等腰三角形难题

等腰三角形补充练习一选择题（共3小题）1在ABC中，B=30，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若ADE为等腰三角形，则C的度数为（）A20B20或30C30或40D20或402如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A7个B8个C9个D10个3如图所示，在ABC中，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（）ABCD二 填空题（共14小题）5 在同一平面内，已知点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC的度数为 6 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个三角形的底角为 7 有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是 度8如图，BAC=（090），现只用4根等长的小棒将BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角的取值范围是 9如图，在ABC中，AC=BCAB，点P为ABC所在平面内一点，且点P与ABC的任意两个顶点构成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个10如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是 P在A的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP11如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为 12 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为 13如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则= 14如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=80，P在ABC内，PBC=10，PCB=30，则PAB= 15线段AB和直线l在同一平面上则下列判断可能成立的有 个直线l上恰好只有个1点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使ABP为等腰三角形16如图，ABC为正三角形，面积为SD1，E1，F1分别是ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得D1E1F1，则D1E1F1的面积S1= ；如，D2，E2，F2分别是ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则D2E2F2的面积S2= ；按照这样的思路探索下去，Dn，En，Fn分别是ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=AB，则Sn= 17 已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 18如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 度2017年08月23日139*2832的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2016秋资中县期末）在ABC中，B=30，点D在BC边上，点E在AC边上，AD=BD，DE=CE，若ADE为等腰三角形，则C的度数为（）A20B20或30C30或40D20或40【解答】解：如图所示，AD=BD，B=30，ADC=60，DE=CE，可设C=EDC=，则ADE=60，AED=2，根据三角形内角和定理可得，DAE=120，分三种情况：当AE=AD时，有60=2，解得=20；当DA=DE时，有120=2，解得=40；当EA=ED时，有120=60，方程无解，综上所述，C的度数为20或40，故选：D2（2016春乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A7个B8个C9个D10个【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个故选（B）3（2015天心区校级自主招生）如图，已知等边ABC外有一点P，P落在BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）A4B8C9D12【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则SPAB+SPACSPCB=SCAB，即ah1+ah2ah3=，a（h2+h3h1）=，h2+h3h1=6，a=4，SCAB=12，故选（D）4（1998杭州）如图所示，在ABC中，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（）ABCD【解答】解：根据题意：在ABC中，AB=ACB=CAE=ADADE=AED，即B+EDC=C+EDC化简可得：=2EDCEDC=故选A二填空题（共14小题）5（2016江西模拟）在同一平面内，已知点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC的度数为15或30或60或75或150【解答】解：根据点P在等边ABC外部，且与等边ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：AP1C=15，AP2C=30，AP3C=60，AP4C=75，AP5C=150故答案为：15或30或60或75或1506（2016秋东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个三角形的底角为67.5或22.5【解答】解：有两种情况；（1）如图，当ABC是锐角三角形时，BDAC于D，则ADB=90，已知ABD=45，A=9045=45，AB=AC，ABC=C=（18045）=67.5；（2）如图，当EFG是钝角三角形时，FHEG于H，则FHE=90，已知HFE=45，HEF=9045=45，FEG=18045=135，EF=EG，EFG=G=（180135）=22.5，故答案为：67.5或22.57（2013香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36或60度【解答】解：假设等腰三角形甲为ABC，等腰三角形乙为DEF（如图所示）顶角为D根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使BC与DE重合，DF与AB重合，如果A为锐角，则F点在AB边上，由于CF=AC，由图知是不可能的如果A为钝角，则F点在AB延长线上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，1=2=3=60，即甲的底角是60故答案是：36或608（2013泰州一模）如图，BAC=（090），现只用4根等长的小棒将BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角的取值范围是1822.5【解答】解：A1A2=AA11=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，由题意得：，1822.59（2013宜兴市一模）如图，在ABC中，AC=BCAB，点P为ABC所在平面内一点，且点P与ABC的任意两个顶点构成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，ABC的外心P1为满足条件的一个点，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6故答案为：610（2013安徽模拟）如图所示，ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是P在A的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP【解答】解：PR=PS，PRAB，PSAC，P在A的平分线上，在RtARP和RtASP中，RtARPRtASP（HL），AS=AR，QAP=PAR，AQ=PQ，PAR=QPA，QPA=QARQPAR，ABC为等边三角形，B=C=BAC=60，PAR=QPA=30，PQS=60，在BRP和QSP中，BRPQSP（AAS），项四个结论都正确，故答案为11（2012贵阳）如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为【解答】解：在ABA1中，B=20，AB=A1B，BA1A=80，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40；同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，An=故答案为：12（2012枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为8或6，底边长为5或9【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰上的中线，AD=DC=x，若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8；等腰三角形的底边为9时，腰长为6；故答案为：8或6；5或913（2011济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则=【解答】解：AD=BE，CE=BD，等边三角形ABC，CAEDCB，DCB=CAE，AFG=CAF+ACF=ACF+DCB=60，AGCD，FAG=30，FG：AF=故答案为：14（2011鄂州校级模拟）如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=80，P在ABC内，PBC=10，PCB=30，则PAB=70【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DCAD=AB=AC，DAC=BACBAD=20，ACD=ADC=80，AB=AC，BAC=80，ABC=ACB=50，CDB=140=BPC，又DCB=30=PCB，BC=CB，BDCBPC，PC=DC，又PCD=60，DPC是等边三角形，APDAPC，DAP=CAP=DAC=20=10，PAB=DAP+DAB=10+60=70或由BDCBPC，BP=BD=BABAP=BPA又ABP=ABCPBC=40BAP=（18040）/2=70故答案为：7015（2011海曙区模拟）线段AB和直线l在同一平面上则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使ABP为等腰三角形【解答】解：要使APB是等腰三角形，分为三种情况：AP=BP（即作AB的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）直线l上恰好只有个1点P，使ABP为等腰三角形正确；AB=AP（以A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点），即直线l上恰好只有个2点P，使ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个3点P，使ABP为等腰三角形正确；AB=BP（以B为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点）即直线l上恰好只有个4点P，使ABP为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个5点P，使ABP为等腰三角形正确；1+2+2=5，直线l上恰好只有个6点P，使ABP为等腰三角形错误；故答案为：516（2011拱墅区校级模拟）如图，ABC为正三角形，面积为SD1，E1，F1分别是ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，可得D1E1F1，则D1E1F1的面积S1=S；如，D2，E2，F2分别是ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB，则D2E2F2的面积S2=S；按照这样的思路探索下去，Dn，En，Fn分别是ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=AB，则Sn=S【解答】解：ABC为正三角形，AB=BC=AC，A=B=C=60，AD1=BE1=CF1=AB，BD1=CE1=AF1=AB，AD1F1BD1E1CE1F1，设等边ABC的边长为a，则S=a2sin60，AD1F1的面积=aasin60=S，D1E1F1的面积S1=S3S=S；同理，AD2=BE2=CF2=AB时，BD2=CE2=AF2=AB，AD2F2的面积S2=aasin60=S，D2E2F2的面积S2=S3S=S；ADn=BEn=CFn=AB时，BDn=CEn=AFn=AB，ADnFn的面积=aasin60=S，DnEnFn的面积Sn=S3S=S故答案为：S，S，S17（2009滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是x5【解答】解：依题意得：102xxx102x+x，解得x5故填x518（2005江西）如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=220度【解答】解：如图，ABC中，A+B=180C=18040=140；四边形中，1+2=360（A+B）=360140=220故填220