高等数学最小二乘法

第九章 *第十节问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 )(iixfy 实验数据有误差,不能要求), 1n最小二乘法最小二乘法 在工程问题中，常常需要根据两个变量的在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值几组实验数值实验数据，来找出这两个变实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做的函数的近似表达式叫做经验公式经验公式. .一、经验公式一、经验公式问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法二、最小二乘法例例1 1为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间实验：经过一定时间( (如每隔一小时如每隔一小时) )，测量一，测量一次刀具的厚度次刀具的厚度, ,得到一组试验数据如下：得到一组试验数据如下：顺序编号顺序编号i01234567时间时间it(小时小时)01234567刀具厚度刀具厚度iy(毫米毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3试试根根据据上上面面的的试试验验数数据据建建立立y和和t之之间间的的经经验验公公式式)(tfy . . 观观察察可可以以认认为为)(tfy 是是线线性性函函数数, ,并并设设,)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常数数. .tyo1 247356824252627如图，在坐标纸上画出如图，在坐标纸上画出这些点，这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的能要求选取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解首先确定首先确定)(tf的类型的类型. .就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数择常数 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小最小来保证每个偏差的绝对值都很小M把看成自变量把看成自变量 和和 的一个二元函数，的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数那么问题就可归结为求函数 在那在那些点处取得最小值些点处取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty将括号内各项进行整理合并，并把未知数将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和和 分离出来，便得分离出来，便得ab)1(.8,70707070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity代入方程组（代入方程组（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程组，得到解此方程组，得到.125.27,3036. 0 ba这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036. 0)( ttfy由（由（2）式算出的函数值）式算出的函数值 与实测与实测 的有的有一定的偏差一定的偏差.现列表比较如下：现列表比较如下：)(itfiyit01234567实实测测iy27.026.826.526.326.125.725.324.3算算得得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏偏差差-0.125-0.021 -0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和偏差的平方和 ，它的平方根它的平方根 108165. 0 M329. 0 M我们把我们把 称为称为均方误差均方误差，它的大小在一定，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏系的近似程度的好坏M例例2 2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：6.58.912.216.622.731.041.957.6242118151296387654321ii iy其中其中 表示从实验开始算起的时间，表示从实验开始算起的时间， 表示时刻表示时刻反应物的量试定出经验公式反应物的量试定出经验公式 y).( fy 解解)( fy 由化学反应速度的理论知道，由化学反应速度的理论知道， 应是应是指数函数：指数函数：, mkey 其中其中 和和 是待定常数是待定常数.km由于由于所以仿照例所以仿照例1中的讨论中的讨论,通过求方程组通过求方程组)3(lg8,lg81818181812 iiiiiiiiiiiybayba 的解的解,把把 确定出来确定出来.ba,lgbay 讨论：讨论：通过计算得通过计算得,10881 ii ,1836812 ii , 3 .10lg81 iiy.122lg81 iiiy 将他们代入方程组（将他们代入方程组（3）得）得 . 3 .108108,1221081836baba解这方程组，得解这方程组，得 .8964. 1lg,045. 04343. 0kbma.78.78,1036. 0 km因此所求经验公式为因此所求经验公式为.78.781036. 0 ey三、小结三、小结用的一种用的一种，其中最小二乘法是常，其中最小二乘法是常作曲线拟合有多种方法作曲线拟合有多种方法，给定平面上一组点给定平面上一组点), 3 , 2 , 1(),(niyxii 最小二乘法的原理：最小二乘法的原理： 达到最小达到最小，使，使求求 niiibatyMtf12)()(注意：计算机与数据拟合注意：计算机与数据拟合（参看高等数学实验课讲义郭锡伯徐安农编）（参看高等数学实验课讲义郭锡伯徐安农编）观测数据:用最小二乘法确定a, b 通过计算确定某些经验公式类型的方法:), 1 ,0(),(niyxii),2, 1(,11niyyyxxxiiiiii令,) 1 (定值若iixybxay则考虑,lnln)2(定值若iixybxay 则考虑,ln)3(定值若iixyxbeay 则考虑axbylnlnln转化为axbylnln转化为练练 习习 题题:(%)0的数据如下表的数据如下表与与，由实验测得，由实验测得为为，其溶解温度，其溶解温度为为比比某种合金的含铅量百分某种合金的含铅量百分 pCp之间的经验公式之间的经验公式与与试用最小二乘法建立试用最小二乘法建立bapp %pC0 9 .367 .467 .631812351972922832708 .770 .845 .87练习题答案练习题答案.33.95234. 2 p