页，共86页。2022-5-1 灰色灰色(hus)(hus)矩阵矩阵 符号符号(fho)(fho)是最大灰靶是最大灰靶, ,表示最大值意义下的取值范围表示最大值意义下的取值范围; ; 符号是最小灰靶符号是最小灰靶, ,表示表示(biosh)(biosh)最小值意义下的取值范围最小值意义下的取值范围; ;灰色线性规划灰色线性规划是在当约束条件的约束值变动是在当约束条件的约束值变动, ,并可以用并可以用时时间序列间序列描述时描述时, ,利用利用GM(1,1)模型模型对约束值的变化进行预测对约束值的变化进行预测, ,并并按按预测值预测值求解的求解的. .(max)(min)第62页/共85页第六十三页，共86页。2022-5-1 1. 预测型灰色预测型灰色(hus)线线性规划性规划 设在灰色设在灰色(hus)线性规划模型中线性规划模型中,约束条件中约束值约束条件中约束值bi的时间序的时间序列为列为 对对bi(0)作一次累加生成作一次累加生成(shn chn),得到得到 建立建立GM(1,1)模型模型,解出预测值解出预测值.用预测值作为约用预测值作为约束值束值,得到灰色线性规划的约束条件得到灰色线性规划的约束条件对于不同的对于不同的k k值值, ,可以可以求得不同的最优解求得不同的最优解, ,这这种规划种规划称为预测型灰称为预测型灰色线性规划色线性规划)()0(Nkkbi)()0(kbi第63页/共85页第六十四页，共86页。2022-5-1 例例9-15 9-15 某企业生产甲、乙两种产品，每生产一单位甲产某企业生产甲、乙两种产品，每生产一单位甲产品耗电品耗电4 4百度百度, ,需煤需煤9 9吨吨, ,用工用工3 3个个; ;每生产一单位乙产品耗电每生产一单位乙产品耗电5 5百百度度, ,需煤需煤4 4吨，用工吨，用工1010个个. .每单位甲、乙产品所创造的效益分别每单位甲、乙产品所创造的效益分别(fnbi)(fnbi)为为700700元和元和12001200元元, ,该企业现有工人该企业现有工人300300个，每月供煤个，每月供煤量量360360吨，前五个月的供电量如表吨，前五个月的供电量如表9-12:9-12:假设经济效益目标的要求是假设经济效益目标的要求是40000-5000040000-50000元元, ,如何安排本如何安排本月的生产月的生产(shngchn)(shngchn)，才能取得最佳经济效益，才能取得最佳经济效益. .解解: : 设甲、乙两种产品设甲、乙两种产品(chnpn)(chnpn)的产量分别为的产量分别为x1,x2,x1,x2,建立建立灰色线性规划模型灰色线性规划模型第64页/共85页第六十五页，共86页。2022-5-1 按表按表9-129-12给出的关于供电量的时间给出的关于供电量的时间(shjin)(shjin)序列序列 建立建立(jinl)GM(1,1)(jinl)GM(1,1)模型模型, ,得得 目标目标(mbio)函数函数约束条件约束条件第65页/共85页第六十六页，共86页。2022-5-1 于是于是(ysh)(ysh)，本月份供电量的预测值为，本月份供电量的预测值为 取预测值取预测值 作为作为(zuwi)(zuwi)约束值约束值, ,第三个约束条件变为第三个约束条件变为 用单纯形法求解用单纯形法求解(qi ji),(qi ji),最优解为最优解为 此时此时, ,最佳经济效益值最佳经济效益值 满足灰色目标经济效益值的要求满足灰色目标经济效益值的要求. . 207) 6()0(b第66页/共85页第六十七页，共86页。2022-5-1 2. 漂移漂移(pio y)型灰色线性型灰色线性规划规划 漂移漂移(pio y)(pio y)型灰色线性规划型灰色线性规划: :目标函数和约束条件含有灰数目标函数和约束条件含有灰数的线性规划的线性规划. . 可信度的概念可信度的概念(ginin):(ginin): 设灰数设灰数 或者记为或者记为其中，其中，a a称为白化系数称为白化系数. .当当a=0a=0时时, ,灰数取下界灰数取下界; ; 当当a=1a=1时时, ,灰数取上界灰数取上界. .对于对于灰色线性规划模型灰色线性规划模型，如果目标函数中灰数的白化系数取，如果目标函数中灰数的白化系数取a=1a=1, ,约束条件中灰数的白化系数取约束条件中灰数的白化系数取a=0a=0, ,则目标函数值必为则目标函数值必为最大值最大值f fmaxmax. .第67页/共85页第六十八页，共86页。2022-5-1 设设XaXa为白化系数为白化系数a a值下的决策变量值值下的决策变量值,Ca,Ca为目标为目标(mbio)(mbio)函数函数中白化系数取中白化系数取a a的白化向量的白化向量, ,则则 称为称为(chn wi)a(chn wi)a下的可下的可信度信度. . 漂移型灰色线性规划漂移型灰色线性规划(xin xn u hu)(xin xn u hu)的求解步骤的求解步骤: : 给定可信度给定可信度* *. .目标函数的白化系数取目标函数的白化系数取a=1,a=1,约束条件白化系数约束条件白化系数取取a=0,a=0,求求f fmaxmax 给出给出a值值,计算计算fa a=Ca aT TXa a; 计算可信度计算可信度 如果如果a a* *,停止计算停止计算,Xa a为满意解为满意解.否则否则,重复步骤重复步骤 , 直到直到满足要求满足要求第68页/共85页第六十九页，共86页。2022-5-1 例例9-16 9-16 求解灰色线性规划求解灰色线性规划(xin xn (xin xn u hu)u hu)模型模型: : 式中，式中，解解: : 第一步第一步, ,目标函数目标函数(hnsh)(hnsh)的白化系数取的白化系数取a=1,a=1,约束约束条件的白化系数取条件的白化系数取a=0,a=0,得到线性规划问题得到线性规划问题目标目标(mbio)函数函数