2018年中考数学考点总动员系列 专题32 图形的旋转（含解析）

考点三十二：图形的旋转 聚焦考点温习理解一、旋转 1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称 1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。三、中心对称与轴对称的区别与联系：1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心点；图形绕中心旋转180，旋转后与另一个图形重合轴对称有一条对称轴直线图形沿直线翻折180，翻折后与另一个图形重合2.中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形四、中心对称与中心对称图形区别与联系.1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180，与原图形重合2.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称名师点睛典例分类考点典例一、识别中心对称图形【例1】（2017甘肃庆阳第1题）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A B C D【答案】B考点：中心对称图形.【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合【举一反三】1（2017江苏无锡第4题）下列图形中，是中心对称图形的是（）ABCD【答案】C考点：中心对称图形2. （2017山东烟台第2题）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）【答案】A【解析】试题解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意故选A考点：中心对称图形；轴对称图形考点典例二、旋转的性质应用【例2】（2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）A B C. D 【答案】B【解析】试题解析：如图连接PC在RtABC中，A=30，BC=2，AB=4，根据旋转不变性可知，AB=AB=4，AP=PB，PC=AB=2，CM=BM=1，又PMPC+CM，即PM3，PM的最大值为3（此时P、C、M共线）故选B考点：旋转的性质【点睛】此题主要考查了旋转的性质的应用通常在解决此类问题时要注意：(1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系【举一反三】1. （2017湖北孝感第8题） 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点坐标为（ ）A B C. D 【答案】D【解析】试题分析：作ABx轴于点B，AB= 、OB=1，则tanAOB=，AOB=60，AOy=30将点A顺时针旋转150得到点A后，如图所示，OA=OA= =2，AOC=30，AC=1、OC=，即A（，1），故选D考点：坐标与图形的变化旋转.2. （2017广西贵港第16题）如图，点 在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 【答案】【解析】试题解析：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，CP=CP=6，PCP=60，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC为等边三角形，CB=CA，ACB=60，PCB=PCA，在PCB和PCA中 PCBPCA，PB=PA=10，62+82=102，PP2+AP2=PA2，APP为直角三角形，APP=90，sinPAP=考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形考点典例三、与旋转有关的作图【例3】. （2017浙江宁波第20题）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形(画出一个即可)；(2)将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：根据题意画出图形即可.试题解析：（1）如图所示：或（2）如图所示：考点：1.轴对称图形；2.旋转.【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键【举一反三】（2017黑龙江齐齐哈尔第21题）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，（1）画出关于轴的对称图形；（2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的；（3）求（2）中线段扫过的图形面积 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）线段OA扫过的图形面积为【解析】考点：1.作图旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图轴对称变换课时作业能力提升1. （2017郴州第2题）下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，不是中心对称图形；选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C不是轴对称图形，是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形故选B 考点：轴对称图形和中心对称图形.2. （2017四川自贡第6题0下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）【答案】A.考点：1.轴对称图形；2.中心对称图形.3. （2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形和正方形中，点在上，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( )A.B.C.D.【答案】AA【解析】试题解析：作GICD于I，GRBC于R，EHBC交BC的延长线于H连接RF则四边形RCIG是正方形DGF=IGR=90，DGI=RGF，在GID和GRF中， GIDGRF，GID=GRF=90，点F在线段BC上，在RtEFH中，EF=2，EFH=30，EH=EF=1，FH=，易证RGFHFE，RF=EH，RGRC=FH，CH=RF=EH，CE=，RG=HF=，CG=RG=，CE+CG=+故选A考点：旋转的性质；正方形的性质4. （2017贵州安顺第16题）如图，一块含有30角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，若BC=12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为 cm【答案】16考点：旋转的性质5. （2017江苏盐城第15题）如图，在边长为1的小正方形网格中，将ABC绕某点旋转到ABC的位置，则点B运动的最短路径长为 【答案】【解析】试题解析：如图作线段AA、CC的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB=，B运动的最短路径长为=. 考点：旋转的性质6. （2017四川宜宾第12题）如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到COD，若AOB=15，则AOD的度数是 【答案】60.【解析】试题解析：如图，由题意及旋转变换的性质得：AOC=45，AOB=15，AOD=45+15=60.考点：旋转的性质7. （2017浙江衢州第16题） 如图，正ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是_；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为_【答案】（5，）；.【解析】试题解析：如图，作B3Ex轴于E，易知OE=5，B3E=，B3（5，），观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：，20173=6721，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为：672（考点：点的坐标.8. （2017湖南株洲第16题）如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为【答案】.【解析】试题分析：y=0时，x+=0，解得x=1，则A（1，0），当x=0时，y=x+=，则B（0，），在RtOAB中，tanBAO=，BAO=60，AB= ，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度=故答案为考点：一次函数图象与几何变换；轨迹9（2017湖北咸宁第15题） 如图，边长为的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点顺时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为 【答案】（2，2）考点：坐标与图形变化旋转；规律型：点的坐标10. （2017上海第16题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n后（0n180 ），如果EFAB，那么n的值是【答案】45【解析】试题分析：如图1中，EFAB时，ACE=A=45，旋转角n=45时，EFAB如图2中，EFAB时，ACE+A=180，ACE=135旋转角n=360135=225，0n180，此种情形不合题意，故答案为45考点：1.旋转变换；2.平行线的性质11（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 【答案】【解析】试题分析：四边形ABCD是正方形，ABC=90，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30，ABP=60，ABP是等边三角形，BAP=60，AP=AB=，AD=，AE=4，DE=2，CE=2，PE=4，过P作PFCD于F，PF=PE=3，三角形PCE的面积=CEPF=（2）（3）=，故答案为：考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题12. （2017贵州六盘水第22题）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上.(1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标.(2)求点旋转到点的路径(结果保留).【答案】(1) ;(2) .试题分析：(1)利用中心对称画出图形并写出坐标；(2)利用弧线长计算公式计算点旋转到点的路径试题解析：（1）图形如图所示，（2）由图可知，OB=,=.考点：坐标与图形变化-旋转（中心对称）；弧线长计算公式13.（2017辽宁大连第24题）如图，在中，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：； （2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；试题解析：（1）证明：如图1中，EDE=C=90，ADP+CDE=90，CDE+DEC=90，ADP=DEC （2）解：如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=MNAC，四边形DCMN是矩形，PM=PQcos=y，PN=（3x），（3x）+y=x，当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，PN=DM，DM=（3x），PN=PQsin=y，（3x）=y，综上所述， 考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.14. （2017郴州第26题）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接. （1）求证：是等边三角形； （2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到DCE=60，DC=EC，即可得到结论；（2）当6t10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CDAB时，BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当0t6时，由旋转的性质得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根据等边三角形的性质得到DEB=60，求得CEB=30，求得OD=OADA=64=2，于是得到t=21=2s；当6t10s时，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质得到DBE=60，求得BDE60，于是得到t=141=14s试题解析：（1）证明：将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等边三角形；（3）存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意，当0t6时，由旋转可知，ABE=60，BDE60，BED=90，由（1）可知，CDE是等边三角形，DEB=60，CEB=30，CEB=CDA，CDA=30，CAB=60，ACD=ADC=30，DA=CA=4，OD=OADA=64=2，t=21=2s；当6t10s时，由DBE=12090，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质可知，DBE=60，又由（1）知CDE=60，BDE=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE=90，从而BCD=30，BD=BC=4，OD=14cm，t=141=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形考点：旋转与三角形的综合题.21