高等数学第五节对坐标的曲面积分课件

高等数学第五节对坐标的曲面积分1第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分159P, )(不变不可压缩流体流速为 v, s上有洞面积为平面 s v. )(指向正侧单位法向量为n)(流量中流过的流体的体积在单位时间内从 s cosvsw.)(,式显然正确时当120 ,为负值时当w 2,的反面表示流体流向 .w流量为)(1snv n高等数学第五节对坐标的曲面积分2.W正面的流量求在单位时间内流向 sdnvn不可压缩流体的流速),(),(),(zyxRzyxQzyxPv ) .,(称为稳流与时间无关,)( 有向曲面虚拟现有一) .(即规定了正反面的曲面. 用微元法解的流量微元微元在单位时间内流经面积dssdnvdW)(sdv.为有向面积元素其中sdnsd sdvW.此为第二类曲面积分高等数学第五节对坐标的曲面积分3:计算中常用的性质 dsvdsvdsvv21211)() dsvkdsvk)221213 dsvdsvdsv) dsvdsv)4.有相反侧的有向曲面表示与 高等数学第五节对坐标的曲面积分4,),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPv 设.cos,cos,cos nydxdxdzdzdyd,记 ydxdRxdzdQzdydPsdv所以.对坐标的曲面积分第二类曲面积分又称为sdsdsdsdn cos,cos,cos则sd,为锐角时当 yxdsd cos高等数学第五节对坐标的曲面积分5.的关系公式此为两类曲面积分之间 dsnv)( sdRQP)coscoscos( .第一类曲面积分来计算第二类曲面积分常化为 sdv ydxdRxdzdQzdydP,cos,cos,cos的方向余弦正面法向量为n .cos,cos,cos n即高等数学第五节对坐标的曲面积分6SydxdzxdzdyzdydxI1例.)(的下侧是1022zyxzSxyzn,.算化成第一类曲线积分计解SsdzyxI)coscoscos( ,:22yxzSS,122yxn14412222yxyxn,Ssdyxzyx144222222高等数学第五节对坐标的曲面积分7SsdyxzyxI144222222xyznxyDS1020rDyx yxDydxdyxyxyxyx2222222244144122)(10220rdrrd 412 .2 yxDydxdyx)(2222yxzS:10 z高等数学第五节对坐标的曲面积分8 xdzdyzdydxydxdzI计算例230122zzyx及被平面是柱面 .的部分的前侧所截得的在第一卦限内,.计算化为第一类曲线积分再解,:0122yxF , ),(022yxn, ),(0yxn 取220yxyxn),( sdyxyx2222 sdyx22 sdzyxI)coscoscos( ?(P?Q)?Rxynxyz n高等数学第五节对坐标的曲面积分923 所截得及被平面是柱面30122zzyx .的前侧的在第一卦限内的部分3020z zdd sdyxI223002zdd )(zddasd zzyx sincos 高等数学第五节对坐标的曲面积分10 ydxdzyxI3例的为球面1222zyx .,的部分外侧在00 yx解),(zyxn222nzyxn),(取 sdzyxI cos)(球面上的面积元素 dddssin21 020 0220ddIsin)(cossin)(sincos(sinxyznn sdzyx2高等数学第五节对坐标的曲面积分11 02320ddIcossincossin15421 152 0352023521coscossinyxDydxdyxzyxR),(,coscos sdRydxdR cosyxDyxdR coscosyxDydxdyxzyxRydxdzyxR),(,), 由于# cosyxdAd高等数学第五节对坐标的曲面积分12xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,)sgn(cos),( 201 2120 )sgn(cos 平面内在为xoyDxy )(无重影的投影:个类似的投影公式还有两yzDzdydzyzyxPzdydzyxP, ),(),( xzDxdzdzzxyxQxdzdzyxQ, ),(,),( )cos(sgn )cos(sgn 高等数学第五节对坐标的曲面积分13,3利用投影公式重解例 ydxdzyxI两部分和为分21 2211yxz,上在 11 ydxdzyxIyxDydxdyxyx221),(夹钝角与因为选负号zn),(常用投影公式计算只含一项xyznn12xyDyxDydxdyxyx221高等数学第五节对坐标的曲面积分141020rDxy 102201rdrrrrd sincos1023201rdrrd sincos15221.151xyznn12xyD,同理有22 ydxdzyxIyxDydxdyxyx221 ydxdzyxI.15221II151yxDydxdyxyxI2211高等数学第五节对坐标的曲面积分152121120220 sincossin)(d203102312 tdtttrdrrtrcoscossin)(sin20231 tdttsinsin205203 tdttdtsinsin325432 152 高等数学第五节对坐标的曲面积分16,积分的投影公式中这三条计算第二类曲面用来确定的方向角的法向量是曲面,n 的值或方一般没有必要把号公式中的 ,.曲面积分公式中左端为对坐标的向余弦算出来.,不要混淆右端为二重积分yzDzdydzyzyxPzdydzyxP, ),()cos(sgn),( xzDxdzdzzxyxQxdzdzyxQ, ),(,)cos(sgn),( yxDydxdyxzyxPydxdzyxP),(,)cos(sgn),( 高等数学第五节对坐标的曲面积分17 ydxdyxxdzdxzzdydzyI)()()(.4例)(022hhzyxz及平面为锥面其中 .个边界面的外侧所围成的空间区域的整xyznn21.解1,zyzxn,:221yxz 11 sdyxxzzyI cos)(cos)(cos)(2122,zyzxn122 sdyxzyxzxzy)()(122 sdxy)(高等数学第五节对坐标的曲面积分18xyznn21的奇函数x对称关于平面0 x0022 sdysdx2 sdyx)()(利用对称性.021III1221 sdxyI)(12 sdy12 sdx,上2 12 sdyxxzzyI cos)(cos)(cos)(, ),(100kn高等数学第五节对坐标的曲面积分19,.的上侧面上的闭区域是设例20105yxxoy .)( zdydeyxIz计算解, ),(100 kn的法向量 算化成第一类曲面积分计.cos)(0 sdeyxIz )cos(0 ,垂直与投影坐标面积分曲面yoz .0 zdydPI高等数学第五节对坐标的曲面积分20,),(: ydxdzyxI 6例300222zxRyx,: 解, ),(022yxn 的法向量 算化成第一类曲面积分计.cos),(0 sdzyxI )cos(0 ,垂直与投影坐标面积分曲面xoy .0 zdydI :经验如果积分曲面与项时第二类曲面积分只含一,!,则积分等于零投影坐标面垂直)(填空题用高等数学第五节对坐标的曲面积分21:小小结结:基本概念一标的曲面积分第二类曲面积分或对坐 ydxdRxdzdQzdydPsdv:背景正侧的流量流速场中流向虚拟曲面的通量向量场中指向曲面正侧高等数学第五节对坐标的曲面积分22,),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPv 式中正侧法向为积分曲面 cos,cos,cos公式为算化成第一类曲面积分计,.1 sdv ydxdRxdzdQzdydP sdRQP)coscoscos( :计算方法二.量的方向余弦高等数学第五节对坐标的曲面积分23公式为转换成二重积分向某坐标面投影,.2.中只含一项时常用此法 ydxdRxdzdQzdydP当被计算积分yzDzdydzyzyxPzdydzyxP, ),(),( xzDxdzdzzxyxQxdzdzyxQ, ),(,),( yxDydxdyxzyxPydxdzyxP),(,),( )cos(sgn )cos(sgn ),(:zxyy 的方程