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正比例函数与一次函数图象、性质及其应用一、选择题1. （2018山东滨州，12，3分）如果规定表示不大于x的最大整数，例如，那么函数的图象为（ ） A B C D【答案】A【解析】当x为正整数时，y=0，排除B和C；当x为负整数时，y1，排除掉D，当非整数时，令x=1.5，y=1.5(2)=0.5，故选A【知识点】新定义问题、数形结合思想和分段函数2. （2018山东聊城，12，3分）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内没立方米空气中含药量y（mg/）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ） A.经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/B.室内空气中的含药量不低于8mg/的持续时间达到了11min C.当室内空气中的含药量不低于5mg/且持续时间不低于35min，才能有效杀灭某种传染病毒，此次消毒完全有效 D.当室内空气中的含药量低于2mg/时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/开始，需经过59min后，学生才能进入室内【答案】C【解析】利用函数图象可知：经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/，A正确；当0x5时，y=2x，当y=8时，x=4，又x=15时，y=8，室内空气中的含药量不低于8mg/的持续时间达到了11min，B正确； 当0x5时，y=2x，当y=5时，x=2.5；当x15时，y=，当y=5时，x=24；室内空气中的含药量不低于5mg/的持续时间为21.5min，持续时间低于35min，此次消毒完全无效 ，C错误； 当0x5时，y=2x，当y=2时，x=1；当x15时，y=，当y=2时，x=60；当室内空气中的含药量低于2mg/的持续时间为59min，D正确.【知识点】函数图象、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求反比例函数解析式、函数值的计算3. （2018年山东省枣庄市，5，3分） 如图，直线是一次函数的图象，如果点在直线上，则的值为（ ）A B C D7【答案】C【解析】由图像可得直线l与x轴的两个交点的坐标为（0，1）（-2，0），代入到求得直线 l的解析式为，再把点代入到直线l的解析式中，求得m的值为故选C.【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数的表达式；4. （2018四川省南充市，第7题，3分）直线向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）A B C D【答案】C【解析】直线y=2x向下平移2个单位长度得到直线的解析式是y=2x2，故选C.【知识点】一次函数的平移5. （2018浙江绍兴，6，3分）如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，则此函数（ ）（第6题图）A当时，随的增大而增大B当时，随的增大而减小C当时，随的增大而增大D当时，随的增大而减小【答案】A【解析】由函数图像可知，当时，随的增大而增大，A正确；当时，随的增大而减小，B错误；当时，随的增大而增大，C错误，当时，随的增大而增大，D错误，故选A。【知识点】一次函数的性质1. （2018贵州遵义，7题，3分）如图，直线y=kx+3经过点(2,0)，则关于x的不等式kx+30的解集是A.x2 B.x0，即y0，即图像在x轴上方的部分，故不等式的解集为x-2,然后将P点坐标代入已知的一次函数求出P点坐标，再观察图像可得不等式的解。【解题过程】过点P(n,-4),，解得：n=2.P点坐标是P(2,-4)观察图像知：的解集为：x-2.不等式组的解集是：。故填。【知识点】待定系数求一次函数的解析式，解不等式组，由一次函数的图像得不等式的解集。4. （2018江苏连云港，第15题，3分）如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别相交于A，B两点，O经过A、B两点，已知AB=2，则的值为_.【答案】【解析】解：OA=OB，OBA=45，在RtOAB中，OA=ABsin45=2=，即点A(，0)，同理可得点B(0，)，一次函数y=kx+b经过点A、B，解得：.故答案为：.【知识点】锐角三角函数；圆；待定系数法求函数解析式5. （2018湖南衡阳，18，3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，-），作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，依次进行下去，则点A2018的横坐标为 【答案】21008.【思路分析】写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律A2n的横坐标为（-2）n-1（n为正整数），依此规律即可得出结论【解题过程】解：观察，发现规律：A1（1，-），A2（1，1），A3（-2，1），A4（-2，-2），A5（4，-2），A6（4，4），A7（-8，4），A8（-8，-8），A2n的横坐标为（-2）n-1（n为正整数）2018=21009，A2018的横坐标为：（-2）1009-1=21008.【知识点】探究规律、一次函数图象上点的坐标特征6.（2018山东省济宁市，12，3）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1x2，则y1_y2（填“”“”或“=”）.【答案】【解析】一次函数y=kxb，当k0时，y随x的增大而减大；当k0时，y随x的增大而减小，因为y=-2x1中的k=-20，所以若x1x2，则y1y2， 因此，答案为：.【知识点】一次函数的图像性质7. （2018山东威海，18，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线yx于点B1，过B1点作B1A2y轴，交直线y2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线yx于点B2；过点B2作B2A3y轴，交直线y2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线yx于点B3；过B3点作B3A4y轴，交直线y2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线yx于点B4，按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为_【答案】（22018，22017）【思路分析】结合图形，先根据点A1的坐标确定OA1、OB1的长度，根据点B1在直线yx上，结合直线的倾斜度，可以得出B1坐标，依次类推，求A2、B2，从而确定出B2018的坐标【解题过程】点A1（1，2），OA1OB1，B1在直线yx上，B1（2，1），依次类推A2（2，4），B2（4，2），A3（4，8），B2（6，4）An(2n1，2n)、Bn(2n，2n1)，故点B2018（22018，22017）【知识点】坐标的规律性问题、点的坐标、一次函数图象上的点的特征8. （2018四川省宜宾市，12，3分）已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为,若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 .【答案】（，）【解析】把x=代入y=x+1得：y=，点A的坐标为（，），点B和点A关于y轴对称，B（，），故答案为（，）.【知识点】关于对称轴对称的点的坐标；点在一次函数的图像上9.（2018天津市，16，3）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 【答案】y=x+2【解析】分析：由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.解：由平移规律，直线向上平移2个单位长度，则平移后直线为y=x+2故答案为y=x+2【知识点】一次函数图象与几何变换10. （2018浙江杭州，15，4分） 某日上午,甲B,乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前进前往B地,甲车8点出发,如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间（小时）变化的图象，乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是_.【答案】【解析】由图象得，考虑极点情况，若在10点追上，则，解得： ，同理：若在11点追上，【知识点】一次函数的应用11. （2018浙江温州，15，5）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则OAE的面积为 .【答案】 【解析】因为一次函数与x轴的交点为（，0）与y轴的交点为（0,4）所以OA=,OB=4，所以tanOAB=所以OAB=30所以OBA=60因为C为OB的中点所以OC=BC=2又因为四边形OCDE为菱形所以OC=CD=2 OBA=60所以BCD为等边三角形所以BCD=60所以OCD=120所以COE=60所以EOA=30所以EH=OE=2=1所以OAE的面积=故答案为【知识点】一次函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定，三角形的面积公式，三角函数1. （2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且AOC=60，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 .【答案】【解析】解：延长BC交轴于点D，A点的坐标是（0，4），OA=4，四边形OABC是菱形，且AOC=60，OABC，OA=OC=4, DOC=30，AOD+ODB=180，ODB=90，BD轴，在RtACD中，CD=2，OD=2，C点的坐标为（2，2）. A点的坐标是（0，4），可设直线AC的表达式为，将C点坐标代入，可得：，解得：，设直线AC的表达式为.【知识点】平面直角坐标系，菱形的性质，一次函数表达式，解直角三角形2. （2018重庆A卷，17，4）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶甲车先出发40分钟后，乙车才出发途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地甲、乙两车相离的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有 千米17题图【答案】90【解析】由图可知甲车先出发40分钟行驶30千米，速度为3045（km/h），2h时两车相距10km，从而乙车的速度为(45210)(2)8060（km/h），而乙车发生故障维修后的速度为50km/h设乙车维修后行驶了xh，则其维修前行驶了(1x)h，根据题意，得60(x)50x240，解得x2，从而45290，即乙车修好时，甲车距B地还有90千米，故答案为90【知识点】实一次函数的应用；行程问题；一元一次方程3. （2018江苏淮安，14，3）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图像，点A1的坐标为 (1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2,以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点 C2作x轴的垂线，垂足为A3,交直线l于点B3,以A3D3为边作正方形A3B3C3D3,， 按此规律操作下去，所得到的正方形AnBnCnDn的面积是 .（第16题）【答案】【解析】根据一次函数的图象上点的坐标特征，分别求出点的坐标，然后根据点的坐标特征求出第一个、第二个、第三个正方形的面积，从中探索规律，进而可得结果.解：点A1的坐标为 (1,0)点D1的坐标为 (1,1)，正方形A1B1C1D1的边长为1，面积为1同理可得，正方形A2B2C2D2的边长为，面积为,正方形A3B3C3D3的边长为，面积为正方形AnBnCnDn的面积是.故答案为【知识点】等腰直角三角形的性质；一次函数的图象与性质；坐标系中点的坐标特征；规律探索4. （2018贵州安顺，T18，F4）正方形、按如图所示的 方式放置.点、和点、C2、C3、分别在直线y= x + 1 和x轴上，则点的坐标是_. (n为正整数）【答案】【解析】当x=0时，y=x+1=1，点的坐标为（0,1）.四边形为正方形，点的坐标为（1,1）.当x=1时，y=x+1=2，点的坐标为（1,2）.四边形为正方形，点的坐标为（3,2）.同理，可得点的坐标为（3,4），点的坐标为（7,4），点的坐标为，点的坐标为.故答案为.【知识点】一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，探索规律.5. （2018浙江省台州市，15，5分） 如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点在轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标.在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为 【答案】（-3，5）【解析】如图所示：过点M作MHy轴，垂足为H，并延长到点N，使NH=MH，过点N作NDx轴，交y轴于点D，过点N作NEy轴，交x轴于点E.在NDH和MCH中，NDHMCH（AAS）ND=MC=3，DH=CH在RTMCH中，HCM=60，HMC30，CH=MC=，DC=2CH=3，OD=OC+CD=2+3=5，点N（-3，5）【知识点】全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三、解答题1 （2018四川内江，21，10） 某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元 （1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？ （2）为了满足市场需求，商场决定用不超过75万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍该商场有哪几种进货方式？该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【思路分析】（1）先找到题中的等量关系：50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，以及A、B两种型号的手机的进价关系，设未知数列方程即可；（2）由已知提供的信息：用不超过75万元采购A、B两种型号的手机共40部；且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍，可以列出两个不等式，解这个不等式组（解为正整数）就可以确定进货方式设总利润为W，A种型号的手机m部，由利润等于售价减去进价再乘以部数，就可以得到一个关于W和m的一次函数，根据一次函数的性质可以得出怎样进货利润最大【解题过程】解：（1）设B种型号的手机每部进价为x元，则A种型号的手机每部进价为（x500）元，根据题意可得10(x500)20 x50000，解得：x1500，x5002000答：A种型号的手机每部进价为2000元，B种型号的手机每部进价为1500元（2）设商场购进A种型号的手机m部，B种型号的手机为（40m）部，由题意得：，解得m30，m为整数，m27，28，29，30，所以共有四种进货方案，分别是：A种27部，B种13部；A种28部，B种12部；A种29部，B种11部；A种30部，B种10部设获得的利润为W，则W（25002000）m（21001500）（40m）100m24000，1000，W随m的增大而减小，所以当m27时，W最大，即选择购进A种27部，B种13部获得的利润最大【知识点】一元一次方程；一元一次不等式组；一次函数的性质；2. （2018浙江衢州，第24题，12分）如图，RtOAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）。（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线L垂直于x轴，设运动时间为t。点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当t为何值时，在直线L上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值。【思路分析】本题主要考查了一次函数与特殊四边形的综合问题，涉及到一次函数的解析式、菱形性质、及其动态问题。解答本题的关键是结合图形性质特点在动态过程中探究存在点的位置，利用勾股定理确定长度。（1）因为已知经过两点，故利用待定系数法列方程组解答即可；（2）假设法，假如存在，对点P的位置分两种情况进行讨论，利用PDA=B，可得到PDA和OBA相似，从而利用边长比得到PA的长度，从而得到P的坐标；（3）分别以点B和O为圆心作圆弧，交直线CD于两点，结合菱形性质，利用勾股定理求得点Q的坐标。【解题过程】解：（1）设直线CD的函数解析式为y=，将D（6，3）和C（12，0）代入得：，解得设直线CD的函数解析式为y=（2）存在点P.当点p在点A的左侧时，PDA=B，PD/OB，PADOAB.=.PA=6=.（，0）当点P在点A的右侧时，可得（，0）如图，（i）以B为圆心，BO为半径画弧交直线y=于，两点，由题意可知，B=BO=B,设Q（x, ），由勾股定理得，+=解得=-4，=12，即，两点的横坐标分别为-4和12，由对称性可得、的横坐标分别为-10和6，又点P从（-10，0）开始运动，=0，=16. （ii）以O为圆心，OB为半径画弧交直线y=于点，两点，由题意可知，B=BO=B,由勾股定理得，+=解得=，=，即，两点的横坐标分别为和，又因为点P从点（-10，0）开始运动，=，=.综上所述，当t为0，16， ，时，在直线L上存在点M，使得以OB为一边，O、B、M、Q.为顶点的四边形为菱形。3. （2018江苏无锡，25，8分）一水果店是A酒店的唯一供货商.水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果.已知水果店没售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元.以x（单位：kg，2000x3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润.（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元？【思路分析】（1）利用售出部分的利润减去未售出部分的亏损即可得到y关于x的函数表达式；（2）利用利润不少于22000可以列不等式求出实际问题的解.【解题过程】（1）当2000x2600时，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；当2600x3000时，y=102600=26000.（2）由题意得16x-1560022000，解得x2350，当A酒店本月对这种水果的需求量不少于2350时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元.【知识点】列一次函数解析式、一元一次不等式的应用4. （2018江苏无锡，26，10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）.（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使ABC=90，ABC与AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.（2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式.【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.（2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4），设AC的解析式为y=kx+b，则，解得,.方法二：作BMx轴于点M，BNy轴于点N，则BM=4，BN=6，设A（a，0）C（0，b），利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a，由BAMBCN得，设AC的解析式为y=mx+n，则，解得,.【知识点】5. （2018山东潍坊，23，11分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务. 该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米. 每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元.（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元. 问施工时有哪几种调配方案，并指出那种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【思路分析】（1）根据两种挖掘机挖土的数量列二元一次方程组求解即可；（2）设A型挖掘机有x台，则B型挖掘机有(12x)台，根据挖土量和施工费用分别列不等式组取整数解，即可求出调配方案，设施工费用为y元，可列出施工费用y与x的函数关系式，利用函数的增减性求最低费用.【解题过程】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土a立方米，每台B型挖掘机一小时挖土b立方米，根据题意，得： 解得： 所以，每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米.（2）设A型挖掘机有x台，则B型挖掘机有(12x)台. 解得：6x9挖掘机数量不同，x12xx6所以，x取整数为7，8，9共三种方案，分别是A型7台，B型5台；A型8台，B型4台；A型9台，B型3台.设施工总费用为y元，则y=3004x1804(12x)=480x86404800,y随x的增大而增大，当x=7时，施工费用最少，此时y=4807+8640=12000.方案A型7台，B型5台施工费用最低，最低费用为12000元.【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数应用6.（2018四川省成都市，26，8）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元（1）直接写出当0x300和x300时，y与x的函数关系式；（2）广场上甲、乙两种花卉种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植面积总费用最少？最少费用为多少元？【思路分析】（1）根据函数图象把(300，39000)，(500，55000)分别代入yk1x与yk2xb中即可求得解析式（2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200a)m2，结合（1）中的函数关系式，分别求出甲、乙两种花卉的费用求和，再结合函数的增减性进行讨论，即可求出最小值【解题过程】解：（1）当0x300时，设函数关系式为yk1x，过(300，39000)，则39000300k1，解得k1130，当0x300时，y130x，当x300时，设函数关系式为yk2xb，过(300，39000)和(500，55000)两点，解得，y80x1500综上y（2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200a)m2根据题意得，解得200a800当200a300时，总费用W1130a100(1200a)30a120000，当a200时，总费用最少为Wmin30200120000126000(元)；当300a800时，总费用W280a15000100(1200a)20a135000，当a800时，总费用最少为Wmin20800135000119000，119000126000，当a800时，总费用最少为119000，此时1200a400，当甲种、乙两种花卉面积分别为800 m2和400 m2时，种植面积总费用最少，最少费用为119000元【知识点】解不等式组；一次函数；一次函数图象的性质；7. （2018四川广安，题号22，分值：8） 某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元，若卖出的数量相同，销售量总额将比去年减少20.（1）求今年A型车每辆车的售价.（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A，B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？【思路分析】对于（1），先设今年的售价为x元，并表示去年的售价，再根据卖出的数量相同列出分式方程，求出解即可.对于（2），设购进A型车m辆，可表示B型车(45-m)辆，再根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍列出不等式，求出m的取值范围，再列出利润y与m的关系式，并根据一次函数的性质讨论极值即可.【解题过程】（1）设今年的售价为x元，则去年的的售价为(x+400)元，根据题意，得.2分解得x=1600，经检验，x=1600是原方程的解3分所以今年A型车每辆的售价为1600元.（2）设购进A型车的数量为m辆，则购进B型车(45-m)辆，最大利润为y，根据题意可知45-m2m，解得m15.则15m45.4分y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+270006分-1000，y随m的增大而减小，.7分即当m=15时，y最大=25500元.所以，应购进A型车15辆，B型车30辆，最大利润为25500元.8分【知识点】分式方程的应用，一次函数的应用8. （2018四川省南充市，第23题，10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多100元.（1）求一件型、型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进型、型丝绸共50件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于16件，设购进型丝绸件.求的取值范围.已知型的售价是800元/件，销售成本为元/件；型的售价为600元/件，销售成本为元/件.如果，求销售这批丝绸的最大利润（元）与（元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价-销售成本）.【思路分析】(1)利用一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元，设出未知数，再利用用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，列出方程即可.(2) 根据A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，求出m的取值范围；先根据A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件表示出利润，再根据50n150，求出最大利润.【解题过程】解：(1)设A型丝绸进价为x元，则B型丝绸进价为(x100)元，根据题意，得：.2分解得：x=500.3分经检验，x=500是原方程的解.B型丝绸进价为400元.答：A、B两型丝绸的进价分别为500元、400元.4分(2) 解得：16m25.6分w=(8005002n)m+(600400n)(50m)=(100n)m+(1000050n).8分当50n150时，100n0，w随m的增大而增大.故m=25时，w最大=1250075n.9分当n=100时，w最大=5000.当100n150时，100n0，w随m的增大而减小故m=16时，. w最大=1160066n.综上所述，w最大=10分【知识点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用9.（2018浙江绍兴，16，3分）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是，底面的长是，宽是，容器内的水深为.现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点的三条棱的长分别是，当铁块的顶部高出水面时，满足的关系式是 （第16题图）【答案】 或【解析】根据容器中上升的水的体积等于在水面以下铁块的体积，可分两种情况：1010的面放在容器底面，当时，得：；的面放在容器底面，当时，得：。【知识点】一次函数、分类讨论10. （2018浙江绍兴，19，8分） 一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量（升）关于加满油后已行驶的路程（千米）的函数图象.（第19题图）（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量.（2）求关于的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程.【思路分析】（1）汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，行使400千米耗油40升，再加上剩余30升即可求出加满油时油箱的油量为70升。（2）把点，坐标分别代入即可求出关于的函数关系式，当时就可求出行使的路程。【解题过程】解：（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，加满油时，油量为70升.（2）设，把点，坐标分别代入得，当时，即已行驶的路程为650千米.【知识点】一次函数的图像和性质，用待定系数法求一次函数的解析式。11. （2018浙江绍兴,，24，14分） 24如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有，四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从站开往站的车称为上行车，从站开往站的车称为下行车.第一班上行车、下行车分别从站、站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在，站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时.（第24题图）（1）问第一班上行车到站、第一班下行车到站分别用时多少？（2）若第一班上行车行驶时间为小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为千米，求与的函数关系式.（3）一乘客前往站办事，他在，两站间的处（不含，站），刚好遇到上行车，千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到站或走到站乘下行车前往站.若乘客的步行速度是5千米/小时，求满足的条件.【思路分析】（1）用第一班上行车的到B站的路程5千米除以这班车的速度30千米/小时即可；（2） 当第一班上行车与第一班下行车相遇时用时小时，所以分、两种情况分别求；（3） 可以分、三种情况讨论。【解题过程】24.解：（1）第一班上行车到站用时小时.第一班下行车到站用时小时.（2）当时，.当时，.（3）由（2）知同时出发的一对上、下行车的位置关于中点对称，设乘客到达站总时间为分钟，当时，往站用时30分钟，还需再等下行车5分钟，不合题意.当时，只能往站坐下行车，他离站千米，则离他右边最近的下行车离站也是千米，这辆下行车离站千米.如果能乘上右侧第一辆下行车，符合题意.如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，符合题意.如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，不合题意.综上，得.当时，乘客需往站乘坐下行车，离他左边最近的下行车离站是千米，离他右边最近的下行车离站也是千米，如果乘上右侧第一辆下行车，不合题意.如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，符合题意.如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，不合题意.综上，得.综上所述，或. 【知识点】时间=路程速度、一次函数、分类讨论12. （2018重庆B卷，17，4）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半小玲继续以原速度步行前往学校妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的函数关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米 17题图【答案】200 【解析】由图可知：玲玲用30分钟从家里步行到距家1200米的学校，因此玲玲的速度为40米/分；妈妈在玲玲步行10分钟后从家时出发，用5分钟追上玲玲，因此妈妈的速度为40155120米/分，返回家的速度为120260米/分设妈妈用x分钟返回到家里，则60x4015，解得x10，此时玲玲已行走了25分钟，共步行25401000米，还离学校12001000200（米），故答案为200【知识点】一次函数的实际应用13. （2018重庆B卷，22，10）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为2，直线l2与y轴交于点D（1）求直线l2的解析式；（2）求BDC的面积22题图【思路分析】（1）先求出点A的坐标，再由平移求出直线l3的为yx4，进而求出点C的坐标；直线l2的解析式为ykxb，将A、C两点坐标代入得方程组解答即可锁定直线l2的解析式；（2）先求出B、D两点坐标，进而得到线段BD的长，C点的横坐标的绝对值即为BDC的边BD上的高，由三角形的面积公式计算即可【解题过程】22解：（1）在yx中，当x2时，y1；易知直线l3的解析式为yx4，当y2时，x4，故A(2，1)，C(4，2)设直线l2的解析式为ykxb，则，解得，故直线l2的解析式为yx4（2）易知D(0，4)，B(0，4)，从而DB8由C(4，2)，知C点到y轴的距离为4，故SBDCBD8416【知识点】一次函数的应用 平移 一次函数解析式的求法14. （2018江苏省盐城市，24，10分） 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（1）根据图象信息，当t_分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为_米/分钟;（2）求出线段AB所表示的函数表达式【思路分析】（1）由图象得当t24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为40米/分钟;（2）根据题意，先求得点A的坐标，然后用待定系数法求出线段AB所表示的函数表达式【解题过程】解：（1）24，40；（2）甲、乙两人的速度和为100米/分钟，甲的速度为40米/分钟,乙的速度为60米/分钟乙从图书馆回学校所用的时间为40分钟相遇后，乙到达学校时，两人之间的距离y60（4024）1600（米），点A的坐标为（40，1600）点B的坐标为（40，1600）设线段AB所表示的函数表达式为ykxb根据题意，得解得线段AB所表示的函数表达式为y40x【知识点】一次函数的图象的应用；一次函数的表达式15. （2018山东临沂，24，9分）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行设出发xh后，两人相距ykm，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息，求： (1)点Q的坐标，并说明它的实际意义； (2)甲、乙两人的速度.第24题图 【思路分析】(1)先求出直线PQ的函数解析式，然后再求出点Q的坐标；由点Q位于x轴上，并联系甲乙的位置来描述它的实际意义；(2)由点M可知甲已到达点A，由总路程为10km即可求出甲的速度；再由点Q的位置可知甲乙相遇时的时间，由此建立方程可求出乙的速度.【解题过程】(1)设直线PQ的解析式为ykxb，代入点(0，10)和(，)的坐标，得，解得：，故直角PQ的解析式为y10x10，当y0时，x1，故点Q的坐标为(1，0)，该点表示甲乙两人经过1小时相遇.(2)由点M的坐标可知甲经过h达到B地，故甲人的速度为：10kmh6km/h；设乙人的速度为xkm/h，由两人经过1小时相遇，得：1(x6)10，解得：x4，故乙人的速度为4km/h.【知识点】一次函数 应用题 待定系数法求解析式16.（2018天津市，23，10）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.（）根据题意，填写下表：游泳次数101520方式一的总费用（元）150175方式二的总费用（元）90135（）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.【思路分析】本题考查一次函数的应用方案选择问题，先根据题意找到两种方案的关系式，再利用一次函数的性质即可得结果. （）读懂表格，结合题意填写.方式一是先购买会员证，每张会
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