高等数学同济第优秀课件

高等数学同济第优秀一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分4. 4. 反常积分（广义积分）反常积分（广义积分）iinixf )(lim10 badxxf)(定积分：定积分：要求：要求： （1）a,b为有限区间；为有限区间；（2）f(x)为有界函数为有界函数.引例引例1 求曲线求曲线)1(12 xxy与与 x 轴之间图形的面积轴之间图形的面积S. AdxxAS121,1111AxA ASSA lim则则11lim12AAdxx( (正常积分）正常积分）高等数学同济第优秀定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间), a上上连连续续， 取取ab ， adxxf)(badxxf)(当当极极限限存存在在时时，称称反反常常积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称反反常常积积分分发发散散. . 自然地，记自然地，记.112dxxS称此极限为函数称此极限为函数 在无穷区间在无穷区间 上的上的反常反常积分积分. )(xf), a记记blim高等数学同济第优秀类类似似地地， 设设函函数数)(xf在在区区间间,(b 上上连连续续， 取取 ba ， bdxxf)(badxxf)(称此极限为函数称此极限为函数 在无穷区间在无穷区间 上的上的反常反常积分积分. )(xf,(b 当当极极限限存存在在时时，称称反反常常积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称反反常常积积分分发发散散. . 记记设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续, )(xf),(记记 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxfalim左端两反常积分都收敛时，称反常积分反常积分都收敛时，称反常积分收敛收敛； 否则称反常积分否则称反常积分发散发散. 高等数学同济第优秀例例1 1 计算反常积分计算反常积分.102 xdx解解bbdxx0211limbbx0arctanlimbbarctanlim .2 ,xfxF设设记记 aaxFdxxf)(021xdx021xdx0arctanx.2 简写为：简写为：一般地，一般地，高等数学同济第优秀21arctan2.(99206)xdxx 求求 1arctanxx合并求极限合并求极限(92303)4 121ln4xx 12)1 (1dxxx 12)1ln(21lnxx2ln214 高等数学同济第优秀.2)1()91206.(3324 xxxdx求求 3241)1()1(xxdx原式原式,sec1tx 令令 234tansectansec dttttt定积分定积分广义积分广义积分变量代换变量代换 ,tansectdttdx 233cos tdt 232sin)sin1( tdt.83332 高等数学同济第优秀二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例2 曲线曲线 101 xxy与与 y 轴之间图形的面积轴之间图形的面积.,1lim0 xx由由于于即即xy1 在在(0,1上无界，上无界，dxx11 0lim S102lim x 222lim0 dxxS101记记0 x瑕点瑕点高等数学同济第优秀定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,(ba上上连连续续，点点 a为为 f( (x) )的的瑕瑕点点取取 badxxf)( atlim瑕点：如果瑕点：如果 f(x) 在点在点 a 的任一邻域内无界，则点的任一邻域内无界，则点 a 称为称为 f(x) 的的瑕点瑕点.则称此极限为函数则称此极限为函数 在区间在区间 上的上的反常积分反常积分， )(xf,(babtdxxf)(记记（瑕积分）瑕积分）当当极极限限存存在在时时，称称反反常常积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称反反常常积积分分发发散散. . , at 高等数学同济第优秀类似地类似地，设函数，设函数)(xf在区间在区间 ),ba上连续，上连续，点点b为为 f( (x) )的瑕点的瑕点. .取取 记作记作badxxf)(tadxxf)(则称此极限为函数则称此极限为函数 在区间在区间 上的上的反常积分反常积分， )(xf,(ba（瑕积分）瑕积分）当当极极限限存存在在时时，称称反反常常积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称反反常常积积分分发发散散. . , bt btlim高等数学同济第优秀设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点上除点)(bcac 外连外连续，点续，点c为为 f( (x) )的瑕点的瑕点. .则定义则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( 否否则则，就就称称反反常常积积分分 badxxf)(发发散散. . 以上积分统称为以上积分统称为瑕积分瑕积分.如果如果,)( cadxxf；收敛收敛则称反常积分则称反常积分badxxf)( bcdxxf)(都收敛，都收敛，高等数学同济第优秀例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx21ln xxdx21ln)(lnxxd21)ln(ln x. 故原广义积分发散故原广义积分发散. ,xfxF若若点点 a为为 f(x) 的的瑕点瑕点.记记 babaxFdxxf)( aFbF一般地，一般地，1 x瑕点瑕点高等数学同济第优秀例例5 5 计算反常积分计算反常积分.2312dxxx解解 3122dxxx 32221222dxxxdxxx 2122dxxx2122ln21x 故原反常积分发散故原反常积分发散.2 x瑕点瑕点2 x是瑕点，就会得到错误结果：是瑕点，就会得到错误结果：若忽略了若忽略了 3122dxxx. 7ln212ln21312x高等数学同济第优秀26.(00203)_.(7)2dxxx .2:是无穷间断点是无穷间断点注意注意x无瑕点无瑕点 33222)7(xxdxtx 2令令 0292dtt dtt9221013 高等数学同济第优秀例例7 7 (P264,2.(3)解解nnnn!lnlim 求求极极限限 10ln xdxdxxxxx 10101|ln 100dx. 1|10 xnnnn!lnlim nnnnn!lnlim nnnnn!ln1lim ninnin1ln1limnnnn!lim 练习：求极限练习：求极限高等数学同济第优秀1, q例例 8 8 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散. 证证, 1)1( q101dxx10ln x, , 1)2(q101dxxq1011qxq1,11qq因因此此当当1 q时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为q 11；当当1 q时时广广义义积积分分发发散散. 101dxxq高等数学同济第优秀2. 无界函数的反常积分（无界函数的反常积分（瑕积分瑕积分）1. 无穷限的反常积分无穷限的反常积分dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点：不能忽略内部的瑕点c）badxxf)(小小 结结高等数学同济第优秀积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？101lndxxx思考题思考题思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是101lndxxx1, 0 xx1lnlim1xxx, 11lim1xx1 x不是瑕点不是瑕点,101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x高等数学同济第优秀作业作业P256 1.(1)(4)(6)(7)(10) 2. 3.P264 2.(2)(4)(5) 4. 7.(1)(3) 9.14.(2)高等数学同济第优秀一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广义积分、广义积分 dxxx21=_=_；练练 习习 题题高等数学同济第优秀5 5、 广义积分广义积分 1021xxdx_；6 6、 广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为自然数为自然数n） ；4 4、 202)1(xdx；高等数学同济第优秀5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为为何何值值时时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为为何何值值时时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .高等数学同济第优秀一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、发散；、发散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11； 当当1 k时发散时发散. .四、四、 xxxxxdttfx2,120,410,0)(2. .练习题答案练习题答案