圆周运动——临界问题学习教案

会计学1圆周运动圆周运动临界临界(ln ji)问题问题第一页，共30页。非匀速非匀速圆周运动圆周运动匀速匀速圆周运动圆周运动角速度、周期、频率不变，角速度、周期、频率不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，方向时刻方向时刻(shk)改变；改变；合外力不指向合外力不指向(zh xin)圆心，与速度方圆心，与速度方向不垂直；向不垂直；合外力大小不变，方向始终合外力大小不变，方向始终(shzhng)与速度方向垂直，与速度方向垂直，且指向圆心。且指向圆心。合外力沿着半径方向的分量提供向心力合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速度方向；，改变速度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小沿着速度方向的分量，改变速度大小。特点：特点：性质：性质：变速运动；变速运动； 非匀变速曲线运动；非匀变速曲线运动；条件：条件：向心力就是物体作圆周运动的合外力。向心力就是物体作圆周运动的合外力。当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角；反之，为钝角。；反之，为钝角。第1页/共30页第二页，共30页。物体做圆周运动时，题干中常常会出现物体做圆周运动时，题干中常常会出现“最大最大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”“”“恰好恰好”等词语，该类问题等词语，该类问题(wnt)即为圆周运动的临界即为圆周运动的临界问题问题(wnt)第2页/共30页第三页，共30页。一、匀速圆周运动一、匀速圆周运动(yndng)中的极中的极值问题值问题1、滑动(hudng)与静止的临界问题第3页/共30页第四页，共30页。如图所示，用细绳一端系着的质量为如图所示，用细绳一端系着的质量为M M0.6 kg0.6 kg的的物体物体A A 静止在水平转盘上静止在水平转盘上, ,细绳另一端通过转盘中心的细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔光滑小孔O O吊着质量为吊着质量为m m0.3 kg0.3 kg的小球的小球B B，A A的重心到的重心到O O点的距离为点的距离为0.2 m0.2 m，若，若A A与转盘间的最大静摩擦力与转盘间的最大静摩擦力(jn (jn m c l)m c l)为为FmFm2 N2 N，为使小球，为使小球B B保持静止，求转盘绕保持静止，求转盘绕中心中心O O旋转的角速度旋转的角速度的取值范围的取值范围( (取取g g10 m/s2)10 m/s2)【答案(d n)】2.9 rad/s6.5 rad/s第4页/共30页第五页，共30页。 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体个用细线相连的小物体A A、B B的质量均为的质量均为m m，它们到转轴，它们到转轴的距离分别为的距离分别为rA=20cmrA=20cm，rB=30cmrB=30cm。A A、B B与圆盘间的最与圆盘间的最大静摩擦力大静摩擦力(jn m c l)(jn m c l)均为重力的均为重力的0.40.4倍，（倍，（g=10m/s2g=10m/s2）求：）求：（1 1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；（2 2）当）当A A开始滑动时，圆盘的角速度开始滑动时，圆盘的角速度第5页/共30页第六页，共30页。2、绳子(shng zi)中的临界问题）3045CABL L例：如图所示，两绳子系一个质量例：如图所示，两绳子系一个质量(zhling)(zhling)为为m=0.1kgm=0.1kg的小球，上面绳子长的小球，上面绳子长L=2mL=2m，两绳都拉直时与，两绳都拉直时与轴夹角分别为轴夹角分别为3030与与4545。问球的角速度满足什么条。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？件，两绳子始终张紧？2.4rad/s 3.16rad/s第6页/共30页第七页，共30页。3、脱离(tul)与不脱离(tul)的临界问题）37可看成质点可看成质点(zhdin)(zhdin)的质量为的质量为m m的小球随圆锥体一起做匀速的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动，细线长为圆周运动，细线长为L L，求：，求：lg /（1）当）当 时绳时绳子子(shng zi)的拉力；的拉力；lg /2（2）当）当 时绳时绳子的拉力；子的拉力；第7页/共30页第八页，共30页。图3-5例：如图例：如图3-5所示，在电机所示，在电机(dinj)距轴距轴O为为r处固定一质量处固定一质量为为m的铁块电机的铁块电机(dinj)启动后，铁块以角速度启动后，铁块以角速度绕轴绕轴O匀速转动则电机匀速转动则电机(dinj)对地面的最大压力和最小压力之对地面的最大压力和最小压力之差为差为_.（1）若）若m在最高点时突然与电机脱离，在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动它将如何运动?（2）当角速度）当角速度为何值时，铁块在最高为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的原）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为理示意图。若电机的质量为M，则，则多大多大时，电机可以时，电机可以“跳跳”起来起来(q li)?此情况此情况下，对地面的最大压力是多少下，对地面的最大压力是多少?第8页/共30页第九页，共30页。二、竖直平面内的圆周运动的临界(ln ji)问题球绳模型第9页/共30页第十页，共30页。模型(mxng)1 ：绳球模型(mxng) 不可伸长的细绳长为不可伸长的细绳长为L L，拴着可看成，拴着可看成(kn (kn chn)chn)质点的质量为质点的质量为m m的小球在竖直平面内做圆周的小球在竖直平面内做圆周运动。运动。 oALvABv0试分析：试分析： 当小球在最高点当小球在最高点B的速度为的速度为v0 时，绳的拉力时，绳的拉力(ll)与速度的关系？与速度的关系？第10页/共30页第十一页，共30页。v1o思考：小球过最高点的最小速思考：小球过最高点的最小速度度(sd)(sd)是多少是多少? ? 最高点：最高点：LvmmgT20gLvT0, 0v2当当v=v0v=v0，对绳子的拉力刚好为，对绳子的拉力刚好为0 0 ，小球刚好能够通过，小球刚好能够通过(tnggu)(tnggu)（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；mgT思考：当思考：当v=v0、 vv0、vv0时分别时分别(fnbi)会发生什么现象？会发生什么现象？当当vvvvvv0 0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。第11页/共30页第十二页，共30页。思考：要使小球做完整的圆周运动，思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么在最低点的速度有什么(shn me)要求要求？oALvABvB由机械能守恒由机械能守恒(shu hn)可的：可的：22222BAvmvmrmg当当VB取得取得(qd)最小值时最小值时，即：，即：grvBVA取得最小值即：取得最小值即：grvA5结论：要使小球做完整的圆结论：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度周运动，在最低点的速度grvA5第12页/共30页第十三页，共30页。Lv20gL 例：长为例：长为L L的细绳，一端系一质量为的细绳，一端系一质量为m m的小球的小球, ,另一端固定于另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0v0，使小球在竖直平面使小球在竖直平面(pngmin)(pngmin)内做圆周运动，并且刚好过内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（最高点，则下列说法中正确的是：（ ）A.A.小球过最高点时速度为零小球过最高点时速度为零B.B.小球开始运动时绳对小球的拉力为小球开始运动时绳对小球的拉力为m mC.C.小球过最高点时绳对小的拉力小球过最高点时绳对小的拉力mgmgD.D.小球过最高点时速度大小为小球过最高点时速度大小为D第13页/共30页第十四页，共30页。变型题变型题2：在倾角为：在倾角为=30的光滑斜面上用细绳拴的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另一端固定，其细线长为住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m，现为，现为了了(wi le)使一质量为使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则的小球做圆周运动，则小球在最高点的速度至少为多少？小球在最高点的速度至少为多少？第14页/共30页第十五页，共30页。在在“水流星水流星(lixng)”表演中，杯子在竖直平表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？水却不会流下来，为什么？对杯中对杯中(bi zhn)水：水：GFNrvmFmg2N时，当grv FN = 0水恰好水恰好(qiho)不流出不流出表演表演“水流星水流星” ，需要保证杯子，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得在圆周运动最高点的线速度不得小于小于gr即：即：grv 实例一：水流星实例一：水流星重力的效果重力的效果全部提供向心力全部提供向心力第15页/共30页第十六页，共30页。实例实例(shl)二：过山二：过山车车第16页/共30页第十七页，共30页。拓展拓展(tu zhn)：物体沿竖直：物体沿竖直内轨运动内轨运动 有一竖直放置有一竖直放置(fngzh)(fngzh)、内壁光滑圆、内壁光滑圆环，其半径为环，其半径为r r，质量为，质量为m m的小球沿它的的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析小球在最高内表面做圆周运动时，分析小球在最高点的速度应满足什么条件？点的速度应满足什么条件？rvmFgN2m思考：小球过最高点的最小速度思考：小球过最高点的最小速度(sd)(sd)是多少是多少? ?r, 00gvFN当当v=vv=v0 0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；当当vvvvvv0 0，对轨道有压力，小球能够通过最高点；，对轨道有压力，小球能够通过最高点；mgFN 要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：grv Av0第17页/共30页第十八页，共30页。规律规律(gul)总结：无总结：无支持物支持物物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度若速度(sd)(sd)太小物体会脱离圆轨道太小物体会脱离圆轨道无支持物模型无支持物模型不能过最高点的条件：不能过最高点的条件：VVVV临界临界(ln ji)(ln ji)(实际上小球尚未实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道到达最高点时就脱离了轨道) )使小球做完整的圆周运动，使小球做完整的圆周运动，在轨道的在轨道的最低点的速度应满足最低点的速度应满足：5grv 第18页/共30页第十九页，共30页。模型模型(mxng)二：球杆模型二：球杆模型(mxng)：小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口径略大于小球的直径径略大于小球的直径)第19页/共30页第二十页，共30页。长为长为L的轻杆一端固定着一质量为的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使的小球，使小球在竖直小球在竖直(sh zh)平面内做圆周运动。平面内做圆周运动。 试分析：试分析：（1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速的速度为度为v2时，杆的受力与速度的时，杆的受力与速度的关系关系(gun x)怎样？怎样？（2）当小球在最高点）当小球在最高点B的速度为的速度为v1时，杆的受力与速度的关系时，杆的受力与速度的关系(gun x)怎样？怎样？AB第20页/共30页第二十一页，共30页。F3mgF2v2v1o思考思考: :在最高点时，何时在最高点时，何时(h sh)(h sh)杆表杆表现为拉力？何时现为拉力？何时(h sh)(h sh)表现为支持表现为支持力？试求其临界速度。力？试求其临界速度。ABLvmF222mg 最高点：最高点：拉力拉力(ll)支持力支持力临界临界(ln ji)速度：速度：L, 00gvF当当vv0，杆对球有向下的拉力。，杆对球有向下的拉力。mgF1此时最低点的速度为：此时最低点的速度为：grvA5LvmFmg233第21页/共30页第二十二页，共30页。问：当问：当v2的速度的速度(sd)等于等于0时，杆时，杆对球的支持力为多少？对球的支持力为多少？F支支=mg此时此时(c sh)最低点的速最低点的速度为：度为：grvA2结论：使小球结论：使小球(xio qi)能能做完整的圆周运动在最低做完整的圆周运动在最低点的速度点的速度grvA2第22页/共30页第二十三页，共30页。拓展：物体在管型轨道拓展：物体在管型轨道(gudo)内的运动内的运动如图，有一内壁光滑、竖直放置的管如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道型轨道(gudo)，其半径为，其半径为R，管内，管内有一质量为有一质量为m的小球有做圆周运动，的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。小球的直径刚好略小于管的内径。思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力，什么时候内管壁对小球有支持力? ?什么时候内外管什么时候内外管壁都没有壁都没有(mi yu)(mi yu)压力？小球在最低点的速度压力？小球在最低点的速度v v至至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？临界速度：临界速度：gRvF0, 0当当vv0，外壁对球有向下的压力。，外壁对球有向下的压力。使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：grvA2第23页/共30页第二十四页，共30页。第24页/共30页第二十五页，共30页。第25页/共30页第二十六页，共30页。例题例题: :轻杆长为轻杆长为2L2L，水平转轴装在中点，水平转轴装在中点O O，两端分别固定着小球，两端分别固定着小球(xio qi)A(xio qi)A和和B B。A A球质量为球质量为m m，B B球质量为球质量为2m2m，在竖直平面内做圆，在竖直平面内做圆周运动。周运动。当杆绕当杆绕O O转动到某一速度时，转动到某一速度时，A A球在最高点，如图所示，此时球在最高点，如图所示，此时杆杆A A点恰不受力，求此时点恰不受力，求此时O O轴的受力大小和方向；轴的受力大小和方向；保持问中的速度，当保持问中的速度，当B B球运动到最高点时，求球运动到最高点时，求O O轴的受力大轴的受力大小和方向；小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现能否出现O O轴不受力的情况？请计算说明。轴不受力的情况？请计算说明。22,vmgmvgLL解析：解析：A A端恰好不受力，则端恰好不受力，则222,4vTmgmTmgLB B球：球：2,vT mgmTmgL杆对杆对B B球无作用力，对球无作用力，对A A球球: :4Tmg 由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，B B球对球对O O轴的拉力轴的拉力，竖直向下。，竖直向下。2Tmg由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，A A球对球对O O轴的拉力轴的拉力，竖直向下。，竖直向下。第26页/共30页第二十七页，共30页。3ABvvgL222vTmgmgL若若B B球在上端球在上端A A球在下端，对球在下端，对B B球：球：2vT mgmL对对A A球：球：3vgL 联系得联系得: :2vTmgmL若若A A球在上端，球在上端，B B球在下端，对球在下端，对A A球：球：222vTmgmL对对B B球球： 23vmgmL 联系联系得得显然不成立，所以显然不成立，所以(suy)(suy)能出现能出现O O轴不受力的情况，此时轴不受力的情况，此时在杆的转速逐渐在杆的转速逐渐(zhjin)变化的过程中，能否出现变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。轴不受力的情况？请计算说明。第27页/共30页第二十八页，共30页。图3-6四、圆周运动的周期性四、圆周运动的周期性利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确个运动通常也是独立的，分别明确(mngqu)两个运动过程两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。例例1 1：如图所示，半径为：如图所示，半径为R R的圆盘的圆盘(yun pn)(yun pn)绕垂绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h h处沿处沿OBOB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为且落点为B B，则小球的初速度，则小球的初速度v v_，圆，圆盘盘(yun pn)(yun pn)转动的角速度转动的角速度_。第28页/共30页第二十九页，共30页。图3-7例例2：如图所示，小球：如图所示，小球(xio qi)Q在竖直平面在竖直平面内做匀速圆周运动，当内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，球转到图示位置时，有另一小球有另一小球(xio qi)P在距圆周最高点为在距圆周最高点为h处处开始自由下落开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，要使两球在圆周最高点相碰，则则Q球的角速度球的角速度应满足什么条件？应满足什么条件？第29页/共30页第三十页，共30页。