二次函数-因动点产生的面积问题典型例题

中考压轴题精选典型例题讲解二次函数-因动点产生的面积问题1例1、如图1，已知抛物线y =丄x2 bx c (b、c是常数，且cv 0)与x轴交于A B两点(点A在点B2的左侧)，与y轴的负半轴交于点 C,点A的坐标为(一1,0).(1) b=，点B的横坐标为 (上述结果均用含 c的代数式表示)；(2) 连结BC,过点A作直线AE/ BC与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C D E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，点 P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB PC设厶PBC的面积为S. 求S的取值范围； 若 PBC的面积S为正整数，则这样的 PBC共有个.图1思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB= 2OC2 .当 C D E三点共线时， EHAo COB EHBA COD3 求 PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4 .求得了 S的取值范围，然后罗列 P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个 数.注意排除点 A、C B三个时刻的值.满分解答1(1) b= c -，点B的横坐标为一2C.21 11 1(2) 由 yx2 (c )x c (x 1)(x 2c)，设 E(x, (x 1)(x 2c).2 2 2 2过点E作EHL x轴于H.由于 0B= 2OC 当 AE/ BC时，AH= 2EH所以 x 1 =(x 1)(x 2c) 因此 x =1 -2c 所以 E(1-2c,1 -c).当C、D E三点在同一直线上时，-EH =CO .所以丄DH DO-2c1 22 1整理，得2c + 3C 2= 0解得c=- 2或c =-（舍去）.2(3)当P在BC下方时，过点 P作x轴的垂线交 BC于F.1直线BC的解析式为y =丄x -2 .21 2 311 2设 P(m, -mm -2)，那么 F (m,-m -2) , FP m 2m .2 2221所以 SPB= &pbf+ Sapcf= FP(Xb -Xc) =2FP =m2 4m =(m_2)2 4 .2因此当P在BC下方时， PBC的最大值为4.当P在BC上方时，因为 SA ABC= 5,所以SA PB(k 5.综上所述，0v S 0)交于点B(2 , 1).过点P(p,p_1)(p 1) x作x轴的平行线分别交曲线y=m(x0)和y=-m(xv 0)于M N两点.xx(1 )求m的值及直线I的解析式；(2) 若点P在直线y = 2上，求证： PMBo PNA(3) 是否存在实数P,使得am匸4Saamp?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说 明理由.思路点拨1第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.2 第(3)题把 SAMP 4&转化为MN= 4MP按照点 M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.满分解答(1) 因为点B(2 , 1)在双曲线y =m上，所以m= 2.设直线I的解析式为y=kx b，代入点A(1 , 0)x和点B(2 , 1)，得k =0，解得k=1,所以直线I的解析式为y=x-1.k+b=1.b=1.(2) 由点P(p, p -1)(p 1)的坐标可知，点 P在直线y=x-1上x轴的上方.如图2,当y = 2时，点P的坐标为(3 , 2).此时点M的坐标为(1 , 2)，点N的坐标为(一1, 2).由P(3 , 2)、M1 , 2)、巳2 , 1)三点的位置关系，可知 PMB为等腰直角三角形.由P(3 , 2)、N 1, 2)、A(1 , 0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形.所以 PMBA PNA图3 y辿p/0/A（3） AMNA AMP是两个同高的三角形，底边 MN和MP在同一条直线上.当 Saamr= 4Smm时，MN= 4MP 如图3,当M在NP上时，Xm Xn= 4（Xp Xm） 因此2_（_2）冬4 （x-门-？ 解得x =（X X丿丿0丿X；x J - 13 （此时点P在x轴下方，舍去）.此时D J 13 .2 p 2 如图4,当M在NP的延长线上时，Xm Xn= 4（ Xm Xp）.因此2（Z）鼻4 Z _.（x1） j.解得lxX丿lx丿或xi 5 （此时点P在x轴下方，舍去）.此时p = j 5 .2 H 2考点伸展在本题情景下， AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5,Z AM= 90,此时点 M的坐标为（1, 2），点P的坐标为（3, 2）.情形二，如图6,/ MA= 90,此时斜边 MN上的中线等于斜边的一半.不存在/ AN= 90的情况.例5、如图1，四边形OABC矩形，点 A、C的坐标分别为(3,0) , (0,1) 点D是线段BC上的动点(与端1点B、C不重合)，过点D作直线y x b交折线OA旺点E.2(1 )记厶ODE勺面积为S,求S与b的函数关系式；(2) 当点E在线段OA上时，若矩形 OABC关于直线DE的对称图形为四边形 OABC，试探究四边形OABC与矩形OABC勺重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.思路点拨1 数形结合，用 b表示线段 OE CD AE BE的长.2. 求 ODE勺面积，要分两种情况.当E在OA上时，OE边对应的高等于 OC当E在AB边上时，要利用割补法求 ODE勺面积.3 .第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.4 .图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理.满分解答1(1)如图2，当E在OA上时，由y x b可知，点E的坐标为(2 b,0) , OE= 2b.此时S= Sode211=-OE OC 2b 1 =b .221如图3,当E在AB上时，把y= 1代入y x b可知，点D的坐标为(2 b- 2,1) , CD= 2b 2,21 335BD= 5 2b.把x = 3代入y x b可知，点E的坐标为(3,b) , AE= b , BE=b .此时2 222S= S矩形 OABS OA S BDE S OCD1 3 1 51=3 3(b)(b)(5-2b) 1 (2b-2)2 2 2 22如图4，因为四边形OABC与矩形OAB（关于直线DE对称，因此 DM= DN那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形 DME是菱形.作 DHL OA 垂足为 H.由于 CD= 2b 2, OE= 2b,所以 EH= 2.设菱形 DME的边长为 m 在 Rt DEH中, DH= 1 ,NH= 2 mDN= m 所以+ (2 n) 2=吊.解得 m = 所45以重叠部分菱形 DME的面积为一.4第10页共13页中考压轴题精选典型例题讲解第10页共#页中考压轴题精选典型例题讲解图2图3图4考点伸展5）,那么这个菱形把本题中的矩形 OAB（绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5的最小面积为1,如图6所示；最大面积为 5，如图7所示.3DA1M匕1“GONA0例6、如图1,在厶ABC中，/ C= 90, AC= 3, BC= 4, CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与厶ABC的直角边相交于点 F，设AE= x， AEF的面积为y.（1）求线段AD的长；（2）若EF丄AB当点E在斜边AB上移动时， 求y与x的函数关系式（写出自变量 x的取值范围）； 当x取何值时，y有最大值？并求出最大值.（3） 若点F在直角边AC上 （点F与A C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将厶ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF,求出x的值；若不存在直线 EF,请说明理由.备用图思路点拨1第（1 ）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点.2 第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论.3 第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断.满分解答3 9在 Rt ABC中, AC= 3, BC= 4,所以 AB= 5.在 Rt ACD中, AD=ACcosA=35594 如图 2，当F在AC上时，0：x 在 Rt AEF中，EF = AEta nA：x所以5312 2y:AEEF :-x .23如图3 , 当i f在BC上时，9 x：5 .在 Rt BEF 中，E F = B Eta n B= (& x)所以541LEF :3 215yAEx2x .28892 254当o5时，yx的最大值为-；当 9 x ：:5时，y 一3x2 15x 3(x_5)2 75 的最大值为 75 588823232575因此，当时，y的最大值为32 (3) ABC勺周长等于12,面积等于6先假设EF平分 ABC的周长，那么 AE= x , AF= 6 x , x的变化范围为3 v x 5 因此1 i4221F AE AF si nAx(6-x)x(x-6) 解方程x(x-6)=3，得 x=3： ”左2 25552因为乂二彳+丄廂在3 xw 5范围内(如图4),因此存在直线 已尸将厶ABC的周长和面积同时平分.2考点伸展如果把第(3)题的条件“点 F在直角边AC上”改为“点 F在直角边BC上”，那么就不存在直线 EF 将厶ABC的周长和面积同时平分.先假设EF平分 ABC的周长，那么 AE= x, BE= 5 x, BF= x+ 1 1 133 2因此 S bef BE BF sin B(5x)(x 1)(x4x 5) 2 25103解方程(X2 -4x-5) =3 整理，得x2 -4x 5=0 此方程无实数根.10 第10页共16页中考压轴题精选典型例题讲解例7、如图1，正方形 ABCD，点A B的坐标分别为(0,10), (8, 4),点C在第一象限动点 P在正 方形ABCD勺边上，从点 A出发沿 L CH D匀速运动，同时动点 Q以相同速度在x轴上运动，当P点到 D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒.(1 )当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长度单位)关于运动时间 t (秒)的函数图象如图 2 所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点 C的坐标；(3) 在(1)中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时 P点的坐标.(4) 如果点P、Q保持原速度速度不变， 当点P沿4ChD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能， 写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.图1思路点拨1 过点B、C P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例 的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础.2 求点C的坐标，为求直线 BC CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备.3 不论点P在AB BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3 : 4 : 5,灵活运用方便解题.4 根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系.满分解答(1) Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度.(2) 过点B作BE! y轴于点E,过点C作x轴的垂线交直线 BE于F,交x轴于H.在 Rt ABE中，BE= 8, AE= 10 4 = 6,所以 AB= 10.由厶 ABEA BCF 知 BF= AE= 4, CF= BE= 6.所 以 EF= 8 + 6 = 14, CHh 8+ 4 = 12.因此点 C的坐标为(14, 12).(3) 过点P作PML y轴于M PNL x轴于N.因为PM/ BE所以AP = AM = MP ,即丄二也ML .因此 AM =3t, PM =4t .于是 PN =0M =10 _3t, ON =PM =4t .5 555设厶OPQ勺面积为S(平方单位)，那么s J OQ PN J(1t)(10_?t)3t2 47t 5，定义域为02251010t w 10.因为抛物线开口向下,对称轴为直线吟，所以当Y时，。也勺面积最大.此时P的坐标为（94， 53)10,当4或七罟时，0P与陀相等.第10页共18页中考压轴题精选典型例题讲解第10页共#页中考压轴题精选典型例题讲解考点伸展附加题的一般思路是：点 Q的横坐标是点 P的横坐标的2倍先求直线 AB BC CD的解析式，根据直线的解析式设点 P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO= PQ附加题也可以这样解：如图4,在Rt AMP中，设 AM= 3m MP= 4 m, AP= 5m那么 OQ 8m根据 AP OQ的长列方程组5m 二 t, ” /口 5解得t .8m =1 t,3GP= 5m 那么 O3 8m 在 Rt GAD中, GD= 7.5 .根如图 5,在 Rt GMPK 设 GM= 3m MP= 4 m据GP OQ的长列方程组!亦=37.5-1,解得295m=1+t,13如图6,设MP= 4m那么OQ 8m根据BR OQ的长列方程组5m -10 = t -10,8m =1 t,解得但这时第10页共#页中考压轴题精选典型例题讲解第10页共#页中考压轴题精选典型例题讲解点P不在BC上.第10页共#页中考压轴题精选典型例题讲解第10页共19页