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7.2一元二次不等式及其解法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习1.“三个二次三个二次”的关系的关系知识梳理判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集_ _一元二次不等式ax2bxc0)的解集_x|xx2x|xRx|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法2.常用结论常用结论不等式解集ab(xa)(xb)0 x|xb_(xa)(xb)0_x|bxax|xax|xax|ax0(0(0).(2) 0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()思考辨析思考辨析(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集是A.(2,5) B.(5，)C.(，2) D.(，2)(5，)考点自测答案解析解方程x23x100得x12，x25，由于yx23x10的图象开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，). 2.设集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，则MN等于A.(0,4 B.0,4)C.1,0) D.(1,0答案解析Mx|x23x40 x|1x4，MN0,4). 3.(2016梧州模拟)不等式 0，x1或x0的解集是 ，则ab_.答案解析145.不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_.答案解析(，44，)x2ax40的解集不是空集，则x2ax40一定有解.a24140，即a216，a4或a4.题型分类题型分类深度剖析深度剖析题型一一元二次不等式的求解题型一一元二次不等式的求解例例1求不等式2x2x30的解集.解答命题点命题点1不含参的不等式不含参的不等式化2x2x30，例例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为 ，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.引申引申探究探究将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集.解答若a0，原不等式等价于x11.当a0时，解集为x|x1；当a1时，解集为 ；思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.跟踪训练跟踪训练1解下列不等式：(1)3x22x80；解答原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集.解答12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0； 题型二一元二次不等式恒成立问题题型二一元二次不等式恒成立问题命题点命题点1在在R上的恒成立问题上的恒成立问题例例3(1)若一元二次不等式2kx2kx 0，则a的取值范围是A.(0,4) B.0,4)C.(0，) D.(，4)答案解析命题点命题点2在给定区间上的恒成立问题在给定区间上的恒成立问题例例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.解答要使f(x)0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.命题点命题点3给定参数范围的恒成立问题给定参数范围的恒成立问题例例5对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围.解答由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.跟踪训练跟踪训练2(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.答案解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有 f(x)0，(2)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解答不等式mx22xm1320，即x228x1920，解得12x16，所以每件销售价应为12元到16元之间.典例典例(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_. 转化与化归思想在不等式中的应用思想与方法系列思想与方法系列14函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.9a|a3 答案 解析思想方法指导(1)由题意知 f(x)x2axbf(x)的值域为0，)，即x22xa0恒成立.即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立.而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3.课时作业课时作业A.x|1x2 B.x|x1或x2C.x|1x2 D.x|x21.不等式(x1)(2x)0的解集为12345678910111213答案解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x2.12345678910111213A.x|2x1 B.x|1x0C.x|0 x1答案解析x(x2)0的解集为x|x0，又1x1，0 x1，即x|0 x1.123456789101112133.若集合Ax|ax2ax10 ，则实数a的取值范围是A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4答案解析由题意知a0时，满足条件.12345678910111213A.(3,1)(3，)B.(3,1)(2，)C.(1,1)(3，)D.(，3)(1,3)答案解析123456789101112135.已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab等于A.3 B.1C.1 D.3答案解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是答案解析由题意得f(x)0的两个解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2x1，12345678910111213答案解析12345678910111213解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60恒成立，则b的取值范围是A.1b2C.b2 D.不能确定答案解析12345678910111213由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，由f(x)的图象可知f(x)在1,1上为增函数.x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.12345678910111213答案解析21234567891011121310.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2) ，则实数a的取值范围是_.答案解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.12345678910111213*11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.答案解析x|7x3令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，1234567891011121312345678910111213得5x0，即f(x)5的解集为(5,5).由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x3.1234567891011121312.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；解答由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn).当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x2.12345678910111213解答f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，xm0.f(x)m0，即f(x)0；f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，解答12345678910111213(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值.f(x)b的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解答
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