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知识点38 相似、位似及其应用一、选择题1. （2018山东滨州，6，3分）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8）、B（10，2）若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A（5，1） B（4，3） C（3，4） D（1，5）【答案】C【解析】根据题意：点C的坐标为(6，8)，即C(3，4)，【知识点】以原点为位似中心的两个位似图形的坐标特征2. （2018四川泸州，10题，3分）如图4，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（ ）A. B. C. D.第10题图【答案】C【解析】因为正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以设边长为4a，则AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延长BE、CD交于点M，易得ABEMDE，可得MD=，因为ABGMFG，AB=4a，MF=，所以第10题解图【知识点】相似三角形3. （2018四川内江，8，3）已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为（ ） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 【答案】D【解题过程】解：ABCA1B1C1相似，()2故选择D【知识点】相似三角形的性质4. （2018山东潍坊，8，3分）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ） A（2m，2n）B（2m，2n）或（2m，2n）C（，）D（，）或（，）【答案】B【解析】当放大后的AOB与AOB在原点O同侧时，点P对应点坐标为（2m，2n），当放大后的AOB与AOB在原点O两侧时，点P对应点坐标为（2m，2n），故选择B.【知识点】图形的位似5. （2018四川省达州市，9，3分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AECFAC，连接DE、DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH，则的值为（ ）A B C D1 第9题图【答案】C【解析】如图，过点H作HMAB交AD于M，连接MG设S平行四边形ABCD1AECFAC，SADESADCS平行四边形ABCD，SDECSAEGSDECSADGSADESAEG，SAMGSADG，SGBH2 SAMG故选C.【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等6.（2018四川省南充市，第10题，3分）如图，正方形的边长为2，为的中点，连结，过点作于点，延长交于点，过点作于点，交于点，连接.下列结论正确的是（ ）A BC D【答案】D【思路分析】1.利用平行四边形的判定和性质，求得AH的值，再利用平行线分线段成比例，得到BG=EG，利用垂直平分线的性质，可得CE=BC；2.根据角之间的关系，推出AE=EF，设AB=EF=x，进而利用勾股定理求出EF的长度；3.利用7=1，易得cosCEP=cos1，在RtBDP中，求得cosCEP；4.在RtFAH中，利用勾股定理求出HF2，在RtCDF中，求得CF的长度，即可得证.【解题过程】解：由BEAP，BECH，可证APCH，又CPAH，四边形CPAH是平行四边形，AH=CP=CD=1，BH=1，又BH=AH，GHAP，BG=EG，BC=CE=2，故A错误；CHAP，2=4，2+1=90，4+5=90，1=5，由BC=CE，BGCG，可知5=6，又CHAP，6=7=8，1=8，AF=EF，设AF=EF=x，则由勾股定理，可知CD2+DF2=CF2，即22+(2x)2=(2+x)2，解得：x=，即EF=AF=，故B错误；在RtADP中，AP=,由7=1，可得：cosCEP=cos1=，故C错误；在RtFAH中，AH=1，AF=，HF2=AH2+AF2=1+=，在RtCDF中，CD=2，DF=，CF=，CFEF=HF2.故D选项正确.故选D.【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数7. （2018浙江绍兴，7，3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，垂足分别为，则栏杆端应下降的垂直距离为（ ）（第7题图）A B C D 【答案】C【解析】由题意可知ABOCDO，根据相似三角形的性质可得，故选C。【知识点】相似三角形的性质8. （2018江苏泰州，6，3分）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为，则下列说法正确的是( )A.线段始终经过点B.线段始终经过点C.线段始终经过点D.线段不可能始终经过某一定点【答案】A【解析】连接AO交PQ于点C，过点C作CDAB于点D，ABy轴，ABx轴，A=COP，AQC=OPC，AQCOPC，同上得，点A的坐标为（9，6），点C的坐标为（3，2）. 故选A.【知识点】双动点，相似，定点9.（2018山东临沂，6，3分）如图，利用标杆测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2m，测得AB1.6m，BC12.4m则建筑物CD的高是( )第6题图A9.3m B10.5m C.12.4m D14m【答案】B【解析】由题意知BECD，ABEACD，即，解得CD=10.5（m），故选B.【知识点】相似三角形的判定和性质 解直角三角形10. （2018山东威海，11，3分）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BCEF2，CDCE1，则GH( ) ABCD 【答案】C 【思路分析】若要求GH的长，应先将其转化到三角形中，过点H作HM垂直于CG于点M，在RtGHM中，只要求出GM、HM，即可解决问题【解题过程】过点H作HM垂直于CG于点M，设AF交CG于点O根据题意可知GOFDOA，所以OFOAAF，即AF3OF，因为点H是AF的中点，所以OHAFAFAF，即AF6OH，所以OHOF根据已知条件可知HOMGOF，可以推出HM；同理，通过HOMAOD，可以推出DMDG，即GMDG，在RtGHM中，GH。故选C【知识点】三角形相似的性质与判定、勾股定理11. （2018四川省德阳市，题号12，分值：3）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB，AC，BC，则在ABC中，SABO:SAOC:SBOC（ ）A.6:2:1 B.3:2:1 C.6:3:2 D.4:3:2 【答案】B.【解析】四边形AOEF是平行四边形，AFEO，AFM=BOM，FAM=MBO，AFMBOM，.设SBOM=S，则SAOM=2S.FO=3OC，OM=FM，OM=OC，SAOC=SAOM=2S，SBOC=SBOM=S，SABO:SAOC:SBOC=3:2:1.【知识点】相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质12. （2018四川省宜宾市，6，3分）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA=1,则AD等于（ ）A. 2 B.3 C. D. 【答案】A【解析】如图，SABC=9、SAEF=4，且AD为BC边的中线，SADE=SAEF=2，SABD=SABC=，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，（）2=，即（）2=，解得AD=2或AD=（舍去），故选：A【知识点】平移的性质；相似三角形的性质；三角形中线的性质1. （2018湖北鄂州，10，3分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线分别与x轴、y轴交于点P、Q，在RtOPQ中从左向右依次作正方形A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4AnBnCnCn+1，点A1、A2、A3An在x轴上，点B1在y轴上，点C1、C2、C3Cn+1在直线PQ上，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3Sn，则Sn可表示为（ ） A B C D【答案】A【思路分析】首先由一次函数关系式求得点P和点Q的坐标，用勾股定理求得PQ的长度，利用等面积法求得ON的长度，然后由O A1B1OPQ求得正方形A1B1C1C2的边长a1的值，从而得出S110；在利用勾股定理和O A1B1OPQ，得出正方形A2B2C2C3的边长a2a1，以此类推，得到Sn10Sn-110【解析】如下图（1），当x0时，y，故点Q的坐标为（0，），OQ；当y0时，解得x13，故点P的坐标为（13，0），OP13，在RtOPQ中，则PQ，过点O作ONPQ于点N，交A1B1于点M，则SOPQOPOQONPQ，则ON，设正方形A1B1C1C2的边长为a1，四边形A1B1C1C2是正方形，A1B1PQ，则O A1B1OPQ，即，解得a1，则S110，OA1B1OPQ，令OB1m，则OA13m，则在RtOPQ中，解得m1，故OB1m1，OA13m3，则S110，设正方形A2B2C2C3的边长为a2，则A1C2A2B2a2，四边形A2B2C2C3是正方形，A1B2A2A1OB190，OB1 A1OA1B190，OA1B1B2A1A290，OB1 A1B2A1A2，又A1OB1A1 B2A290，O A1B1A1A2B2，3，a2，又A1B2B2C2A1C2，a2a2a1，解得a2a1，S210，同理可得anan-1，Sn10Sn-110，故选A【知识点】一次函数性质；正方形的性质；等面积法；相似三角形的性质和判定；勾股定理；找规律2. （2018四川遂宁，10，4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且EAF=45，EC=1，将ADE绕点A沿顺时针方向旋转90后与ABG重合，连接EF，过点B作BMAG，交AF于点M，则以下结论：DE+BF=EF，BF=，AF=，SMBF=中正确的是A. B. C. D.【答案】D.【解析】解：ABC=90，ABG=90，在ADE和ABG中，ADEABG（SAS），AE=AG，DAE=BAG，BAD=90，EAF=45，BAF+DAE=45，BAF+BAG=45，即GAF=45，EAF=GAF，在AEF和AGF中，AEFAGF（SAS），EF=GF，GF=BG+BF=DE+BF，EF=DE+BF故正确；设BF=x，则FC=4-x，GF=EF=3+x，在RtEFC中，FC2+EC2=EF2，(4-x)2+12=(3+x)2，解得x=，故正确；在RtABF中，AB2+BF2=AF2，AF2=42+()2=，AF=，故错误；SAGF=GFAB=.BMAG，BFMGFA，,SMBF=SAGF=.故正确.故选D.【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质3. （2018重庆A卷，5，4）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm 和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为 （ ）A3cm B4cm C4.5cm D5cm【答案】 C【解析】设中另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的性质，得，解得x4.5，故选C【知识点】相似三角形的性质4. （2018贵州遵义，10题，3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD，若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为A.10 B.12 C.16 D.18第10题图【答案】C【解析】矩形ABCD中，ABCD，所以EAP=FCP，因为APE=FCP，所以APEFCP，所以，因为EFBC，所以EB=FC，所以EBEP=AEFP=16，所以，因为DF=AE=2，所以【知识点】矩形，相似三角形，三角形面积5. （2018湖北荆门，6，3分） 如图，四边形为平行四边形，、为边的两个三等分点，连接、交于点，则（ ）A B C. D【答案】 C.【解析】解：E、F为CD边的两个三等分点，EF=CD.四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，CDAB，EF=AB，EFGBAG，=.故选C.【知识点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质6.（2018湖南省永州市，8，4）如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ） A2 B4 C.6 D8 【答案】B【解析】A=A，ADC=ACB，ADCACB，AC：AB=AD：AC，AC2=ADAB=28=16，AC0，AC=4. 因此，本题选B【知识点】相似三角形的条件 相似三角形的性质 7. （2018四川攀枝花，9，3）如图3，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作RtABC，使BAC=90，ACB=30，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) 【答案】C【思路分析】可根据题意求出y与x的函数关系式，再由关系式判断函数的大致图像。【解析】如图，过点C作CDy轴，垂足为D，易证AOBCDA，所以，由BAC=90，ACB=30，得，所以，整理得：（），结合自变量的取值范围，可知y与x的函数关系的图像大致应该选C.【知识点】平面直角坐标系，相似三角形，一次函数的图像8. （2018四川自贡，6，4分）如图，在中，点 分别是的中点，若的面积为4，则是的面积为（ ）A. 8 B. 12 C. 14 D. 16【答案】D【解析】点D、E分别是AB、AC的中点，又DAEBAC，ADEABC，且相似比为1:2，面积比为1:4，ADE的面积为4，ABC的面积为16，故选择D.【知识点】相似三角形的性质与判定9.（2018湖北省孝感市，10，3分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，于点，连分别交，于点，过点作交于点，则下列结论：；.A5 B4 C3 D2【答案】B【解析】由ABC是等边三角形可知:ABC=ACB=BAC=60，AB=BC=AC由ABD是等腰直角三角形且AEBD可知：ADB=ABD=45，BAD=90，AB= ADAC= AD，DAC=BAD+BAC=90+60=150，所以ADC=ACD=（180-DAC）=（180-150）=15，所以说法正确.EDF=ADB-ADC=45-15=30，DFE=90-EDF=90-30=60=AFGAGD=90-ADG=90-15=75，AFGAGD，AFAG，所以说法错误. ，AC= AD，DAH=CAH=DAC=150=75.BAH=CAH-BAC=75-60=15=ADF又DAF=90-ADE=90-45=45=ABH在BAH和ADF中，AH=DF. 说法正确. 在AFG和CBG中，说法正确. EAH=BAD-DAE-BAH=90-45-15=30，FDE=ADE-ADC=45-10=30，EAH=FDE. 在AEH和DEF中，EH=EF在RtAEH中，AH=2EH,AE=AE=AF=AE-EF=-EF=. 说法正确.故选B.【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；相似三角形的判定定理及性质；全等三角形的判定定理及性质；勾股定理.10. （2018浙江省台州市，8，3分） 如图，在中，.以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ）A B1 C D 【答案】B【思路分析】根据作图可知CE是BCD的角平分线，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质即可求出AE的长.【解题过程】如图所示，根据作图过程可知CE是BCD的角平分线，FCB=FCD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且DC=AB=2，DFC=FCB，FCD=DFC，DF=DC=2，AF=AD-DC=3-2=1，AFBC，EAFEBC，即，解得AE=1【知识点】角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；11. （2018广西玉林，6题，3分）两三角形的相似比是2:3，则其面积比是A. B.2:3 C.4:9 D.8:27【答案】C【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为相似比是2:3，所以面积比为4:9，故选C【知识点】相似性质12. （2018广西玉林，9题，3分）如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直第9题图【答案】A【解析】设AB与CD相交于点M，因为AOB=60，OA=OB，所以AOB为等边三角形，因为ACD为等边三角形，所以ADM=CBM=60，因为AMD=CMB，所以AMDCMB，所以，所以，因为AMC=DMB，所以AMCDMB，所以DBA=ACD=60，所以DBA=BAO，BDOA，故选A【知识点】等边三角形，相似三角形，平行线13. （2018山东省泰安市，18，3）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为 步 【答案】 【思路分析】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比例可求的长【解题过程】解：是正方形，DGKC， AHDAOC， 即 解得： 故答案是：【知识点】相似三角形判定及性质二、填空题1. （2018四川内江，25，6） 如图，直线yx1与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，用，分别表示RtO，Rt，Rt的面积，则 【答案】【思路分析】由，为线段OA的n等分点，且每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点， ，可以得到若干个“A”字型的相似三角形，利用这些相似可以依次将上述直角三角形中的平行于y轴的直角边表示出来，由于这些直角三角形的一条直角边都是，所以提出将其整理就可以得到答案【解题过程】解：y轴，AABO，直线yx1与两坐标轴分别交于A、B两点，OAOB1，O，同理，（）（n1n2n31）【知识点】一次函数；相似三角形；2. （2018四川绵阳，18，3分）如图，在ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB= 【答案】.【解析】解：连接DE，如图所示.AD，BE分别是BC，AC边上的中线，DEAB，且DE=AB，.设OD=a，OE=b，则OA=2a，OB=2b，AC=3，BC=4，BD=2，AE=1.5.ADBE，在RtBOD中，OB2+OD2=BD2，即4b2+a2=4，在RtAOE中，OE2+OA2=AE2，即4a2+b2=2.25，5a2+5b2=6.25，即a2+b2=1.25.在RtAOB中，AB2=OB2+OA2=4a2+4b2=5，AB=.故答案为.【知识点】平行线分线段成比例定理，中位线的性质，勾股定理3. （2018安徽省，14，5分）矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上,满足PBEDBC，若APD是等腰三角形,则PE的长为_。【答案】3或【解析】由题意知，点P在线段BD上，（1）如图所示，若PD=PA, 则点P在AD的垂直平分线上，则点P为BD中点，故PE= (2)如图所示，若DA=DP，则DP=8，在RtBCD中，BP=BD-DP=2，PBEDBC，PE=综上所述，PE的长为3或. 【知识点】相似三角形的性质，利用勾股定理求线段的长4. （2018湖南岳阳，15，4分）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步【答案】.【解析】解：如图.设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD=12-x，FC=5-x根据题意易得ADEEFC，解得：x=.故答案为.【知识点】相似三角形的性质5. （2018江苏连云港，第11题，3分）如图，ABC中，点D，E分别在AB、AC上，DEBC，AD:DB=1:2，则ADE与ABC的面积的比为_.【答案】1:9【解析】解：DEBC，ADEABC，故答案为：1:9.【知识点】相似三角形的性质与判定6.（2018江苏连云港，第16题，3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC=，则AB的长为_.【答案】2【思路分析】根据相似三角形的判定，可得GCFADG，进而可得2GC2=AD2 ，再根据勾股定理，可得AD2+DC2=6，将代入，可得GC的长度，进而求得AB的长.【解题过程】解：在矩形ABCD中，点E、F、G、F分别是AB、BC、CD、DA的中点，CF=BC =AD，D90，DCB=90，1+3=90，AGGF，1+2=90，2=3，GCFADG，即，解得：2GC2=AD2 ，AC=，AD2+DC2=6，将代入，得：2GC2+(2GC)2=6，解得：GC=1，AB=DC=2，故答案为：2.【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；勾股定理7. （2018四川省成都市，13，4）已知，且ab2c6则a的值为 【答案】12【解析】解：设k，则a6k，b5k，c4k，ab2c6，6k5k8k6，3k6，解得k2，a6k12【知识点】比例；一元一次方程8. （2018四川省南充市，第15题，3分）如图，在中，DEBC，BF平分ABC，交的延长线于点，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= 【答案】【解析】解：DEBC, AD=1，BD=2，BC=4，即，解得：DE=，BF平分ABC，ABF=FBC，又DEBC，FBC=F，ABF=F，BD=DF=2，DF=DE+EF，EF=.故答案为：.【知识点】平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定9.（2018江苏省盐城市，16，3分）如图，在直角ABC中，C90，AC6，BC8，P、Q分别为边AC、AB上的两个动点，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ_ 【答案】或【解析】在直角ABC中，C90，AC6，BC8，A B10当QPAB时，QPAC设QPAQx，则QB10xAQx； 当PQAB时，APQ是等腰直角三角形ABCPBQ, ,AQx【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例定理；分类讨论10. （2018四川省宜宾市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当E为线段AB中点时，AFCE；当E为线段AB中点时，AF=；当A、F、C三点共线时，AE= ；当A、F、C三点共线时，CEFAEF.【答案】【思路分析】中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；中可以根据AA证明三角形相似，得到对应边成比例，从而求出AF的长；中可以设BE=x，根据直角收纳侥幸AEF中三边满足勾股定理求出；中可以根据中线段的长度大小判断三角形是否全等.【解题过程】由折叠的性质可知CF=CB，CFE=90，CEB=CEF,E为BC中点，BE=EF=AE=，FAE=AFE，FEB=FAE+AFE，CEB=CEF=FAE=AFE,AFCE，故正确；BE=,BC=2，CE=,过点E作EMAF垂足为M，AFE=FEC,EMAF，CFE=90，MFEFEC，即,MF=,AF=；故正确；A、F、C三点共线，AFE=90，AC=，设BE=x,则EF=x,AE=3-x,AF=，在RTAFE中，解得x=,AE=3-x=，故正确；AF=，CF=2，AFCF，错误.【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质11. （2018浙江杭州，16，4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；把纸片展开并铺平；把CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=_.【答案】【思路分析】由得四边形AEFD是正方形，将由得K型相似，然后结合勾股定理列方程求解，但要注意对点H是落在线段AE上还是BE上分类讨论。【解题过程】设AD=x由题意：四边形AEFD为正方形则AD=AE,由翻折：DHGDCG，HG=GC（1） 当H落在线段AE上时（2） 当H落在线段BE上时【知识点】正方形的性质，折叠的性质，相似，勾股定理1. （2018湖南益阳，16，4分）如图，在ABC中，AB=AC，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，则下列结论：ADFFEC，四边形ADEF为菱形，SADFSABC=14其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【答案】【思路分析】利用ASA即可证明；利用中位线得到平行及相等的关系，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答【解析】解：DFBC，ADF=C，同理CFE=AF为AC中点，AF=FCADFFEC，正确；D、E分别是AB、BC边上的中点，DEAC且DE=AC，同理EFAB，EF=AB，四边形ADEF是平行四边形又AB=AC，EF=DE，四边形ADEF是菱形正确；ADF=C，A=AADFABC正确；故答案为【知识点】全等三角形的判定，菱形的判定，中位线，相似三角形的判定和性质2. (2018山东菏泽，13，3分)如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，若点的坐标是，则点的坐标是 【答案】(2，)【解析】如图，作AEx轴于E，ABO=OAE=30点的坐标是，AO=OB=3，OE=OA=，AE=，A(，)与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点C的坐标为(，)，即(2，)【知识点】位似；勾股定理；含30角的直角三角形的性质；3. （2018广东广州，16，3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：四边形ACBE是菱形； ACDBAE；AFBE23； S四边形AFOESCOD23其中正确的结论有_（填写所有正确结论的序号）【答案】【思路分析】由AEBC和点O是AB的中点，可得四边形ACBE是平行四边形，进而得菱形，从而正确；由ABDC和AB平分EAC（或菱形ACBE）可得ADCACD，从而正确；由ABDC，可得AOFCDF，从而 ；从而错误；设AFO的面积为S，将四边形AFOE和COD的面积用S来表示即可判断正确【解析】由已知“CE是AB的垂直平分线”可得ACCB，所以CABCBA，由ABCD可得ABCD，ADBC，所以CABACD，BAECBA，CABACD=BAE，正确由CABBAE，AOAO，AOCAOE可得AOCAOE，从而AEACBC，又AECB，所以四边形ACBE是平行四边形，又ACBC，ACBE是菱形，正确由AOCD，可得，错误设SAFOS，由，可得SCFO2S，再根据AFOCFD可得SDFC4S，所以SCOD6S，SCOA3SSAOE，所以S四边形AFOE4S，所以S四边形AFOESCOD4S6S23，正确【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质与判定；菱形的判定；相似三角形的判定与性质4. （2018贵州遵义，18题，4分）如图，在菱形ABCD中，ABC=120，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为_第18题图【答案】2.8【解析】菱形ABCD中，ABC=120，BD为对角线，所以G=A=60，FDG=GBE=60，ABD是等边三角形，因为DG=2，BG=6，所以BD=8，所以AD=DB=8，GFD+FGD=120，FGD+EGB=120，所以DFG=BGE，所以FGDGEB，所以，设BE=x，即，FD=，则FG=8-，得，解得x=2.8【知识点】一线三等角，相似三角形，分式方程5. （2018广东省深圳市，16，3分）在中，C90，AD平分CAB, BE平分ABC, AD、BE相交于点F，且,则 【答案】【思路分析】过点E作BPDG于点G，连接CF，先根据A D平分CAB, BE平分ABC, C90，求出AFE的度数，在利用特殊角的三角函数值求出EF和AG的长；然后由“A D平分CAB, BE平分ABC, AD、BE相交于点F，”，利用三角形三边的角平分线相交于一点可知，CF平分CAB,再证明AEFAFC即可求出AC的长【解析】解： AD平分CAB, BE平分ABC, C90， AFB90C135，AFE18013545，过点E作BPDG于点G，连接CF，EGEF sin451，又AF4，AGAFGF413，AE， AD平分CAB, BE平分ABC,且 AD、BE相交于点F，CF平分CAB,ACFBCF45，又AFE45，AFEACF，又EAFCAF，AEFAFC，即，解得AC【知识点】直角三角形的性质；角平分线；相似三角形的性质和判定；勾股定理；三角形角平分线的性质；特殊角三角函数值的运用6.（2018贵州安顺，T15，F4）如图，点，均在坐标轴上，且 ，若点，的坐标分别为（0，-1），（-2,0），则点 的坐标为_.【答案】(8,0)【解析】 ，x轴y轴，点 ， 的坐标分别为（0，-1），（-2,0），RtRtRt，=1，=2.,.即，解得=4，解得=8.点在x轴正半轴，点的坐标为（8，0）.【知识点】相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质.7. （2018湖北荆州，T17，F3）如图,将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位:)，则钢球的半径为_( 圆锥的壁厚忽略不计).【答案】.【思路分析】如图构造相似三角形；利用相似三角形的性质建立等式求解即可.【解析】如图的示AC=12,AB=AC+BC+12+14=26,OB=10易知DAPCDAOB，【知识点】相似三角形的性质.8. （2018湖北省襄阳市，16，3分）如图，将面积为的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE=，则AP的长为= .【答案】【解析】解：设AP与BD交于F，AD=a，AB=b,A点沿BD折叠与P重合，BD是AP的垂直平分线，APBD，AF=PF，又四边形ABCD是矩形，BAD=CBA=90，BEF+EBF=EBF+ABD,BEF=ABD，ABEDAB,，即BA2=EBAD，b2=a.又矩形的面积为，ab=,联立得，解得，.在RtABD中，由勾股定理,SABD=,，.故答案为.【知识点】矩形折叠问题、相似三角形9.（2018四川凉山州，24，5分）AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA4,将AOC绕O点，逆时针旋转90得到A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若C1OB C1 A1 O，则点C1的坐标 【答案】（第24题答图）【解析】OA4,将AOC绕O点，逆时针旋转90得到A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），OB2,C1OB C1 A1 O， ，可得,在RtOB中，由勾股定理，解出B=,过C作CHx轴于H,可设C（m，2m），在RtO中，由勾股定理，解出【知识点】图形的旋转，图形的全等，相似三角形，勾股定理.10. （2018北京，13，2）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB4，AD3，则CF的长为_【答案】【解析】四边形ABCD是矩形，DCAB4，ABCD，ADC90在RtADC中，由勾股定理，得AC5E是边AB的中点，AEAB2ABCD，CDFAEF，即CF【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判定三、解答题1. （2018重庆A卷，24，10）如图，在ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且ABAE，连接EO并延长交AD于点F过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G（1）若AH3，EH1，求ABE的面积；（2）若ACB45，求证：DFCG 【思路分析】（1）先根据ABAE，AH3，EH1，求出AB的长；再在RtABH中，由勾股定理，求出BH的长，最后根据三角形的面积公式，得到ABE的面积另外，也可以过点A作AMBC，利用相似三角形的判定及性质，求出BE及BE边的高进行求解；（2）过点G作GNBC，先通过相似三角形的性质与判定，得到AFCE，从而DFBE再证明ABMBNG，从而BMNG由BE2BM，GNGC，得到所求证的结论【解析】解：（1）解法一：BHAE于点H，ABAE，AH3，EH1， AEAHEH4AB 在RtABH中，由勾股定理，得BH SABEAEBH42 解法二：过点A作AMBC，过点G作GNBC，垂足为M、N，AM交BH 于点K，如下图： ABAE，AMBC， BMMEBEa，BAMEAM，AMBAHK 90 又BKMAKH， KBMBAM BHEAMB ，即，解得a2 BE2，ME 在RtAME中，由勾股定理，得AM SABEBEAM22 （2）O是AC的中点， OAOC 在ABCD中，ADBC，ADBC， AOFCOE ，从而AFCE DFBE AMC90，ACB45，GNC90， MAC45GCN AGBGBCGCN，BAGBAMMAC， AGBBAG ABBG 又AMBBNG90，GBNMAB， ABMBNG BMNG 又BE2BM，GNGC， BE2GCGC【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；全等三角形；平行四边形；相似三角形2. （2018湖北宜昌，23，11分） 在矩形中，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.(1)如图1，若点是的中点，求证:；(2) 如图2，求证: ；当，且时，求的值；当时，求的值. (第23题图1) (第23题图2) (第23题图2备用图）【思路分析】(1)点是的中点，AE=DE，再由矩形ABCD的性质，得出边角之间的等量关系，用SAS证明；(2)由折叠与中角之间的关系，再由平行，得到角之间的关系，从而，证出.当时，先由，再设，则，解得由折叠得，,再据,设，由比例关系，求出y，得到BP.在中，求出PC,得到PCB的余切值.若,，；， 【解析】(1)证明：如图1，在矩形中，,又点是的中点，AE=DE，可证:；,(2)如图2，在矩形中，,沿折叠得到,当时，,又,设，则，解得，,由折叠得，,设， 则在中，,若,又,由得,【知识点】全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解分式方程，余弦定理.3. （2018江苏淮安，26，10）如果三角形的两个内角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。(1) 若ABC 是“准互余三角形”，C90, A=60，则B= ;(2) 如图，在RtABC中，ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D）， 使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。(3) 如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，ABD=2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。【思路分析】本题通过新定义考查综合几何知识，(1)由“准互余三角形”定义可知：若ABC是
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