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知识点29 等腰三角形与等边三角形一、选择题1. （2018四川绵阳，11，3分） 如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：过A点作AFCE于点F，设AB与CD的交点为M，过M点作MNAC于点N，如图所示.ECD为等腰直角三角形，E=45.AE=，AD=，AF=EF=1,CE=CD=，CF=,AC=2，ACF=30ACD=60.设MN=x，ABC为等腰直角三角形，CAB=45，AN=MN=x，CN=x，AC=AN+CN=x+x=2，解得x=3-，SACM=ACMN=3-.故选D.【知识点】等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算2. （2018山东临沂，11，3分）如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别是点D，E.AD3，BE1.则DE的长是( )第11题图A B2 C. D 【答案】B【解析】ADCE，BECE，ADC=CEB=90，DACDCA=90，ACB90，ECBDCA=90，DCA=ECB，AC=CB，ACDCBE，AD=CE=3，CD=BE=1，DE=CECD=31=2，故选B.【知识点】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性质3. （2018山东省淄博市，11，4分）如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，若AN=1，则BC的长为（A）4 （B） 6 （C）4 （D）8【答案】B【思路分析】由已知MNBC和CM平分ACB可证MN=NC，ANM=ACB，NMC=MCB，再由MN平分AMC可得ANM=ACB，从而得到ANM=2AMN，可得AMN=30，再利用直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半求出MN，进而得到NC，求得AC，从而求出BC.【解题过程】MNBC，ANM=ACB，NMC=MCB，CM平分ACB，MCB=MCN=ACB，NMC=NCM，MN=NC，MN平分AMC，AMN=NMC=AMC，AMN=ACB=ANM，A=90，AMN=30，AN=1，MN=2，NC=2，AC=3，B=AMN=30，BC=2AC=6，故选B.【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形4. （2018浙江湖州，5，3）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，CAD20，则 ACE的度数是（ ）A20 B35 C40 D70【答案】B【解析】ABAC，AD是ABC的中线，ADBCCAD20，ACD70CE是ABC的平分线，ACE35故选B.【知识点】等腰三角形，角平分线，中线1. （2018福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于( )A15 B.30 C. 45 D. 60【答案】A【解析】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD是BC的垂直平分线，BE=CE，EBC=ECB=45，ECA=-60-45=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一2. （2018福建B卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于( )A15 B.30 C. 45 D. 60【答案】A【解析】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD是BC的垂直平分线，BE=CE，EBC=ECB=45，ECA=-60-45=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一3. （2018四川雅安，10题，3分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，C=72，BC=，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC与点D，则线段AD的长为第10题图A. B. C. D.【答案】C【解析】在ABC中，AB=AC，C=72，所以B=72，A=36，因为BC=BD，所以BDC=72，所以ABD=36，所以AD=BD=BC=，故选C【知识点】等腰三角形4. （2018四川凉山州，4，4分）如图，在ABC中，按以下步骤作图：分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN交BC于D，连结AD若ADAC，B25，则C=（ ）A.70 B.60 C.50 D.40 【答案】C【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，ADBD，DAB=B25,CDA为ABD的一个外角，CDA=DAB+B50.ADAC，C=CDA=50.故选择C.【知识点】尺规作图线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.5. （2018广西玉林，9题，3分）如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直第9题图【答案】A【解析】由已知得AOB为等边三角形所以O=OAB=60易证AOCABD，得ABD=60所以OAB=ABD，所以BDOA故选A.【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的判定二、填空题1. （2018四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为50 ，则它的顶角的度数为 【答案】80【解析】解：等腰三角形的一个底角为50 ，且两个底角相等，顶角为18025080【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和1. （2018贵州遵义，14题，4分）如图，ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点，若CAE=16，则B为_度第14题图【答案】37【解析】因为AD=AC，E为CD的中点，所以DAC=2CAE=32，所以ADC=(180-DAC)=74，因为BD=AD，所以B=ADC=37【知识点】等腰三角形三线合一，外角2. （2018湖南省湘潭市，12，3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则BAD_.【答案】30【解析】ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC，D是BC中点，AD平分BAC，BAD=30.【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质3. （2018江苏淮安，13，3） 若一个等腰三角形的顶角等于50，则它的底角等于 .【答案】65【解析】分析：本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.解：由题意得，等腰三角形的底角（180-顶角）2（180-50）265.故答案为65【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理4. （2018 湖南张家界，12，3分）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为_【答案】15【解析】解：绕点A逆时针旋转，得到，BAD=150，. AB=AD.BAD是等腰三角形. B=ADB=15.【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质.三、解答题1. （2018浙江绍兴，22，12分）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形中，求的度数.（答案：）例2 等腰三角形中，求的度数.（答案：或或）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形中，求的度数.（1）请你解答以上的变式题.（2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围.【思路分析】（1）可分当为顶角、当为底角两种情况讨论，当为顶角时，只能为底角；当为底角时，既可以为顶角，也可以为底角所以的度数有三种情况。（2）分两种情况：当时，只能为顶角，的度数只有一个；当时，既可以是顶角，也可以是底角，当是底角时，既可以为底角，也可以为顶角，也就是有三个不同的度数，但是当=60时，只能等于60，所以当有三个不同的度数时，的取值范围是且。【解题过程】22.解：（1）当为顶角，则，当为底角，若为顶角，则，若为底角，则，或或.（2）分两种情况：当时，只能为顶角，的度数只有一个.当时，若为顶角，则，若为底角，则或，当且且，即时，有三个不同的度数.综上，当且，有三个不同的度数.【知识点】等腰三角形的性质2. （2018宁波市，23题，10分） 如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A，B不重合,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连结DE交BC于点F连接BE.（1）求证:ACDBCE;（2）当AD=BF时,求BEF的度数.【思路分析】【解题过程】解：（1）线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE， DCE=90,CD=CE，又ACB=90，ACB=DCEACD=BCE在ACD和BCE中 ACDBCE(SAS)（2） ACB=90,AC=BC,A=45ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45又:AD=BFBEF=BFE=67.5【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质1. （2018武汉市，18，8分）如图，点E、F在BC上，BECF，ABDC，BC，AF与DE交于点G，求证：GEGF.【思路分析】如图，由已知条件证得ABFDCE，得12，再根据等腰三角形的判定定理得GEGF.【解题过程】BE=CF，BE+EF=CF+EF，BF=CE，在ABF和DCE中，ABFDCE（SASA），12，GEGF. 第18题答图【知识点】全等三角形的判定 全等三角形的性质 等腰三角形的判定11
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