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知识点31 平行四边形一、选择题1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为（ ）A.20 B. 16 C. 12 D.8第7题图【答案】B【解析】ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以O为AC的中点，又因为E是AB中点，所以EO是ABC的中位线，AE=AB，EO=BC，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD中AD=BC，AB=CD，所以周长为2(AB+BC)=16【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （2018安徽省，9，4分） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）A.BE=DF B.AE=CF C.AF/CE D.BAE=DCF 【答案】B【思路分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解【解题过程】解：如图，连接AC与BD相交于O，在ABCD中，OA=OC，OB=OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；C、AFCE能够利用“角角边”证明AOF和COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；D、BAE=DCF能够利用“角角边”证明ABE和CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B【知识点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质3. （2018四川省达州市，8，3分） ABC的周长为19，点D、E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M若BC7，则MN的长为（ ） A B2 C D3第8题图【答案】C，【解析】ABC的周长为19，BC7，ABAC12ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，BABE，N是AE的中点ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，ACDC，M是AD的中点DEABACBC5MN是ADE的中位线，MNDE故选C. 【知识点】三角形的中位线4. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在中，分别为，的中点，若，则的长度为（ ）A B1 C D【答案】B【思路分析】1.由ACB=90，A=30，BC的长度，可求得AB的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF的长.【解题过程】解：在RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2，AB=4，CD=AB，CD=4=2，E，F分别为AC，AD的中点，EF=CD=2=1，故选B.【知识点】30所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理5. （2018四川省宜宾市，5，3分）在ABCD中，若BAD与CDA的角平分线交于点E，则AED的形状是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B【解析】如图，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BAD+ADC=180，AE和DE是角平分线，EAD=BAD，ADE=ADC，EAD+ADE=（BAD+ADC）=90，E=90，ADE是直角三角形，故选择B【知识点】平行四边形的性质6.（2018宁波市，7题，4分） 如图，在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE若ABC =60BAC=80，则1的度数为A50B40C30D20 【答案】B【解析】解：ABC =60BAC=80 ACB =40又平行四边形ABCDADBC；AO=COACB =CAD=40又E是边CD的中点OEADCAD=1=40【知识点】平行四边形的性质、三角形内角和、中位线1. （2018内蒙古呼和浩特，8，3分）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从AB/CD,BC=AD,A =C,B =D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）A.5种 B.四种C.3种 D.1种【答案】C【解析】共有6种组合：，。选时一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形的平行四边形；选一组对边平行，一组对角相等的可以证明两组对边分别平行；同一样可以判定；连接四边形的一条对角线，得到两个三角形满足两边分别相等，且其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等，从而不能得到四边形是平行四边形；与道理相同；两组对角分别相等可以判定四边形是平行四边形。【知识点】平行四边形的判定方法2. （2018河南，9，3分）如图,已知AOBC的顶点O（0，0）,A（1，2）,点B在x轴正半轴上,按以下步骤作图：以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E；分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在内交于点F；作射线OF,交边AC于点G则点G的坐标为 （A）(,2) （B）(,2) （C）(,2) （D）(,2) 【答案】A【思路分析】本题求点G的坐标，关键是求AG的长度.“尺规作图”作出了AOB的角平分线，即AOF=BOF,再由平行四边形的性质“平行四边形对边平行”即OB/AC和平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即AGO=GOE，可得到AGO=AOG,故AOG是等腰三角形，则AO=AG，从而求得AG的长度。【解题过程】解：如图，作AMx轴于点M，GNx轴于点N.由题意知OF平分AOB,即AOF=BOF四边形AOBC是平行四边形AC/OBAM=GN，AGO=GOEAGO=AOGAO=AGA（1，2）AM=2，AH=MO=1，AO=AG=AO=,GN=AM=2, HF=AF-AH=-1G（1，2） 故答案为A.【知识点】尺规作图，角平分线，平行四边形，内错角，等腰三角形，勾股定理3. （2018广西玉林，8题，3分）在四边形ABCD中：ABCDADBCAB=CDAD=BC从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】B【解析】平行四边形判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形：；平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：；平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：或；共有4种选法，故选B【知识点】平行四边形的判定二、填空题1. （2018湖南衡阳，17，3分）如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M.如果CDM的周长为8，那么的周长是 【答案】16【解析】解：在ABCD中，AD=BC，AB=CD，点O为AC的中点，OMAC，MO为AC的垂直平分线，MC=MA，CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD）=16【知识点】2. （2018江苏泰州，13，3分）如图，ABCD中，、相交于点，若，则 的周长为 .【答案】14【解析】在ABCD中，BOC的周长为14.【知识点】平行四边形的性质3. （2018江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，ACD=ABC=90，E、F分别为AC、BD的中点，D=，则BEF的度数为 .（用含的式子表示）【答案】【解析】ACD=90，CAD=90D=90，E、F分别为AC、BD的中点，EFAD，CEF=CAD=90，AC平分BAD，BAC=CAD=90，ABC=90，E为AC的中点，AE=BE，EBA=BAC=90，BEC=1802，BEF=2703.【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质4. （2018山东临沂，17，3分）如图，在ABCD中，AB10，AD6，ACBC.则BD 第17题图 【答案】4【解析】过点D作DEBC于点E，ABCD，AD=BC=6，ACBC，AC=8=DE，BE=BCCE=66=12，BD=.【知识点】平行四边形 勾股定理 辅助线5. （2018山东省淄博市，15，4分）在如图所示的ABCD中，AB=2，AD=3，将ACD沿对角线AC折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则ADE的周长等于_.【答案】10【解析】由ADCB、AC平分DAE可得OA=OC，O为BC中点，OB=OC=OA，B=BAO，B=D，D=E，BAO=E，ECAB，D、C、E在同一条直线上，从而可得AD=AE=3，ED=4，ADE的周长为10.【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质6.（2018天津市，17，3）如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 【答案】【解析】分析：连接DE，构造直角三角形，可得DG的长. 解：连接DE，D，E分别为AB，BC的中点，DEAC，2DE=AC=4,EC=2,EFACDEEFDEG为直角三角形，在RtEFC中,EC=2, C=60,G为EF的中点在RtDEG中,DE=2, 由勾股定理得，故答案为.【知识点】等边三角形的性质；三角形中位线的性质；勾股定理1. （2018甘肃天水，T17，F4）将平行四边形OABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，2），则点B的坐标为_. 【答案】2.【解析】因为四边形OABC是平行四边形，所以BC=OA=3.得点B的横坐标为3+1=4，纵坐标为2，所以点B（4，2）.【知识点】平面直角坐标系，平行四边形的性质2. （2018陕西，14，3分）如图，点O是ABCD的对称中心，ADAB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GHBC若S1，S2分别表示EOF和GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 【答案】2S1=3S2(，均正确)【思路分析】连接AC、BD根据等底等高的三角形面积相等，得到SAOB=SBOC再利用OEF与AOB同高，从而得出S1与AOB面积的关系，同理可得S2与BOC面积的关系，即可得出S1与S2之间的等量关系【解题过程】连接AC、BD四边形ABCD为平行四边形，AO=OCSAOB=SBOCEF=AB，S1=SAOBSAOB=2S1GHBC，S2=SBOCSBOC=3S22S1=3S2【知识点】平行四边形三、解答题1. （2018浙江金华丽水，20，8分）如图，在66的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形【思路分析】根据题意画出符合相应条件的图形【解题过程】解：如图， 【知识点】平行四边形的面积；三角形的面积2. （2018浙江衢州，第18题，6分）如图，在ABCD中，AC是对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为点E，F。第18题图求证：AECF。【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断与性质的知识，解题的关键是证明三角形全等根据平行四边形的性质可得到BAE=DCF，从而容易证明ABE与CDF全等，从而得到答案。【解题过程】解：四边形ABCD是平行四边形，AB/CD，AB=CD，BAE=DCF，BE垂直AC，DF垂直AC，AEB=CFD=90ABECDF，AE=CF。【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判断与性质；3. （2018湖南岳阳，18，6分）如图，在平行四边形中，求证：四边形是平行四边形.【思路分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，A=C，AB=CD，然后根据AE=CF可得ADECBF，进而得出DE=BF，进而证明出结论.【解题过程】证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，A=C，AB=CD.AE=CF，BE=DF.在ADE和CBF中，ADECBF（SAS）DE=BF，四边形BFDE是平行四边形.【知识点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质4. （2018江苏无锡，18，3分） 如图，已知XOY=60，点A在边OX上，OA=2.过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边ABC.点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交OY于点E.设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 . 【答案】2a+2b4【思路分析】利用连接AP，利用已知条件可以证明ADP是等边三角形，进而得到AD=PD=b，由OD=PE=a，OA=2可知a+b=2，a+2b=b+2，然后根据点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，确定b的取值范围即可得到结论.【解题过程】PDOY，PEOX，四边形PEOD是平行四边形，PDAC，PDA=XOY=60，OD=PE=a.连接AP，则ADP是等边三角形，AD=PD=a.OA=AD+OD=PD+PE=a+b=2，a+2b=b+2.点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，当点P与点A重合时，b取得最小值0；当点P与点B重合时，b取得最大值，作BMAC于M，延长线交OA于N，此时，MN=OC=OA=，BM=，b=BN=BM+MN=.0b2，2b+24，即2a+2b4.【知识点】平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三线合一、勾股定理、三角形中位线的判定和性质、不等式的基本性质5. （2018江苏无锡，21，8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：ABF=CDE. 【思路分析】利用平行四边形的性质证明ABFCDE，进而得到结论【解题过程】四边形ABCD是平行四边形中，A=C，AB=CD，AD=BC，E、F分别是边BC、AD的中点，AF=CE.在ABF和CDE中，ABFCDE（SAS），ABF=CDE.【知识点】线段中点的定义、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质6.（2018重庆B卷，24，10）如图，在ABCD中，ACB45，点E在对角线AC上，BEBA，BFAC于点F，BF的延长线交AD于点G点H在BC的延长线上，且CHAG，连接EH（1）若BC12，AB13，求AF的长；（2）求证：EBEH 【思路分析】（1）在RtFBC中，由sinFCB，求出BF12sin451212；在RtABF中，由勾股定理，得AF5（2）本题有两种证法，一是在BF上取点M，使AMAG，连接ME、GE通过证明四边形AMEG是正方形，进而得到AMBHCE45，BMCE，AMCH，于是AMBCHE，从而EHAB，进而EBEH第二种方法是连接EG，GH通过证明GBEGHE（SAS）锁定答案【解题过程】 24解：（1）BFAC，BFCAFB90在RtFBC中，sinFCB，而ACB45，BC12，sin45BF12sin451212在RtABF中，由勾股定理，得AF5 （2）方法一：如下图，在BF上取点M，使AMAG，连接ME、GE BFC90，ACB45，FBC是等腰直角三角形FBFC在ABCD中，ADBC，GACACB45AGB45AMAG，AFMG，AMGAGM45，MFGFAMBECG135BABE，BFAE，AFEF四边形AMEG是正方形FMFEBMCE又CHAG，CHAMAMBCHEEHABEHEB方法二：如下图，连接EG，GHBFAC于点F，BABE，ABFEBFGBGB，GBAGBE（SAS）AGBEGB在FBC中，BFC90，ACB45，FBC45在ABCD中，ADBC，GACACB45，AGBFBC45EGB45CHAG，四边形AGHC是平行四边形BHGGAC45BHGGBH45GBGH，BGH90HGEBGE45GEGE，GBEGHE（SAS）EHEB【知识点】勾股定理 等腰三角形的性质 全等三角形 平行四边形7. （2018山东省淄博市，23，9分） （1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外侧分别以AB、AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD、ACE.分别取BD、CE的中点M，N，G.连接GM，GN，小明发现了：线段GM与GN的数量关系是_；位置关系是_.（2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现上述的结论还成立吗？请说明理由.（3）深入探究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE.其它条件不变，试判断GMN的形状，并给予证明.【思路分析】（1）通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等；（2）连接BE、CD，可得ACDAEB，从而得DCBE，DC=BE，利用中位线得GMCD且等于CD的一半、GNBE且等于BE的一半，从而得到MG和GN的关系；（3）连接BE、CD，仿照（2）依然可得相同的结论.【解题过程】（1）操作发现：线段GM与GN的数量关系GM=GN；位置关系GMGN （2）类比思考：上述结论仍然成立理由如下：如图所示，连接CD、BE相交于点O，BE交AC于点FM、G是BD、BC的中点，MGCD，MG=CD；同理可得NGBE，NG=BE，DAB=EAC，DAC=BAE，又AD=AB，AC=AE，ADCABE，AEB=ACD，DC=BE.GM=GN.AEB+AFE=90，OFC+ACD=90FOC=90，易得MGN=90，GMGN.（3）深入探究：GMN是等腰直角三角形证明如下：连接BE、CD，CE与GM相交于点HM、G是BD、BC的中点，MGCD，MG=CD；同理NGBE，NG=BE.DAB=EAC，DAC=BAE，又AD=AB，AC=AE，ADCABE，AEB=ACD，DC=BE.GM=GN，GMCD，MHC+HCD=180.MHC+（45+ACD）=180.MHC+45+AEB=180，MHC+45+（45+CEB）=180.MHC+CEB=90，GNH+GHN=90.NGM=90，即GMGN.GNM是等腰直角三角形.【知识点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线；等腰三角形性质；平行线的性质8. （2018浙江温州，18，8）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD/EC，AED=B.（1）求证：AEDEBC.（2）当AB=6时，求CD的长.【思路分析】（1）利用平行线的性质得A=BEC再用ASA证明AEDEBC（2）利用一组对边AD,EC平行且相等得四边形AECD是平行四边形得CD=AE=3【解题过程】解(1)ADEC,A=BECE是AB中点,AE=BEAED=B,AEDEBC(2)AEDEBC,AD=ECADEC,四边形AECD是平行四边形,CD=AE.AB=6, CD=AB=3【知识点】全等三角形，中点定义，平行四边形的判定和性质1. （2018湖北黄冈，20题，8分）如图，在ABCD中，分别以边BC，CD作腰BCF，CDE，使BC=BF，CD=DE，CBF=CDE，连接AF，AE.（1）求证：ABFEDA；（2）延长AB与CF相交于G，若AFAE，求证BFBC.第20题图【思路分析】（1）由平行四边形得到对边相等，对角相等，再由题上已知条件得到两个三角形对应边相等，通过等量代换，得到ABF=EDA，故全等可证；（2）证垂直即证90的角，将FBC分为两个角FBG和CBG，通过等量代换，得到FBC=EAF，即证得垂直【解析】（1）在ABCD中，AB=DC，BC=AD，ABC=ADC，ADBC，因为BC=BF，CD=DE，所以AB=DE，BF=AD，又因为CBF=CDE，所以ABF=360-ABC-CBF，EDA=360-ADC-CDE，所以ABF=EDA，又因为AB=DE，BF=AD，所以ABFEDA；（2）由（1）知EAD=AFB，GBF=AFB+BAF，因为ADBC，所以DAG=CBG，所以FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90，所以BFBC【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形外角2. （2018江苏淮安，19，8）如图，如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD、BC于点E、F.求证：AE=CF【思路分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质先证AOECOF，即可证出AECF【解析】证明：AC 、BD为ABCD的对角线AO=CO,ADBCADBCEAO=COFAOE=COFAOECOFAE=CF【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；对顶角相等3. （2018福建A卷，18，9）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F求证：OE=OF.【思路分析】本题考查平行四边形的性质和利用全等三角形来证明两条线段相等，解题的关键是从平行四边形的性质中得到三角形全等的条件. 利用平行四边形的性质得到ADCB且OB=OD，再利用平行线的性质得到ODE=OBF，即可证得AOECOF.【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形ADCB，OB=OD，ODE=OBF.又DOE=BOF，DOEBOF，OE=OF.【知识点】平行四边形的性质与判定；三角形全等的判定与性质4. （2018福建B卷，18，9）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F求证：OE=OF.【思路分析】本题考查平行四边形的性质和利用全等三角形来证明两条线段相等，解题的关键是从平行四边形的性质中得到三角形全等的条件. 利用平行四边形的性质得到ADCB且OB=OD，再利用平行线的性质得到ODE=OBF，即可证得AOECOF.【解题过程】证明：四边形ABCD是平行四边形ADCB，OB=OD，ODE=OBF.又DOE=BOF，DOEBOF，OE=OF.【知识点】平行四边形的性质与判定；三角形全等的判定与性质5. （2018湖北省孝感市，18，8分）如图，在一条直线上，已知，连接.求证：四边形是平行四边形.【思路分析】根据平行线的性质得出和，由和等式的性质得出BC=EF，进而根据“AAS”得出，可知.最后结合 并根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形是平行四边形.【解题过程】证明：，.，.，.在和中，(ASA).，四边形是平行四边形.【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定.6.（2018江苏省宿迁市，22，8）如图，在ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BEDF，EF分别与AB，CD交于点G，H求证：AGCH【思路分析】所证两条线段位于两个三角形中，考虑利用三角形全等证明【解题过程】四边形ABCD为平行四边形， AC，ADBC，ADBC EF 2分 又BEDF， ADDFBCBE 即AFCE AGFCHE 4分 AGCH 2分【知识点】三角形全等，平行四边形的性质26
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