考研高分必备——高等数学(微积分)公式

word考研高分必备高等数学微积分公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：和差角公式： 和差化积公式：诱导公式： 函数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg倍角公式：半角公式：正弦定理：余弦定理：反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹Leibniz公式：曲率：中值定理与导数应用：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法与应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值与其求法：重积分与其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程与其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式整理本人提供超强考研英语万能大作文模板，极适合英语根底差或对考研英语作文头疼的同学，本人今年考上的研究生，英语根底非常差，要是自己写可以说一个完整没错的句子都写不出，但使用此套模板考研作文答的非常好可使您轻松16+(总分为20)，而且节约了大量时间做其他的题目考试时时间是非常紧的！，此套模板绝对是经实践检验的！欲交流经验的请加。大家知道考研单科受限绝大多数都是出在英语上，英语难是出了名的，尤其对英语根底稍差的更是头疼，害怕总分考得很高却挂在英语上实在可惜，平时花费大量时间在英语上效果却不理想。本套模板的特点是量少，只有四篇，涵盖全部四个类型，同学们也清楚如果给你几十上百的模板或压题我感觉就跟没给一样，因为你根本就不可能把那么多文章都弄熟了，时间上也不允许，尤其对英语根底稍差的，记英语的东西本来就很困难，而本套模板量很少就能方便同学很快掌握，熟练运用。而且本套模板功能十分强大！任何考研题目都能完美套用，保证了您打高分，最后一个特点是模板内所需根据题目填写的词极少，可以说95%的都已给出，大家知道市面上我们见到的所谓模板往往就一个骨架，净是些连接性语句，大多数语句都还要自己写，这对英语根底稍差的无疑是困难的，而本模板就不同了，只要你考前将模板背熟写熟，上考场就可快速写出了！我也是今年考上的研究生，本套模板是经本人和同学实践检验的，大作文都可打到16+，欲交流经验请加,我空间日志有详细介绍！1随机事件与其概率吸收律：反演律：2概率的定义与其计算假如对任意两个事件A, B, 有加法公式：对任意两个事件A, B, 有3条件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4随机变量与其分布分布函数计算5离散型随机变量(1) 0 1 分布(2) 二项分布 假如P ( A ) = p *Possion定理有 (3) Poisson 分布 6连续型随机变量(1) 均匀分布 (2) 指数分布 (3) 正态分布 N (m , s2 )*N (0,1) 标准正态分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数(1)区域G 上的均匀分布，U ( G )(2)二维正态分布数学期望随机变量函数的数学期望X 的k阶原点矩X 的k阶绝对原点矩X 的k阶中心矩X 的方差X ,Y 的k + l阶混合原点矩X ,Y 的k + l阶混合中心矩X ,Y 的二阶混合原点矩X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差X ,Y 的相关系数X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) 协方差相关系数线性代数局部本人提供超强考研英语万能大作文模板，极适合英语根底差或对考研英语作文头疼的同学，本人今年考上的研究生，英语根底非常差，要是自己写可以说一个完整没错的句子都写不出，但使用此套模板考研作文答的非常好可使您轻松16+(总分为20)，而且节约了大量时间做其他的题目考试时时间是非常紧的！，此套模板绝对是经实践检验的！欲交流经验的请加。大家知道考研单科受限绝大多数都是出在英语上，英语难是出了名的，尤其对英语根底稍差的更是头疼，害怕总分考得很高却挂在英语上实在可惜，平时花费大量时间在英语上效果却不理想。本套模板的特点是量少，只有四篇，涵盖全部四个类型，同学们也清楚如果给你几十上百的模板或压题我感觉就跟没给一样，因为你根本就不可能把那么多文章都弄熟了，时间上也不允许，尤其对英语根底稍差的，记英语的东西本来就很困难，而本套模板量很少就能方便同学很快掌握，熟练运用。而且本套模板功能十分强大！任何考研题目都能完美套用，保证了您打高分，最后一个特点是模板内所需根据题目填写的词极少，可以说95%的都已给出，大家知道市面上我们见到的所谓模板往往就一个骨架，净是些连接性语句，大多数语句都还要自己写，这对英语根底稍差的无疑是困难的，而本模板就不同了，只要你考前将模板背熟写熟，上考场就可快速写出了！我也是今年考上的研究生，本套模板是经本人和同学实践检验的，大作文都可打到16+，欲交流经验请加,我空间日志有详细介绍！ 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各局部内容间的联系。 充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。根本运算或。转置值不变逆值变，3阶矩阵有关乘法的根本运算 线性性质 ， 结合律 不一定成立！，与数的乘法的不同之处不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如无消去律矩阵和矩阵相乘 当时或 由和由时无左消去律特别的设可逆，如此有消去律。 左消去律：。 右消去律：。如果列满秩，如此有左消去律，即可逆矩阵的性质i当可逆时，也可逆，且。也可逆，且。 数，也可逆，。ii，是两个阶可逆矩阵也可逆，且。 推论：设，是两个阶矩阵，如此 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的根本性质： 当可逆时， 得， 求逆矩阵的伴随矩阵法 且得： 伴随矩阵的其他性质,，。 时， 关于矩阵右上肩记号：，*i) 任何两个的次序可交换， 如，等ii)，但不一定成立！线性表示有解有解有解，即可用A的列向量组表示， 如此。，如此存在矩阵，使得 线性表示关系有传递性 当， 如此。 等价关系：如果与互相可表示 记作。线性相关，单个向量，相关，相关对应分量成比例 相关向量个数=维数，如此线性相无关，有非零解如果，如此一定相关的方程个数未知数个数如果无关，如此它的每一个局部组都无关如果无关，而相关，如此 证明：设不全为0，使得 如此其中，否如此不全为0，与条件无关矛盾。于是。当时，表示方式唯一无关 表示方式不唯一相关假如，并且，如此一定线性相关。 证明：记，如此存在矩阵，使得 。有个方程，个未知数，有非零解，。 如此，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式如果无关，如此。如果有相关的局部组，如此它自己一定也相关。如果无关，而，如此无关。如果，无关，如此。推论：假如两个无关向量组与等价，如此。极大无关组一个线性无关局部组，假如等于秩，就一定是极大无关组无关 另一种说法： 取的一个极大无关组也是的极大无关组相关。 证明：相关。可用唯一表示矩阵的秩的简单性质行满秩：列满秩：阶矩阵满秩：满秩的行列向量组线性无关可逆只有零解，唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩时，可逆时， 弱化条件：如果列满秩，如此 证：下面证与同解。是的解是的解可逆时，假如，如此的列数，的行数列满秩时行满秩时解的性质1的解的性质。 如果是一组解，如此它们的任意线性组合一定也是解。 2如果是的一组解，如此也是的解是的解特别的：当是的两个解时，是的解如果是的解，如此维向量也是的解是的解。解的情况判别 方程：，即有解无解唯一解无穷多解 方程个数：当时，有解当时，不会是唯一解 对于齐次线性方程组， 只有零解即列满秩 有非零解特征值特征向量是的特征值是的特征多项式的根。 两种特殊情形： 1是上下三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 2时：的特征值为特征值的性质 命题：阶矩阵的特征值的重数 命题：设的特征值为，如此 命题：设是的特征向量，特征值为，即，如此对于的每个多项式，当可逆时， 命题：设的特征值为，如此的特征值为可逆时，的特征值为的特征值为的特征值也是特征值的应用求行列式判别可逆性是的特征值不可逆可逆不是的特征值。当时，如果，如此可逆 假如是的特征值，如此是的特征值。不是的特征值可逆。n阶矩阵的相似关系 当时，而时，。 相似关系有i对称性：，如此 ii有传递性：，如此，如此 命题 当时，和有许多一样的性质，的特征多项式一样，从而特征值完全一致。与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为，如此它们同时正定或同时不正定，如此，同时正定，同时不正定。 例如。如果正定，如此对每个 可逆，！我们给出关于正定的以下性质正定存在实可逆矩阵，。的正惯性指数。的特征值全大于。的每个顺序主子式全大于。 判断正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。根本概念对称矩阵。反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：解的情况写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。用判别解的情况。i如果最下面的非零行为，如此无解，否如此有解。ii如果有解，记是的非零行数，如此时唯一解。时无穷多解。iii唯一解求解的方法初等变换法 去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 如此都不为。就是解。一个阶行列式的值：是项的代数和每一项为哪一项个元素的乘积，它们共有项 其中是的一个全排列。 前面乘的应为的逆序数代数余子式为的余子式。定理：一个行列式的值等于它的某一行列，各元素与各自代数余子式乘积之和。一行列的元素乘上另一行列的相应元素代数余子式之和为。 X德蒙行列式个乘法相关的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。 乘积矩阵的列向量与行向量 1设矩阵，维列向量，如此 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式， 方程组的向量形式 2设，的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。 矩阵分解当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的假如干问题对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量 于是，两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。 于是 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如：初等矩阵与其在乘法中的作用 1：交换的第两行或交换的第两列 2：用数乘的第行或第列 3：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初等矩阵从左右侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行列变换乘法的分块法如此 一般法如此：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成假如干小矩阵来进展，要求的纵向分割与的横向分割一致。 两种常用的情况 1都分成4块， 其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。 2准对角矩阵矩阵方程与可逆矩阵 两类根本的矩阵方程 都需求是方阵，且 I的解法： II的解法，先化为。 通过逆求解：，可逆矩阵与其逆矩阵 定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，如此称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。 定理：阶矩阵可逆求的方程初等变换法 伴随矩阵 线性表示可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，也就是存在使得 记号：线性相关性 线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。 线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示 定义：如果存在不全为的，使得如此称线性相关，否如此称线性无关。 即：线性相无关有无非零解有无非零解 极大无关组和秩定义：的一个局部组称为它的一个极大无关组，如果满足：i线性无关。ii再扩大就相关。定义：规定的秩。如果每个元素都是零向量，如此规定其秩为。有一样线性关系的向量组 定义：两个向量假如有一样个数的向量：，并且向量方程与同解，如此称它们有一样的线性关系。对应的局部组有一致的相关性。的对应局部组， 假如相关，有不全为的使得， 即是的解， 从而也是的解，如此有，也相关。极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设：，如此 即 ， 即 。与有一样的线性关系即与同解。反之，当与同解时，和的列向量组有一样的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩 规定行列向量组的秩。的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，如此的非零行数即。命题：的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式 1 2是解 3 有解根底解系和通解 1有非零解时的根底解系是的根底解系的条件：每个都是的解线性无关的每个解/ 通解如果是的一个根底解系，如此的通解为，任意如果是的一个解，是的根底解系，如此的通解为，任意特征向量与特征值 定义：如果，并且与线性相关，如此称是的一个特征向量。此时，有数，使得，称为的特征值。设是数量矩阵，如此对每个维列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。特征值有限特征向量无穷多 假如，每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有一样的特征值。计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算是的非零解 命题：是的特征值是属于的特征向量是的非零解 称多项式为的特征多项式。是的特征值是的特征多项式的根。的重数：作为的根的重数。阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤：求出特征多项式。求的根，得特征值。对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。n阶矩阵的相似关系 设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，如此称与相似，记作。n阶矩阵的对角化 根本定理 可对角化有个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵，如此， 判别法如此可对角化对于的每个特征值，的重数。计算：对每个特征值，求出的一个根底解系，把它们合在一起，得到个线性无关的特征向量，。令，如此，其中为的特征值。二次型实二次型二次型与其矩阵 一个元二次型的一般形式为 只有平方项的二次型称为标准二次型。 形如：的元二次型称为规X二次型。 对每个阶实矩阵，记，如此是一个二次型。 称的秩为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规X二次型的矩阵是规X对角矩阵。可逆线性变量替换 设有一个元二次型，引进新的一组变量，并把用它们表示。 并要求矩阵是可逆矩阵 代入，得到的一个二次型这样的操作称为对作了一次可逆线性变量替换。 设，如此上面的变换式可写成 如此 于是的矩阵为实对称矩阵的合同 两个阶实对称矩阵和，如果存在阶实可逆矩阵，值得。称与合同，记作。 命题：二次型可用可逆线性变换替换化为二次型的标准化和规X化 1每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规X二次型。 也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规X对角矩阵。 设是一个实对称矩阵，如此存在正交矩阵，使得是对角矩阵。， 2标准化和规X化的方法正交变换法 配方法 3惯性定理与惯性指数 定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。 一个二次型化出的规X二次型在形式上是唯一的，也即相应的规X对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵合同于唯一规X对角矩阵。 定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正负惯性指数就等于正负特征值的个数。正定二次型与正定矩阵 定义：一个二次型称为正定二次型，如果当不全为0时，。 例如，标准二次型正定， 必要性“，取，此时同样可证每个实对称矩阵正定即二次型正定，也就是：当时，。 例如实对角矩阵正定，定义：设是一个阶矩阵，记是的西北角的阶小方阵，称为的第个顺序主子式或阶顺序主子式。附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化一向量的内积1定义 两个维实向量的内积是一个数，记作，规定为它们对应分量乘积之和。 设，如此 2性质对称性：双线性性质：正交性：，且3长度与正交 向量的长度 单位向量：长度为的向量， 假如，如此是单位向量，称为的单位化。 两个向量如果内积为0：，称它们是正交的。 如果维向量组两两正交，并且每个都是单位向量，如此称为单位正交向量组。 例1如果向量组两两正交，并且每个向量都不为零向量，如此它们线性无关。 证：记，如此 如此即。 例2假如是一个实的矩阵，如此。 二正交矩阵 一个实阶矩阵如果满足，就称为正交矩阵。 定理 是正交矩阵的行向量组是单位正交向量组。的列向量组是单位正交向量组。 例3正交矩阵保持内积，即 证： 例404是3阶正交矩阵，并且，求的解。三施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。 设线性无关正交化：令 设， 当时，正交。单位化：令， 如此是与等价的单位正交向量组。四实对称矩阵的对角化 设是一个实的对称矩阵，如此的每个特征值都是实数。对每个特征值，重数。即可以对角化。属于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩阵，使得是对角矩阵。 对每个特征值，找的一个单位正交根底的解，合在一起构造正交矩阵。 设是阶的有个特征值二重，三重，一重 找的个单位正交特征向量。 找的个单位正交特征向量。 找的一个单位特征向量。 例504是阶实对称矩阵，是它的一个二重特征值，和都是属于的特征向量。 1求的另一个特征值。 2求。 解：1另一个特征值为。 2设是属于的特征向量，如此 此方程组，根底解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是，每个非零解都是属于的特征向量。是一个解。附录二 向量空间 1维向量空间与其子空间 记为由全部维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为维向量空间。 设是的一个子集，如果它满足 1当都属于时，也属于。 2对的每个元素和任何实数，也在中。如此称为的一个子空间。 例如元齐次方程组的全部解构成的一个子空间，称为的解空间。 但是非齐次方程组的全部解如此不构成的子空间。 对于中的一组元素，记它们的全部线性组合的集合为，它也是的一个子空间。 2基，维数，坐标 设是的一个非子空间即它含有非元素，称的秩为其维数，记作。 称的排了次序的极大无关组为的基。 例如的解空间的维数为，它的每个有序的根底解系构成基。 又如，的每个有序的极大无关组构成基。 设是的一个基，如此的每个元素都可以用唯一线性表示： 称其中的系数为关于基的坐标，它是一个维向量。 坐标有线性性质： 1两个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果向量和关于基的坐标分别为和，如此关于基的坐标为 2向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量关于基的坐标为，如此关于基的坐标为。 坐标的意义：设中的一个向量组关于基的坐标依次为，如此和有一样的线性关系。 于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3过渡矩阵，坐标变换公式 设和都是的一个基，并设在中的坐标为，构造矩阵， 称为到的过渡矩阵。 如果中向量在其和中的坐标分别为和，如此 于是关系式：称为坐标变换公式。4规X正交基 如果的一基是单位正交向量组，如此称为规X正交基。 两个向量的内积等于在规X正交基下的它们坐标的内积。 设的坐标为，的坐标为， 如此两个规X正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。做题思路先化简再计算 例503设维列向量，。规定，。，求。注意化简技巧中间过程也很重要例1300己知，求矩阵，使得.证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明Ax=E ，证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA 从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点例20设阶矩阵和满足等式，, 证明：本人提供超强考研英语万能大作文模板，极适合英语根底差或对考研英语作文头疼的同学，本人今年考上的研究生，英语根底非常差，要是自己写可以说一个完整没错的句子都写不出，但使用此套模板考研作文答的非常好可使您轻松16+(总分为20)，而且节约了大量时间做其他的题目考试时时间是非常紧的！，此套模板绝对是经实践检验的！欲交流经验的请加。大家知道考研单科受限绝大多数都是出在英语上，英语难是出了名的，尤其对英语根底稍差的更是头疼，害怕总分考得很高却挂在英语上实在可惜，平时花费大量时间在英语上效果却不理想。本套模板的特点是量少，只有四篇，涵盖全部四个类型，同学们也清楚如果给你几十上百的模板或压题我感觉就跟没给一样，因为你根本就不可能把那么多文章都弄熟了，时间上也不允许，尤其对英语根底稍差的，记英语的东西本来就很困难，而本套模板量很少就能方便同学很快掌握，熟练运用。而且本套模板功能十分强大！任何考研题目都能完美套用，保证了您打高分，最后一个特点是模板内所需根据题目填写的词极少，可以说95%的都已给出，大家知道市面上我们见到的所谓模板往往就一个骨架，净是些连接性语句，大多数语句都还要自己写，这对英语根底稍差的无疑是困难的，而本模板就不同了，只要你考前将模板背熟写熟，上考场就可快速写出了！我也是今年考上的研究生，本套模板是经本人和同学实践检验的，大作文都可打到16+，欲交流经验请加,我空间日志有详细介绍！