电工胶布使用方法课件

信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道东莞电工培训东莞电工培训 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道模型及分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道模型及分类一、信道模型及分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道的分类2、离散信道的数学模型3、单符号离散信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1 1、信道的分类、信道的分类2、离散信道的数学模型3、单符号离散信道离散信道离散信道a、根据输入、输出信号的时间特性和取值特性离散信道连续信道半离散或半连续信道波形信道信息论与编码基础信息论与编码基础1、信道的分类数字信道b、根据输入集合与输出集合的个数单用户信道多用户信道一对多、多对一多对多信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道c、根据信道转移概率的性质无噪信道有噪信道1、信道的分类实际的通信信道几乎都是有扰信道无记忆信道有记忆信道实际信道一般都是有记忆的，信道中的记忆现象来源于物理信道中的惯性，如电缆信道中的电感或电容、无线信道中电波传播的衰落现象等。d、按信道统计特性恒参信道变参信道卫星信道短波信道e、根据信道噪声的性质高斯噪声信道非高斯噪声信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道的分类2 2、离散信道的数学模型、离散信道的数学模型3、单符号离散信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、离散信道的数学模型信道信道X1212(,.,): ( , ,., )NirXX XXXa aaY1212( ,.,): ( ,.,)NisYY YYYb bb( | )P y x , ( | ), X P y x Y 无扰（无噪）信道有扰信道1,( )( | )0,( )yf xP y xyf x 无记忆信道有记忆信道111( | )(.|.)(|)NNNiiiP y xP yyxxP yx 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道的分类2、离散信道的数学模型3 3、单符号离散信道、单符号离散信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道信道信道X12: ( ,., )rXa aaY12: ( ,.,)sYb bb( | )P y x3、单符号离散信道例例1 BSC信道信道BSC(p)信道信道是实际中几乎所有重要的二进制脉冲传输系统的模型p为交叉为交叉(crossover)概率概率等于解调器/检测器出现硬判决译码错误的概率信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1）条件转移概率ijijijPabPaxbyPxyP)|()|()|(),.,2 , 1;,.,2 , 1(sjri2）转移矩阵rsrrssPPPPPPPPPP.2122221112113）转移概率图),.2 , 1( 10riPsjij3、单符号离散信道XY0101pp1-p1-pXYa0arb0bsP(bj|ai)信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一定比例的bit被删除，并且接收者知道是那些bit已经被删除。例2 二进制删除信道3、单符号离散信道1001ppPqq信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道模型及分类二、信道疑义度与平均互信息二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道互信息互信息)|(1log)(1logjiibaPaP);(jibaI自信息条件自信息1log( )iP a1log(|)ijP a b由于条件引入获得的信息量(|)( ;)log( )ijijiP a bI a bP a1）对称性I(ai;bj) = I(bj;ai)2）事件统计独立时I(ai;bj) = 03）可正、可负4）I(ai;bj) I(ai)信息论与编码基础信息论与编码基础绪论绪论表表11（x，y）的的联联合合概概率率分分布布 x0 x1 y0 0.06 0.04 y1 0.54 0.36 练习练习：令随机变量x表示随机抽取人群中的性别，x0为男性，x1为女性。随机变量y表示随机抽取人是否抽烟，y0表示抽烟，y1表示不抽烟。（1）若（x，y）的联合概率分布如表11所示，求“已知抽取人为男性”，对“该人抽烟”提供的信息量。（2）若（x，y）的联合概率分布如表12所示，求“已知抽取人为男性”，对“该人抽烟”提供的信息量。 表表12（x，y）的的联联合合概概率率分分布布 x0 x1 y0 0.6 0.04 y1 0 0.36 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道疑义度、信道疑义度XriiiaPaPxPxPXH1)(1log)()(log)()(先验熵先验熵rijijijbaPbaPbXH1)|(log)|()|(后验熵后验熵若信道中存在干扰时sjjjjbXHbPbXHEYXH1)|()()|()|(rijijisjjbaPbaPbP11)|(1log)|()(risjjijibaPbaP11)|(1log)(信道疑义度0H(X|Y)H(X)损失熵信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、平均互信息、平均互信息定义3.2 令)|()();(YXHXHYXI为信道输入X与输出Y之间的平均互信息平均互信息接收到每个输出符号后获得的关于X的平均信息量bit/sign11(; )( )log()log( )( | )XXYI X YP xP xyP xP x y11()log()log( )( | )XYXYP xyP xyP xP x y( | )()log( )XYP x yP xyP x互信息互信息思考题思考题设8个等概分布的消息通过传递概率为p的BSC进行传送。8个消息相应编成下述码字：,0011,0110,0101,00004321MMMM1111,1100,1010,10018765MMMM1）接收到第一个数字0与M1之间的互信息。2）接收到第二个数字也是0时，得到多少关于关于M1的附加互信息。3）接收到第三个数字仍是0时，又增加多少关于M1的互信息。4）接收到第四个数字仍是0时，再增加多少关于M1的互信息。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道思考题思考题令X,Y1,Y2为二进制随机变量，1）如果I(X; Y1) = 0 且 I(X; Y2) = 0,可否推出I(X; Y1, Y2) = 0? 试举例说明。3）如果 I(X; Y1) = 0 且I(X; Y2) = 0，是否可推出 I(Y1; Y2) = 0? 请说明。 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道模型及分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道)|()();(YXHXHYXIXYxPyxPxyP)()|(log)()()log( ) ( )XYP xyP xyP x P y( | )()log( )XYP y xP xyP y平均互信息平均互信息接收到每个输出符号后获得的关于X的平均信息量信息传输率信息传输率 Rbit/sign信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、非负性)|()();(YXHXHYXIXYyPxPxyPxyP)()()(log)(利用詹森不等式XYxyPyPxPxyPYXI)()()(log)();( ) ( )log()log10()XYP x P yP xyP xy信源信源加密加密信道信道解密解密信宿信宿密钥源密钥源全损信道全损信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、极值性)();(XHYXI接收者通过信道获得的信息量不可能超过信源本身固有的信息量。0I(X;Y)H(X)3、对称性);();(XYIYXI信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道()(; )()log( ) ( )XYP xyI X YP xyP x P y()()log( ;)( ) ( )XYP yxP yxI Y XP y P x发出X后获得的关于Y的平均信息量4、与各类熵的关系( | )(; )()log( )XYP x yI X YP xyP x()()log( ) ( )XYP xyP xyP x P y( | )()log( )XYP y xP xyP y()(|)H XH X Y信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道损失熵损失熵()( )()H XH YH XY( )(|)H YH Y X噪声熵噪声熵散布度：表示信道输入信号由于干扰作用在输出端表现的散布范围。0);(YXI)()();(YHXHYXIH(X|Y)H(Y|X)I(X;Y)H(XY)H(X)H(Y)信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道5、);(YXI的凸函数性XYyPxyPxyPYXI)()|(log)();(xxyPxPyP)|()()(XYxxyPxPxyPxyPxPYXI)|()()|(log)|()();()|(),(xyPxPf信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例1 设二元对称信道的输入概率空间为110)(xPX其信道特性如图，求平均互信息。定理定理3.1 在信道转移概率)|(xyP给定的条件下，平均互信息);(YXI是输入信源概率分布)(xP的型凸函数。XY0101pp1-p1-p00.51I(X;Y)1-H(p)00.51H()1信源熵信源熵信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道定理定理3.2 在输入信源概率分布)|(xyP给定的条件下，平均互信息);(YXI是信道转移概率分布的型凸函数。)(xP例例1（续）（续）(; )()( )I X YHppH p当p = 0时(; )( )(0)( )I X YHHH当p = 1时(; )( )(1)( )I X YHHH当p = 1/2时(; )(1/2)(1/2)0I X YHH00.51pI(X;Y)H()信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道思考题思考题假定马尔科夫链(非平稳)起始于n个状态中的一个，然后第二步受到限制，只能转移到k个状态之一(kk)。于是有123XXX1231,2,., ,1,2,., ,1,2,., XnXkXm其中其中且且12312132()( ) (|) (|)p x x xp x p xx p xx1）试说明X1和X3之间的依赖性受到X2的瓶颈效应影响，即I(X1;X3)logk。2）试估计当k = 1时I(X1;X3)的值，并进行瓶颈效应分析。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道的数学模型与分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道模型、信道模型信道信道X12: ( ,., )rXa aaY12: ( ,.,)sYb bb( | )P y xrsrrssPPPPPPPPPP.212222111211),.2 , 1( 10riPsjij信道信道X1212(,.,): ( , ,., )NirXX XXXa aaY1212( ,.,): ( ,.,)NisYY YYYb bb( | )P y x 离散无记忆离散无记忆N次扩展信道模型次扩展信道模型信道转移矩阵NNNNNNsrrrss.2122221112111212(.|.)NNkhhhhkkkP b bba aaNikhiiabP1)|(其中信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、信道模型、信道模型BSC的二次扩展信道的二次扩展信道22222222pppppppppppppppppppppppp信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、平均互信息、平均互信息a)定义)|()();(NNNNNYXHXHYXI)|()(NNNXYHYH( | )()log( )xyP y xP xyP y NNYXyx,( | )()log( )xyP x yP xyP x ()()log( ) ( )xyP xyP xyP x P ybit/N-signb)性质NNYX ,引理引理3.1设信道的输入输出分别为，其中).(),.(11NNNNYYYXXX，则：NiiiNNXYHXYHI1)|()|()仅当信道无记忆时等式成立。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、平均互信息、平均互信息12111(|)(|)(|).(|.)NNNNNNNH YXH YXH YY XH YYYX信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、平均互信息、平均互信息b)性质NiiiNNYXHYXH1)|()|()仅当NiiiyxPyxP1)|()|(时成立信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道定理定理3.1对于离散无记忆信道，有NiiiNNYXIYXI1);();(2、平均互信息、平均互信息(;)()(|)NNNNNI XYH YH YX证明：证明：b)性质NiiiNNXYHXYH1)|()|(1()(|)NNiiiH YH YX111(;)( )(|)NNNiiiiiiiiI X YH YH YX信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例例1DMC的输入为NNXXX.1，输出为NNYYY.1且有XYXYXYXNN.2211。其中X的熵为H,计算);(NNYXI和NiiiYXI1);(HYXINN);(NiiiNHYXI1);(信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道定理定理3.2对于无记忆信源，则NiiiNNYXIYXI1);();(2、平均互信息、平均互信息b)性质证明：证明：(;)()(|)NNNNNI XYH XH XY1()(|)NNNiiH XH XY111(;)()(|)NNNiiiiiiiiI X YH XH XYNiiiNNYXHYXH1)|()|(仅当NiiiyxPyxP1)|()|(时成立信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例例 设无记忆信源X的熵为H，X的5次扩展源为5X信道为如下面矩阵所示的置换信道 1 2 3 4 5 3 2 5 1 4计算51);(iiiYXI);(55YXI信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道总结：总结：1）当信源无记忆时NiiiNNYXIYXI1);();(2）当信道无记忆时NiiiNNYXIYXI1);();(3）当信源、信道均无记忆时1(;)(;)NNNiiiI XYI X Y信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道D QD QD Qa(t)b0b1b2思考题思考题假定某信源的符号集为A = 0,1，其中p0=p1=0.5，则H(A) = 1。令编码器C的符号集为B = 0,1,7，并且假定B中的元素采用二进制形式表示(b2b1b0)。如果输入序列为 a(t) = 11并且寄存器的初始值为b = 5(=101)，求输出序列。如果将该编码器看成一个信道，请讨论该信道的如果将该编码器看成一个信道，请讨论该信道的转移特性及平均互信息。转移特性及平均互信息。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道模型及分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展信道五、信道容量五、信道容量六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道平均互信息I(X;Y)代表了接收到每个输出符号后获得的关于X的平均信息量，又叫做信道的信息传输率。XYxxyPxPxyPxyPxPYXI)|()()|(log)|()();()|(),(xyPxPf定理定理3.1 在信道转移概率)|(xyP给定的条件下，平均互信息);(YXI是输入信源概率分布)(xP的型凸函数。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1、定义、定义一个平稳离散无记忆信道的容量C为输入与输出平均互信息);(YXI的最大值。);(max)(YXICxP说明：说明：bit/sign1）信道给定后，p(y|x)就固定，C仅与p(y|x)有关，而与P(x)无关2）C是信道传输的最大信息率。Ct = C/t bit/s信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、简单离散信道的信道容量、简单离散信道的信道容量信道信道X12: ( ,., )rXa aaY12: ( ,.,)sYb bb( | )P y xa、无噪无损信道100010001P1a1b2a2b3a3b)3 , 2 , 1,(, 1, 0)|(jijijiabPij)/(log)(max);(max)()(signbitrXHYXICxPxP信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道b、有噪无损信道1000000101103530000002121P1a1b2b2a3b4b5b3a6b)/(log)(max);(max)()(signbitrXHYXICxPxP2、简单离散信道的信道容量、简单离散信道的信道容量信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道c、有损无噪信道100100010010010001P1a1b2b2a3b3a4a5a6a)/(log)(max);(max)()(signbitsYHYXICxPxP2、简单离散信道的信道容量、简单离散信道的信道容量信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道总结：总结：1）若严格区分，凡损失熵等于）若严格区分，凡损失熵等于0的信道称为无损信道；的信道称为无损信道；凡噪声熵等于凡噪声熵等于0的信道称为无噪信道。的信道称为无噪信道。2）无损信道）无损信道( )max (; )log (/)P xCI X Yr bit sign3）无噪信道）无噪信道( )max (; )log (/)P xCI X Ys bit sign2、简单离散信道的信道容量、简单离散信道的信道容量信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例例求BEC的信道容量0101e1-p1-ppp信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道3、对称信道的信道容量、对称信道的信道容量3131616161613131P1111336611116363P ？12,.,sp pp12 ,.,rq qq(|)( )( | )log( | )XYH Y XP xP y xP y x 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道3、对称信道的信道容量、对称信道的信道容量3131616161613131P12,.,sp pp12 ,.,rq qq),.,(log21spppHsC12(,.,)sH p pp(; )( )(|)I X YH YH Y X12( )(,.,)sH YH p pp？信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例1prprprpprprprpp1.11.1.111.11强对称信道信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道4、离散无记忆、离散无记忆N次扩展信道的信道容量次扩展信道的信道容量NiiixPNNxPNYXIYXIC1)()();(max);(maxCCiNCCN达到的条件：只有当信源无记忆时，每一输入变量Xi的分布P(x)各自达到最佳分布时。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道有噪声的打字机信道考虑26个键的打字机1）如果每敲击一个键，它就准确地输出相应的字符，那么该容量C是多少？2）如果假设敲击一个键都会导致输出该键对应的字母或者下一个字母等概率出现，即敲A可能输出A或B，敲Z可能输出Z或A。那么此时的容量如何？信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式1、连续消息的信息度量1)(,)(),()(badxxpxpbaxPX1)(,)()(dxxpxpRxPX()( )log( ( )iixH Xp xxp xx 0 x()( )log( )( )logH Xp xp x dxp xxdx 连续信源的可能取值数是无限多个，若设取值是等概率分布，那么，信源的不确定为无限大。()h X连续信源的熵1）与离散信源的熵在形式上统一；2）实际问题中常常讨论熵之间差值问题。差熵差熵v高斯分布情况()( )ln( )h Xp xp x dx dxmxxp2)(exp21ln)(222dxxp221ln)(dxmxxp222)()(22222lneln21)2ln(212)2ln(212e信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道2、高斯信道的信道容量附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式2( ): max(; )P x E xPCI X YI(X;Y) = h(Y) h(Y|X) = h(Y) - h(n)xiyizixi:样值，正态分布yi:样值，正态分布yi = xi + zi:正态分布xi、zi统计独立高斯信道通信模型2、高斯信道的信道容量附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道信道的输出功率为Ey2 = E( x + z )2 = Ex2 + 0 + Ez2 = S + N根据最大熵定理平均功率受限条件下信源的最大熵定理若某信源输出信号的平均功率和均值被限定，则当其输出信号幅度的概率密度函数p(x)是高斯分布时，信源达到最大熵值。21()ln(2)2h Xe 1( )log2()2h Ye SN1( )log(2)2h neN有11(; )log2()log(2)22I X Ye SNeN)/)(1log(21样值bitNSC信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式3、带限信道的信道容量对于带限信号，采样定理指出，若信号的有效带宽为B，采样频率为fs，则当fs2B时，样值序列能够保留原连续信号全部的频谱特征，或者说全部的信息量。)1log(212NSBCt)(1log(bpsNSB香农公式信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式4、香农公式的意义)(1log(bpsNSBC信噪比1）信道容量与所传输信号的有效带宽成正比，信号的有效带宽越宽，信道容量越大2）信道容量与信道信噪比有关，信噪比越大，信道容量越大，其制约规律呈对数关系3）当信道上的信噪比小于1时，信道容量并不等于0，这说明此时信道仍具有传输信息的能力4）信道容量C、有效带宽B和信噪比S/N可以相互起补偿作用，即可以互换。C不变，B增加，S减小， 扩频通信C不变，B减小，S增加， 多相位调制信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式4、香农公式的意义是否可以用无限制地加大信号有效带宽的方法来减小发射功率，或在任意低的信噪比情况下仍能实现可靠通信呢？000log 1N BSSCSN BN0044. 1loglimNSNSeCB信号有效带宽与发射功率互换的有效性问题。信道容量往往是给定的，这时可以根据信道特性来权衡发射功率和信号有效带宽的互换，使系统的设计趋于最佳。)(1log(bpsNSBC信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道附：香农信道容量公式附：香农信道容量公式5、香农限log(1)SCBN0log(1)tbR EBB N在信道带宽不受限的情况下/021/C BbtENRB若B趋近于，且Rt趋近于C，则/0min21limln21.6/C BbBEdBNC B 在带宽不受限的高斯白噪声信道中，只要每赫兹频带传输一比特信息的信噪比不低于-1.6dB，通过最佳信道编码，就有可能实现无差错的传输！这是高斯信道中传输信息的极限能力，称为香农限！ 信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1）在图片传输中，每帧约为2.25106个像素，为了能很好地重现图像，需分16个亮度电平，并假设亮度电平等概率分布。试计算每秒钟传送30帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB）。练习2）设在平均功率受限高斯可加波形信道中，信道带宽为3kHz，又设（信号功率 + 噪声功率）/噪声功率 = 10dB。 试计算该信道传送的最大信息率（单位时间）。 若功率信噪比降为5dB，要达到相同的最大信息传 输率，信道带宽应是多少。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道一、信道的数学模型与分类二、信道疑义度与平均互信息三、平均互信息的性质四、离散无记忆的扩展性道五、信道容量六、信源与信道的匹配六、信源与信道的匹配信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道当信源与信道连接时，若信息传输率达到信道容量，则称当信源与信道连接时，若信息传输率达到信道容量，则称此信源与信道达到匹配，否则，认为信道有剩余。此信源与信道达到匹配，否则，认为信道有剩余。信道信道 剩余剩余信源剩余度011logHHrHq 信道剩余度CYXICYXIC);(1);(信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道例，某离散无记忆信源321321161814121)(654321sssssssPSH(S) = 1.937(bit/信源符号信源符号)C1: 000 001 010 011 100 101C2: 0000 0001 0010 0011 0100 0101R1 = H(S)/3 = 0.646(bit/R1 = H(S)/3 = 0.646(bit/信道符号信道符号) )R2 = H(S)/4 = 0.484(bit/R2 = H(S)/4 = 0.484(bit/信道符号信道符号) )C = 1(bit/信道符号信道符号)信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道作业作业P56：1 、5 、 9 、 10思考题思考题令X,Y1,Y2为二进制随机变量，1）如果I(X; Y1) = 0 且 I(X; Y2) = 0,可否推出I(X; Y1, Y2) = 0? 试举例说明。信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道1,0,izmXelse1,10,ikmYelse1,20,kzYelsei= 0,1,2,z,k为随机变量X = Y1 XOR Y22）如果 I(X; Y1) = 0 且I(X; Y2) = 0，是否可推出 I(Y1; Y2) = 0? 请说明。令Y1 = Y2I(Y1;Y2) = 1信息论与编码基础信息论与编码基础离散信道离散信道思考题思考题12111(|)(|)(|).(|.)NNNNNNNH YXH YXH YY XH YYYX