高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.3 解三角形课件

第五章 平面向量与解三角形5.3 解三角形高考数学高考数学 (浙江专用)考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理1.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D. 212643五年高考答案答案 B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=.由=得=,sin C=,又0C,C=,故选B.34sinaAsincC2222sinC1246方法总结方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)的应用.2.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案答案 A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a,又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A.方法总结方法总结 解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.3.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=()A.1 B.2 C.3 D.413答案答案 A在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-23b,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.12评析评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.4.(2013湖南,3,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A. B. C. D. 312643答案答案 D由正弦定理可知,2sin Asin B=sin B,因为B为三角形的内角,所以sin B0,故sin A=,又因为ABC为锐角三角形,所以A.故A=,选D.3320,23评析评析本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值,考查学生的运算求解能力,本题学生容易记错特殊角的三角函数值而选错.5.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .答案答案60解析解析解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0B180,所以B=60.2222acbac2222abcab2222bcabc222acbac12思路分析思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.6.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .45513答案答案 2113解析解析由已知可得sin A=,sin C=,则sin B=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得=b=.351213355134512136365sinaAsinbB63165352113解后反思解后反思在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的正、余弦公式及正、余弦定理.7.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC= .13答案答案 63解析解析令BAM=,BAC=,故|CM|=|AM|sin(-),M为BC的中点,|BM|=|AM|sin(-).在AMB中,由正弦定理知=,即=,sin =,cos =,=cos |sinAMB|sinBM|sin2AM| sin()sinAM132 23132 21sincos33=sin cos -cos2,整理得1=2sin cos -cos2,解得tan =,故sin =.232132263评析评析本题考查解三角形,正弦定理应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.8.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .1514答案答案8解析解析因为cos A=-,0A,所以sin A=.由3=bcsin A得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.1421 cos A15415129.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .23答案答案 6解析解析依题意知BDA=C+BAC,由正弦定理得=,sin =,C+BAC=180-B=60,C+BAC=45,BAC=30,C=30.从而AC=2ABcos 30=.122sinBDA3sin B12CBAC2212610.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 .3答案答案7解析解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=64+25-240=49,故a=7,即BC=7.123321212评析评析本题考查了三角形的面积公式和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.11.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .3126答案答案1解析解析在ABC中,由sin B=,可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=,利用正弦定理=,可得b=1.126566623sinaAsinbB12.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .14答案答案- 14解析解析由2sin B=3sin C得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cos A=-.32142222bcabc222944322cccc c1413.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是 .2答案答案 624解析解析sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c,cos C=,当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为.222222abcab22244(2 )8abcab22244(2 )8ababab22322 28ababab2 62 28ababab62432624评析评析考查正弦、余弦定理及基本不等式等知识的灵活运用,对运算及恒等变形能力有较高的要求.14.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为 .答案答案 3解析解析因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A=,又cos A=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面积的最大值为.2222bcabc2bcbc123122242bcbc242bcbc1212323433评析评析本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查考生对知识的综合应用能力以及运算求解能力.能把2代换成a是正确解决本题的关键.15.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3, =-6,SABC=3,求A和a.ABAC解析解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为 =-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a=.ABAC3422222916.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.4546A解析解析(1)因为cos B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因为0A0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.sinaAsinbBsincCcos AacosBbsinCccossinAkAcossinBkBsinsinCkC652222bcabc3521 cos A45454535sincosBB评析评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.18.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.sinsinBC22解析解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABD SADC=BD DC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.1212sinsinBCACAB12219.(2013陕西,7,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定以下为教师用书专用答案答案 B由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,sin A=1,即A=.故选B.220.(2013辽宁,6,5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,则B=()A. B. C. D. 12632356答案答案 A由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因为sin B0,所以sin B=,所以B=或,又因为ab,故B=,选A.121212656621.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC=()A. B. C. D. 4210101053 101055答案答案 C在ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BABCcos B=()2+32-23=5,解得AC=.再由正弦定理得sin A=.故选C.22225sinBCBAC23253 101022.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则= .ab答案答案2解析解析利用余弦定理,将bcos C+ccos B=2b转化为b+c=2b,化简得=2.2222abcab2222acbacab23.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于 .3答案答案2 3解析解析由=,得sin B=sin A=1,B=90,故C=30,SABC=ACBCsin C=42=2.sinBCAsinACBACBC42 3321212312324.(2013安徽,12,5分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .答案答案 23解析解析由3sin A=5sin B及正弦定理得3a=5b,故a=b,则c=b-b=b.所以cos C=-,即C=.53103732222abcab122325.(2013山东,17,12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.79解析解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.7921 cos B4 29sinaBb2 2321 sin A1310 227评析评析本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能,考查学生的运算求解能力.26.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长. 7714216解析解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,2222ACADCDAC AD7142 7 2 772 7771421 cosCAD22 71721721 cosBAD27114 3 21143 21142 7771421732sinBCsinACCBA故BC=3.sinsinACCBA37221627.(2013北京,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.6解析解析(1)因为a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.63sin A2 6sin2A2sincossinAAA2 63636321 cos A331321 cos B2 235 39sinsinaCA评析评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B. C.2 D.11225答案答案 B SABC=ABBCsin B=1sin B=,sin B=,若B=45,则由余弦定理得AC=1,则ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故选B.12122122222252.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .答案答案 3 32解析解析本题考查圆内接正六边形面积的计算.S6=611sin 60=.123 323.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是 ,cosBDC= .答案答案 ; 152104解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC为三角形的内角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC为锐角,cosBDC=.2222ABBCACAB BC14154154121541521414581044.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A= .6答案答案75解析解析由正弦定理得=,sin B=,又cb,B=45,A=75.3sin606sinB22易错警示易错警示本题求得sin B=后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.225.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是 .答案答案(-,+)6262解析解析如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得=,所以=,即y=.因为075,+75=180,所以30105,当=90时,易得y=;当90时,y=,2sinsin75xsin75xsin(135)ysin(135)y2sin2sin(135)sin2sin90(45 )sin2cos(45 )sin2(cossin )sin22(cossin )sin211tan又tan 30=,tan 105=tan(60+45)=-2-,结合正切函数的性质知,(-2,),且0,所以y=(-,)(,+).综上所述:y(-,+).33tan60tan451tan60 tan4531tan331tan211tan6222626262评析评析本题考查了三角函数和解三角形,利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.6.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .sin2sinAC答案答案1解析解析在ABC中,由余弦定理的推论可得cos A=,由正弦定理可知=1.2222bcabc2225642 5 6 34sin2sinAC2sincossinAAC2cosaAc32 446 评析评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.7.(2014山东,12,5分)在ABC中,已知=tan A,当A=时,ABC的面积为 .ABAC6答案答案 16解析解析由=tan A,A=,得|cos=tan,即|=,所以SABC=|sin A=.ABAC6ABAC66ABACtan6cos62312ABAC122312168.(2013福建,13,4分)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 . 2 232答案答案 3解析解析 cosBAD=cos=sinBAC=.故在ABD中,由余弦定理知,BD2=BA2+DA2-2BAADcosBAD=3,故BD=.2BAC2 2339.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.23sinaA解析解析本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.1223sinaA123sinaA12sin3sinAA2312122331223sinaA3333方法总结方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csin B=变形为sin Csin B=.(2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.(3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.123sinaA12sin3sinAA12121210.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.2B解析解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.2B151715178171241717217215117解后反思解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.11.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.37解析解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.32323261sin2612AB ADAC AD1233思路分析思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2得解.332326ABDACDSS123一题多解一题多解(2)另解一:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=.另解二:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADC EDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.27ACCD73712773736277312332326121212312.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.37解析解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=83=6.37sincAa37323 31437121212323解后反思解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.13.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度. 7解析解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)72240(10 7)3411sinPQMAC(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.62 142221KGGK222432设EGG1=,ENG=,则sin =sin=cosKGG1=.因为,所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因为0,所以cos =.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =+=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)12KGG4523540sin14sin 72522425452425357253522sinPQNEG14.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.24a解析解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.24a1224a122222424评析评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.15.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.412解析解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.1212124342 55554C3 10102 234122评析评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.16.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.4A2sin2sin2cosAAA4解析解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设ABC的面积为S,则S=absin C=9.4A132sin2sin2cosAAA2tan2tan1AA251310103 10104sinaAsinbB54A2 5512评析评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.17.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.33345解析解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,1 cos22A1 cos22B32323212321226A26B66233345sinaAsincC853543 310所以,ABC的面积为S=acsin B=.128 31825评析评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.18.(2013浙江文,18,14分)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.3解析解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面积为.3sinaAsinbB323283127 33评析评析本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式及三角运算等基础知识,同时考查运算求解能力.19.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.73 32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分)123123 3237评析评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.20.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.22解析解析(1)由余弦定理及题设得cos B=.又因为0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0A0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范围是.sincosAAabsinsinAB2A2,22222A20,422A21sin4A984222221sin4A98982 9,28评析评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.22.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.37解析解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin333373123 327sin32sinB2172 773B=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面积为absin C=.333 2114123 3223.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为.2222acbac222acacac22acacac1212评析评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.24.(2013课标全国,17,12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA. 312解析解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.(2)设PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得=,化简得cos =4sin .所以tan =,即tanPBA=.1431274723sin150sinsin(30)33434评析评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把PBC和PAB联系起来利用正弦定理解题是关键.25.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值. 2A1cossinAA2A2B2C2D解析解析(1)证明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=.于是sin A=.2Asin2cos2AA22sin22sincos22AAA1cossinAA2A2B2C2D1cossinAA1cossinBB1cos(180)sin(180)AA1cos(180)sin(180)BB2sin A2sinB22222()ABADBCCDAB ADBC CD222265342 (6 53 4) 3721 cos A23172 107连接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.22222()ABBCADCDAB BCAD CD222263542 (6 35 4) 11921 cos B211196 10192A2B2C2D2sin A2sinB272 102 196 104 103评析评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.26.(2014江西,4,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3 B. C. D.3 39 323 323以下为教师用书专用答案答案 C c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absin C=6=,故选C.31212323 3227.(2014重庆,10,5分)已知ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8 B.ab(a+b)16C.6abc12 D.12abc24122答案答案 A设ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin 2A+sin 2B=-sin 2C+sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-cos(A+B)=4sin Asin Bsin C=sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2sin Asin Bsin C=R21,2,R2,2,abc=8R3sin Asin Bsin C=R38,16 ,知C、D均不正确.bc(b+c)bca=R38,A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.12121212121218121422228.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.342解析解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由题设知0B,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.223410sinbBACa33 101010421 sin B11103 1010sinsin(2 )ABBB6sin2sincosBBB3cosB1029.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长. 317解析解析(1)在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC=7.174 374 371217323 314sinsinABBADADB3 38144 3712评析评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.30.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.4A解析解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.2222acbac32222bcabc9 1 126 1321 cos A1192 234A442 23221322426评析评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.31.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.13解析解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)1312tantantantan1ACAC32.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 121335解析解析(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由=,得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),12133551345513351213456365sinABCsinACBsinACB1 2606365451213因0t,即0t8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由=,得BC=sin A=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3-3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.1 0401303537sinBCAsinACBsinACB1 2606365513500v710501 25043625141 250 625,4314评析评析本题考查正余弦定理、二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考查学生阅读能力和分析解决实际问题的能力.33.(2013江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.3解析解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0B,所以B=.(2)因为a+c=1,cos B=,有b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.3333312212a14141234.(2013湖北,17,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.3解析解析 (1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去). 因为0A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.12312123234321baca2bca2021345735.(2013课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解析解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac