控制系统的数学模型(4)课件

控制系统的数学模型(4)1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章主要介绍4种数学模型：微分方程、传递函数、系统的结构图、信号流图以及相关的一些知识。这是分析控制系统的基础。能利用所学的知识建立系统的数学模型。熟练运用方框图变换化简的原则求取系统的传递函数；利用梅森增益公式求取系统的传递函数。控制系统的数学模型(4)2引引 言言 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量及内部各变量系统的数学模型是描述系统输入、输出变量及内部各变量间关系的数学表达式。间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为分析法和实验法建立数学模型的方法分为分析法和实验法u分析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理，化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。u实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号，单位脉冲信号，正弦信号等）根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。控制系统的数学模型(4)3数学模型时域模型频域模型方框图信号流图状态空间模型总结：总结： 分析方法适用于简单，典型，通用常见的系统；分析方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而实验方法适用于复杂，非常见的系统。实际而实验方法适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效更为有效.控制系统的数学模型(4)4q基本步骤：基本步骤：q分析各元件工作原理分析各元件工作原理,明确输入、输出量明确输入、输出量q建立输入、输出量的动态联系建立输入、输出量的动态联系q消去中间变量消去中间变量q标准化微分方程标准化微分方程一、控制系统的时域数学模型一、控制系统的时域数学模型（控制系统的微分方程）（控制系统的微分方程）控制系统的数学模型(4)5一、控制系统的微分方程一、控制系统的微分方程 主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统LTI的的微分方程的建立和求解方法。微分方程的建立和求解方法。例例1: 图示图示RLC无无源网络，列出以源网络，列出以 为输入量，以为输入量，以为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。解：解：)(tui)(tuo)()()(1)(tutRidttiCdttdiLidttiCtuo)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo消去中间变量得：消去中间变量得：控制系统的数学模型(4)6例2机械位移系统系统组成：系统组成：质量弹簧弹簧阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t) 输出量输出量y(t) (2) 初始微分方程组F = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t) FB(t) FK(t) = ma中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间变量控制系统的数学模型(4)7)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm 比较比较: R-L-C: R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-K-fM-K-f机械系统机械系统 运动方程运动方程 相似系统相似系统：有相同的数学模型的不同物理系统；揭示了不同揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。杂系统。一般来说，电的或电子的系统更容易通过试验进行研究。 同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。也可以有相同形式的数学模型。控制系统的数学模型(4)8电枢控制直流电机电枢控制直流电机aaaaaaE)t (iRdt)t (diL)t (u ：电枢回路电压平衡方程电枢反电势：)t (CEmea 电磁转矩方程：)t (iC)t (Mamm ：电机轴上转矩平衡方程)t (M)t (M)t (fdt)t (dJcmmmmm 电机轴上总的转动惯量 mJ系数电机轴上总的粘性摩擦 mf)t ()CCfR(dt)t (d)JRfL(dt)t (dJLmemmammamamma 22)t (MRdt)t (dML)t (uCcacaam 可得下式：忽略aL)t (MK)t (uK)t (dt)t (dTcammm21 电机的时间常数 mT电机的传递系数 1K控制系统的数学模型(4)9uiR1负负载载SMTGk1k2功功放放u2u1uautcR2R1R1R+m etiuk)uu(ku:1111 运放)udtdu(ku:11222 运放233uku: 功放ccammmmMkukdtdT: 直流电机mi: 1齿轮系 ttku:测速发电机ccigigmMkukdtdukdtdT 负载扰动力矩 cM控制系统的数学模型(4)10位置随动系统原理图(补充)W1负载负载W2urucu放大器放大器电机电机减速器减速器测速电机测速电机uutua操纵手柄操纵手柄r m c m m c c r r +_+_SMTGJ L fLW1W2EuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器操纵手柄操纵手柄测速电机测速电机电机电机负载负载电位器对电位器对减速器减速器r r c c 方块图的绘制控制系统的数学模型(4)11W1W2+_+_SMTGJ L fLEuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器m c r r c )()()(maxtktEtuccc )()()(tututucr dttdktumtt)()( )()(ttkcr )()(tuktuaa )()()(22tukdttddttdTammmm )(1)(titmc )()()(maxtktEturrr 位置随动系统结构图绘制)()()(tututut u操纵手柄操纵手柄W1JLfLW2uruc放大器放大器电机电机减速器减速器测速电机测速电机uutuam m c c r 控制系统的数学模型(4)12非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化切线法或小偏差切线法或小偏差法法1 1、线性化：将非线性微分方程在一定条件下，近似地转化、线性化：将非线性微分方程在一定条件下，近似地转化为线性微分方程的过程。为线性微分方程的过程。2 2、小偏差线性化的实质：在系统工作点附近，利用、小偏差线性化的实质：在系统工作点附近，利用TaylorTaylor级数展开，忽略高次项的方法级数展开，忽略高次项的方法. .3 3、几何定义：在预期工作点附近，用通过该点的切线近似、几何定义：在预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。代替原来的曲线。线性系统的特点线性系统的特点 线性微分方程有一定标准解法； 适用叠加原理 工程控制中，大多数系统都可以看作为线性系统。一、控制系统的时数域数学模型一、控制系统的时数域数学模型控制系统的数学模型(4)13二、控制系统的复数域数学模型二、控制系统的复数域数学模型 传递函数传递函数transfer function传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念.也是经典理论中两大分支根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。1. 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换变换 0dte )t (f)S(Fst 控制系统的数学模型(4)14 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换(复习）复习）拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 )()()()(22112211sFasFatfatfaL)()(asFtfeLat)()(sFetfLs0lim( )lim( )tsf tsF s 初值定理 微分定理 积分定理 0lim( )lim( )tsf tsF s( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnL fts F ssfsff1( )( ) /(0) /Lf t dtF ssfs终值定理要求 和 可拉氏变换； 存在；并且除在原点处可以有极点外， 的所有极点都在s平面的左半开平面。)(tfdtdf)(limtft)(ssF控制系统的数学模型(4)15名词名词 F(s)为为f(t)的的象函数象函数象函数象函数f(t)为为F(s)的的原函数原函数原函数原函数S= +j 为为复频率复频率复频率复频率dsesFj21tfstjcjc )()( dtetfsFst0 )()(正变换正变换 反变换反变换 )()(tfLsF )()(sFLtf1 拉普拉斯变换控制系统的数学模型(4)16控制系统的数学模型(4)17AtA)( sAtA)( sAAet控制系统的数学模型(4)18拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换查表法部分分式展开法留数法应用拉氏变换的性质控制系统的数学模型(4)19部分分式展开法部分分式展开法 一般为有理函数。 单极点：)()()(sDsNsFniiipsKsF1)()2 , 1(nipiipsiisFpsK)()(nitpiteKtfi1)()(控制系统的数学模型(4)20部分分式展开法部分分式展开法 复数极点复数极点 原函数的形式之一tjjtjjtjtjeeKeeKeKeKtf)(1)(1)(2)(111|)()()cos(|2|11)()(111tteKeeeKttjtjtjsKjsKsF21)(*112|KKK控制系统的数学模型(4)21部分分式展开法部分分式展开法 复数极点复数极点 原函数的形式之二jsKjsKsF21)(jBAKtjtjtjtjejBAejBAeKeKtf)()()(2)(1)()()()(sincos2)()(ttBtAeeejBeeAettjtjtjtjt控制系统的数学模型(4)22部分分式展开法部分分式展开法 复数极点复数极点 原函数的形式之三22)()(sNMssF)(cos)(22ttesst)(sin)(22ttest2222)()()(sNMssM)()sincos()(tteNMtMetftt控制系统的数学模型(4)23留数法留数法jjtsdsesFjtf)(21)(0)(Res1jtABesFtsmj以右的极点在0)(Res1itABesFtsni以左的极点在kSStskesFss)()(ReskkSStspkppesFssdsdp)()()!1(1Res11kj00ABCj00ABCt0封闭积分路线封闭积分路线控制系统的数学模型(4)24留数法的特点留数法的特点 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一致。 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、双边拉普拉斯变换等。 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及其导数不符合约当引理，因此当原函数 f (t)中包含有冲激函数及其导数时，需先将F(s)分解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项。控制系统的数学模型(4)25解：解：用留数法，在以左围线包含的极点用留数法，在以左围线包含的极点的留数为：的留数为： 已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(ja0ABC00t0teta)(tfkSStskesFss)()(Resk控制系统的数学模型(4)26已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(解：解：用留数法，在以右围线包含的极点用留数法，在以右围线包含的极点的留数为：的留数为：ja0ABC00t0tet a)(tfkSStskesFss)()(Resk控制系统的数学模型(4)27解：解：用留数法，在以左和用留数法，在以左和以右围线各包含一个极点。以右围线各包含一个极点。原函数为：原函数为：已知已知 ，求，求 f (t)。0tet b0teta)(tfbsasbassFRe11)(ja-0b或或)()()(tetetftatb控制系统的数学模型(4)28拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质序号时域 f(t)复频域 F(s)1线性性a f1 (t)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03时移性f (t-t0) (t-t0) t004频移性f (t) e-a tF(s+a)5时域微分sF(s)f (0-)6时域积分7复频域微分(-1)n t n f(t)8复频域积分9时域卷积f1 (t)* f2 (t)F1(s)F2(s)10复频域卷积f1 (t) f2 (t)11初值定理12终值定理asFa1)(0sFet stdtfd)(ssF)(tdf0)(nndssFd)(ttf)(sdssF)()()(2121sFsFj)(lim)(lim)0(0ssFtffst)(lim)(lim)(0ssFtffst控制系统的数学模型(4)29初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用 初值定理的应用条件： F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。 终值定理的应用条件： F(s)的极点必须位于S平面的左半平面； F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。)(lim)(lim)0(0ssFtffst)(lim)(lim)(0ssFtffst 初值定理： 终值定理：控制系统的数学模型(4)30初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用sssssF2312)(2302312lim)(lim)0(230ssssstffst212312lim)(lim)(230ssssstffst控制系统的数学模型(4)31初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用)4(1)(22ssesFs0)4(1lim)(lim)0(220ssestffsst控制系统的数学模型(4)32输出拉氏变换输出拉氏变换 2.2.传递函数传递函数 设一控制系统设一控制系统输入输入输入拉氏变换输入拉氏变换输出输出R(S)R(S)C(S)C(S)r(t)r(t)c(t)c(t)R R( (s s) )C C( (s s) )G G( (s s) =) =表示为：系统系统G(S)G(S)传递函数的概念与定义传递函数的概念与定义 线性定常系统线性定常系统在输入、输出在输入、输出初始条件均为零初始条件均为零的条件下，的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。递函数。控制系统的数学模型(4)33nm关于传递函数的几点说明1.传递函数仅适用于线性定常系统传递函数仅适用于线性定常系统；2.传递函数完全取决于系统内部的结构、参数传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、，而与输入、输出无关；输出无关；3.传递函数只表明一个特定的输入、输出关系传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵）函数矩阵）4.传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量s的的有理分式有理分式：=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=控制系统的数学模型(4)34零初始条件下拉氏变换得：零初始条件下拉氏变换得：(a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an )C(s) = (b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm )R(s) 系统微分方程的一般表达式为：系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1系统传递函数的一般表达式为系统传递函数的一般表达式为=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=n=mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)传递系数，根轨迹中叫根轨迹增益。极点零点11(1)(1)miinjjsKs传递系数或增益。控制系统的数学模型(4)355. 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应对应；复平面上零点用复平面上零点用“ ”表示，极点用表示，极点用“ ”表示，称为表示，称为零极点分布图零极点分布图。6.传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数；数；7.传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。有现实意义，而且容易实现。控制系统的数学模型(4)36控制系统的运动情况控制系统的运动情况只只决定于决定于所有各组成环节的所有各组成环节的动态特性动态特性及连接方式及连接方式, , 而与这些环节的具体结构而与这些环节的具体结构和进行的物理过程不直接相关。和进行的物理过程不直接相关。组成控制系统的环节组成控制系统的环节可以可以抽象为抽象为典型环节典型环节。不同的物理系统，可以是同一环节。不同的物理系统，可以是同一环节。同一物理系统也可能成为不同的环节。同一物理系统也可能成为不同的环节。典型环节（基本环节）的传递函数典型环节（基本环节）的传递函数控制系统的数学模型(4)37典型环节（基本环节）的传递函数典型环节（基本环节）的传递函数 一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称作典型环节典型环节。常见的几种形式有：比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论其时域和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。控制系统的数学模型(4)38输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。比例环节又称为无惯性环节或放大环节。 k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：（一）比例环节：( )( ),0c tkr t t( )( )( )C sG skR s时域方程：传递函数：k1)(tc)(tc)(tr)(trtkC (s)R (s)控制系统的数学模型(4)39（二）惯性环节（非周期环节）（二）惯性环节（非周期环节）时域方程：( )( )( ),0Tc tc tkr t t传递函数：( )( )( )1C skG sR sTs1ct00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面T11/Ts+1C (s)R (s)特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入含一个储能元件，对突变的输入, ,其输出不能立其输出不能立即发现，输出无振荡。即发现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。环节。控制系统的数学模型(4)40（三）积分环节：（三）积分环节：0( )( ),0ty tkx t dt t( )1( )( )Y skG sX ssTs时域方程：传递函数：1/TsC (s)R (s)特点：特点：输出量输出量与输入量的积与输入量的积分成正比例，分成正比例，当输入消失，当输入消失，输出具有记忆输出具有记忆功能。功能。实例：实例：电动机电动机角速度与角度角速度与角度间的传递函数，间的传递函数，模拟计算机中模拟计算机中的积分器等。的积分器等。控制系统的数学模型(4)41（四）振荡环节：时域方程：2100( )( )( )( )a c ta c ta c tb r t传递函数：2022 2222101( )212nnnbGskasas aT sTsss当 时，递函数有两个实数极点：1c(t)t101mIeR0n21nj21nj单位阶跃响应曲线极点分布图若 ，传递函数有一对共轭复数。10设输入为：1( )R ss则 特点：特点：环节中有两环节中有两个独立的储能元件，个独立的储能元件，并可进行能量交换，并可进行能量交换，其输出出现振荡。其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输电路的输出与输入电压间的出与输入电压间的传递函数。传递函数。控制系统的数学模型(4)42（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：)()(tkxty)()()(txtxkty)()(2)()( 2txtxtxkty相应的传递函数为：kssG)() 1()(sksG) 12()(22ssksG分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。纯微分特点：纯微分特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。信号的变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。微分环节。控制系统的数学模型(4)431) 1()1 ()()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：y(t)x(t)R1R2C实例控制系统的数学模型(4)44（六）延迟环节（六）延迟环节( )()1()c tr tt传递函数为：传递函数为：( )sG se特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定时间间隔。输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定时间间隔。实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。延迟环节。延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：sseess11.111或ses12/12/12/2/sseeesss控制系统的数学模型(4)45（七）其他环节：还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。121,1122sTsTTs小结小结 传递函数的基本概念； 传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）； 典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）。控制系统的数学模型(4)46几个典型元件的传递函数几个典型元件的传递函数电机减速器iZZ)s()s(12112 直流测速发电机直流测速发电机交流测速发电机交流测速发电机tk)s( )s(Uskt)s( )s(U)t (MK)t (uK)t (dt)t (dTcammm21 )t (MK)t (uK)t (dt)t (dTccammmm 图2-2图2-2图2-12图2-14控制系统的数学模型(4)47双容器液流系统双容器液流系统(补充补充)电机电机阀门阀门I(s)Q1Q2Q3输入信号输入信号输出信号输出信号输入信号输入信号I(s)5s1 Q12s1 Q23s1 Q3输出信号输出信号电机控制的控制系统的数学模型(4)48卫星指向控制系统卫星指向控制系统(补充补充)卫星上装有进行方向卫星上装有进行方向调节的指向控制系统调节的指向控制系统90sk )9s)(1s (10 R(s)Y(s)方向角方向角 方向角方向角指令信号指令信号实际实际结构图如下：结构图如下：控制系统的数学模型(4)49垂直起飞飞机(补充补充)3 3月月2626日，一架英军日，一架英军GR7“GR7“鹞鹞”式垂直起式垂直起降机在钠灯照耀下，降机在钠灯照耀下，准备从科威特的空军准备从科威特的空军基地起飞。基地起飞。( (路透社图片路透社图片) )s)1s2s4(k2 )4ss (s122 )s(R)s(YPID控制器控制器高度控制系统高度控制系统控制系统的数学模型(4)50电阻、电容、电感电阻、电容、电感(补充补充)RCL+)(tui(t)u(t)= i (t)R)(tui(t)i(t)=dttduC)(u(t)=C1i(t)dti(t)(tu+u(t)=Ld i (t)dti(t)=dttuL)(1+i(t)=Rtu )(R) s ( I) s (U sc1) s ( I) s (U Ls) s ( I) s (U 控制系统的数学模型(4)51补充之一补充之一例例 试求试求RLCRLC串联无源网络的传递函数串联无源网络的传递函数 。 解解 RLCRLC网络的微分方程为网络的微分方程为 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令并令 ，可得，可得s s的代数方的代数方程为程为0( )/( )iUsU s20002( )( )( )( )id u tdu tLCRCu tu tdtdt00( )( ),( )iUsL u tU s ( )iL u t20(1)( )( )iLCsRCsUsU s控制系统的数学模型(4)52传递函数的零点和极点对输出的影响传递函数的零点和极点对输出的影响 （1 1）传递函数的极点可受输入函数的激发，传递函数的极点可受输入函数的激发， 在输出响应中形成自由运动模态。在输出响应中形成自由运动模态。 现举例说明现举例说明：补充之二补充之二控制系统的数学模型(4)53当当 ，即时，即时 ，可，可求得系统的零初始条件响应为求得系统的零初始条件响应为 512( )tr trr e12( ) / /(5)R srsrs11126(3)( ) ( )()(1)(2)5rrsc tLC sLssss521221129(312 )(32 )tttrr err err e= 式中，前两项具有与输入函数式中，前两项具有与输入函数r r（t t）相同的模态，后）相同的模态，后两项中包含了由极点两项中包含了由极点-1-1和和-2-2形成的自由运动模态。这形成的自由运动模态。这是系统是系统“固有固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激而形成的。因此可以认为这两项是受输入函数激而形成的。 控制系统的数学模型(4)54二、控制系统的复数域数学模型二、控制系统的复数域数学模型 由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。由运动的模态。 设某系统传递函数为设某系统传递函数为 ( )6(3)( )( )(1)(2)C ssG sR sss显然，其极点显然，其极点 , , ,零点零点 ，自由运动的模态是自由运动的模态是 和和 。 11p 22p 13z te2te控制系统的数学模型(4)55 （2 2）传递函数的零点不形成自由运动传递函数的零点不形成自由运动模态，却影响各模态在响应中所占的比重，模态，却影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状。影响响应曲线的形状。 现举例说明现举例说明：二、控制系统的复数域数学模型二、控制系统的复数域数学模型设具有相同极点但零点不同的传递函数分别设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为为 142( )(1)(2)sG sss21.52( )(1)(2)sG sss， 控制系统的数学模型(4)56二、控制系统的复数域数学模型二、控制系统的复数域数学模型其极点都是其极点都是-1-1和和-2-2， 的零点的零点 ， 的零点的零点 。 1( )G s10.5z 2( )G s21.33z 在零初始条件下，它们的价跃响应分别是在零初始条件下，它们的价跃响应分别是 12142( )123(1)(2)ttsc tLees ss 1221.52( )1 0.50.5(1)(2)ttsc tLees ss 控制系统的数学模型(4)57二、控制系统的复数域数学模型二、控制系统的复数域数学模型上述结果表明，模态上述结果表明，模态 和和 在两个系统的单位在两个系统的单位价跃响应中所占的比重是不同的，它取决于极点价跃响应中所占的比重是不同的，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下，与原点之间的距离。在极点相同的情况下， 的的零点零点 接近原点，距两个极点的距离都比较远，接近原点，距两个极点的距离都比较远，因此，两个模态所占比重大且零点因此，两个模态所占比重大且零点 的作用明显；的作用明显；而而 的零点的零点 距原点较远且与两个极点均相距原点较远且与两个极点均相距较近，因此两个模态所占比重就小。这样，尽距较近，因此两个模态所占比重就小。这样，尽管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，其单位价跃响应其单位价跃响应 和和 却具有不同的形状。却具有不同的形状。 te2te1( )G s1z1z2( )G s2z1( )c t2( )c t控制系统的数学模型(4)58三、控制系统的结构图三、控制系统的结构图（一）组成（一）组成1 1、信号线：、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2 2、引出点（测量点）：、引出点（测量点）：信号引出或测量的位置。信号引出或测量的位置。从同一信号线上引出的信号，从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同数值和性质完全相同控制系统的数学模型(4)593 3、比较点（综合点）：、比较点（综合点）：对两个或两个以上的信号进对两个或两个以上的信号进行代数运算，行代数运算，“”表示相加，常省略，表示相加，常省略，“”表示相表示相减。减。4 4、方框：、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数的传递函数 ，两侧为输入、输出信号线。，两侧为输入、输出信号线。()()()YsRsGs控制系统的数学模型(4)60（二）建立（二）建立例：建立如图所示的双例：建立如图所示的双T T网络的动态结构图。网络的动态结构图。111121112222( )( )1( ); ( )( ( )( )( )( )1( ); ( )( )rCCututitutititdtRCututitutit dtRC控制系统的数学模型(4)61绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来的结构图连接起来作用：作用：1 1）直观形象的分析变量之间的关系）直观形象的分析变量之间的关系 2 2）方便求解传递函数）方便求解传递函数11121111222211()()();()()()11()()();()()rCCUsUsIsIsIsUsRsCUsUsIsIsUsRsC控制系统的数学模型(4)62(补充)R1R2Ur(s)Uc(s)sc11sc21I(s)I1(s)I2(s)I1(s)sc11= I2(s)R2+ Uc(s) Uc(s) = I2(s)sc21I(s) = I1(s)+ I2(s)R1sc11I(s)I I1 1(s)(s)Ur(s)这是不行的这是不行的I(s)R1+I1(s) sc11 Ur(s) sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)从左从左到右到右补充控制系统的数学模型(4)63图1图2比较sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)R11I (s)I2(s)sc21R2SC1从右从右到左到左从左从左到右到右(补充补充)控制系统的数学模型(4)64(补充) s (IR1)s (U) s (U111r ) s (Usc1)s (I) s (I 1121 ) s (IR1)s (U) s (U22c1 R1C1C2ur(t)uc(t)Ur(s)Uc(s)sc11R11I1(s)sc21Ur(s)Uc(s)sc11sc21I2(s)U1(s) s (Usc1) s (Ic22 I2(s)U1(s)U1(s)Uc(s)R21I2(s)I1(s)R2控制系统的数学模型(4)65题题1 (补充) t ( c) t (n) t (x1 ) t ( cT) t (rkdt) t (dx212 ) t (n) t (x) t (rk) t (xTdt) t (dx22111 绘制动态结构图绘制动态结构图输出输出输入输入扰动扰动控制系统的数学模型(4)66题题1续续) s (C) s (N) s (X1 ) s (CT) s (Rk) s (sX212 ) s (N) s (X) s (Rk) s (X)Ts (2211 ) t ( c) t (n) t (x1 ) t ( cT) t ( rkdt) t (dx212 ) t (n) t (x) t (rk) t (xTdt) t (dx22111 绘制动态结构图绘制动态结构图) s (Xs1T) s (Ck) s (R221 ) s (XTs1)s (Nk) s (R) s (X1122 ) s (C) s (N) s (X1 R(s)k1C(s)T2X2(s)k21Ts1 X1(s)C(s)N(s)s1控制系统的数学模型(4)67E(s)=R(s)-C(s) E(s)-X4(s)H(s)=X1(s)N(s)+X4(s)=C(s) X2(s)=X1(s)G1(s) X4(s)=X3(s)G2(s)X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)题2 (补充)R(s)E(s)X1(s)G1(s)X2(s)G4(s)G3(s)X3(s)N(s)G2(s)X4(s)C(s)C(s)H(s)X4(s) 描述系统动态性能的方程组如下，试绘制以描述系统动态性能的方程组如下，试绘制以R(s)为输入为输入信号、信号、C(s)为输出信号、为输出信号、N(s)为干扰信号的系统结构图。为干扰信号的系统结构图。控制系统的数学模型(4)68习题2-15功放功放k3+15v-15v-k1-k2SMTG+30k20k10k10k10k10kuiuauoutu2u1位置随动系统原理图位置随动系统原理图3uautu2u1kts23s(Tms+1)km5.215.21k3uoi uic +15v-15vc i c 控制系统的数学模型(4)69LZ3函数记录仪函数记录仪( (例例2-12)2-12)图图2-26图图2-28控制系统的数学模型(4)70求图示求图示系统系统的传递函数的传递函数( (补充补充) )+A1A2A3 k k200 k k200 k k200 k k100 k k100 k k100 k k500 k k2005R R6R RF F 2F F 1控制系统的数学模型(4)71并联：并联：)(sGn)(1sG( )R s( )C s 反馈反馈:)(sH)(sG( )R s( )C s)(sE串联：串联：)(1sG)(sGn( )R s( )C s(三三) 典型连接方式及等效变换：典型连接方式及等效变换：1( )niiG s)(sR)(sC1( )niiG s)(sR)(sC( )1( )( )G sG s H s)(sR)(sC控制系统的数学模型(4)72 闭环控制系统的典型结构图如下图所示：)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sE 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。 )(sR)(sC)(sE)(sN由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对 和 对 的传递函数，然后叠加得出总的输出量 。)(sR)(sC)(sN)(sC)(sC闭环系统的传递函数：闭环系统的传递函数：控制系统的数学模型(4)73给定输入作用下的闭环系统的传递函数：给定输入作用下的闭环系统的传递函数：令 ，则有：0)(sN)(1sG)(2sG)(sH)(sR-)(sC)(sE)(sBHGGGGsRsCs21211)()()(前向通道传递函数开环传递函数)()(21sGsG)()()(21sHsGsG12( )1( )( )1EE ssR sGG H若是单位负反馈系统，则：开环传递函数=前向通道传递函数。( )1( )Ess 系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。控制系统的数学模型(4)74扰动作用下的闭环系统的传递函数：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：212( )( )( )1NC sGsN sGG H一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：212( )( )( )1NEE sG HsN sGG H )(1sG)(2sG)(sH-)(sC)(sB)(sN+)(sE控制系统的数学模型(4)75给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。NEEN,122121( )( )( )1C sGG R sG N sGG H1)()()(21sHsGsG1)()(1sHsG若若 ，并，并且且则有则有)()(1)(sRsHsC控制系统的数学模型(4)76（四）等效移动规则（四）等效移动规则1 1、引出点的移动、引出点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1 1）前移）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12 2）后移）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框控制系统的数学模型(4)772 2、综合点的移动、综合点的移动在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框1 1）前移）前移G(S)1/G(S)X1X2X3G(S)X1X2X3-2 2）后移）后移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3控制系统的数学模型(4)78相邻综合点之间可以随意调换位置相邻综合点之间可以随意调换位置 3 3）相邻综合点移动）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合注意：相邻引出点和综合点之间不能互换点之间不能互换! !控制系统的数学模型(4)79 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo11RsC111122sCR-)(sI)(1sI)(su)(sui)(suosC211RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR21例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。控制系统的数学模型(4)8011RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR211122sCR-)(sui)(suosCR211111sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsususGio2122112211212211) 1)(1(1) 1)(1(1) 1)(1(1)()()(控制系统的数学模型(4)81总结动态结构图的等效变换 结构图的概念和绘制方法； 结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）； 闭环系统的传递函数（给定作用和扰动作用共同下）； 特征表达式（特征方程）。控制系统的数学模型(4)82G1G2G3G4举例：综合点移动G2G4G1G3G11并联并联3串联串联2反馈反馈向向同类同类移动移动控制系统的数学模型(4)83引出点移动( (补充补充) ) G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果请你写出结果,行吗？行吗？举例控制系统的数学模型(4)84作用分解( (补充补充) )G1G2G3H3H1R(s)C(s)G4G2G3H3C(s)G1H1R(s)H3H11121HG1GG G4333HG1G 112121HG1HHGG 1并联并联3串联串联2反馈反馈控制系统的数学模型(4)85G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H (s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)R(s)H (s)G4(s)H (s)等效变换例等效变换例1 ( (补充补充) ) s (H) s (G) s (G1) s (G411 H (s)G2(s)G3(s)C(s)R(s)H HG GG GG G4111 H HG GG GG G4111 1并联并联2反馈反馈3串联串联控制系统的数学模型(4)86C(s)R(s)G1(s)G3(s)H (s)G2(s)等效变换例等效变换例2 ( (补充补充) )G1(s)G2(s)G3(s)H (s)R(s)C(s)H (s)G1(s)H (s)R(s)C(s)G2(s) s (H) s (G113 G2(s)1 1并联并联2 2反馈反馈3 3串联串联) s (H) s (G113 HG1H3 HG113 1G2GR(s)C(s)反馈再反馈控制系统的数学模型(4)87( (补充补充) )Ur(s)Uc(s)sc11R11sc21R21错啦！错啦！你把综合点与引出点互换位置了Uc(s)Ur(s)sc11R11sc21R21sc11Ur(s)Uc(s)sc11R11sc21R211R2sc 正正 确确 的的 等等 效效 变变 换换 ： 向向 同同 类类 移移 动！动！控制系统的数学模型(4)88R(s)abd等效变换例4 ( (补充补充) )1G)da(b 121GG)ba(aG 移移项项整整理理后后得得：2G)ba(d 212GG)da(aG 21121)1 (GGGGab2121GG1G)G1(ad abd控制系统的数学模型(4)89 美国麻省理工学院的梅森（美国麻省理工学院的梅森（Mason）于）于20世纪世纪50年代首先提出；应用于：年代首先提出；应用于： 反馈系统分析反馈系统分析 线性方程组求解线性方程组求解 线性系统模拟线性系统模拟 数字滤波器设计数字滤波器设计 四、信号流图及梅逊公式四、信号流图及梅逊公式控制系统的数学模型(4)90 x1x4x3x2abc1四、信号流图及梅逊公式四、信号流图及梅逊公式（一）信流流图的基本概念（一）信流流图的基本概念支路：支路： 表示变量间的传输关系。定向线段，标表示变量间的传输关系。定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。支路增益，相当于乘法器，表因果关系。节点：节点： 表示系统中的变量为流向该节点的信号的表示系统中的变量为流向该节点的信号的代数和。代数和。 信号流图是一种表示信号流图是一种表示线性化代数方程组变量线性化代数方程组变量间关系间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成的图示方法。信号流图由节点和支路组成控制系统的数学模型(4)91信号流图的基本术语信号流图的基本术语混 合 节 点1X2X3X4Xabcd5X输入节点输入节点（源点）（源点） 输出节点输出节点 （阱点、汇点）（阱点、汇点） 输入节点输入节点 （源点）（源点）控制系统的数学模型(4)92 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。从源节点点只通过一次的通路。从源节点 到阱节点到阱节点 ，共有，共有两条前向通路：一条是两条前向通路：一条是 ，其前向通路总增益其前向通路总增益 ；另一条是；另一条是 ，其前向通路总增益其前向通路总增益 。 回路回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。不多于一次的闭合通路。 ， 其回路增其回路增益益 ， 其回路增益其回路增益 ； 的自回路，其回路增益是的自回路，其回路增益是 。 不接触回路不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。一对不接触回路。一对 是和是和 ；另一；另一对是对是 和和 。 1x5x12345xxxxx1pabc125xxx2pd1Lae2Lbf55xxg232xxx55xx343xxx55xx232xxx343xxx控制系统的数学模型(4)93（二）信号流图的绘制（二）信号流图的绘制1 1、由结构图绘制信号流图、由结构图绘制信号流图结构图结构图信号流图信号流图变量变量传递传递综合点综合点变成变成混合节点混合节点1控制系统的数学模型(4)94例例 试绘制系统结构图对应的信号流图。试绘制系统结构图对应的信号流图。 解解 首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（各变量对于对应的节点，如图（a a）所示。）所示。其次，将各节点按原顺序自左向右排列，连接各节点其次，将各节点按原顺序自左向右排列，连接各节点的支路与结构图中的方框相对应，得系统信号流图，的支路与结构图中的方框相对应，得系统信号流图，如图（如图（b b）所示。）所示。 控制系统的数学模型(4)95 注意比较点与引出点的关系：在结构图比较注意比较点与引出点的关系：在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之后可以有点之前没有引出点（但在比较点之后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节点引出点）时，只需在比较点后设置一个节点便可，见图（便可，见图（a a）；但若在比较点之前有引出）；但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之间的支路增点，分别标志两个变量，它们之间的支路增益是益是1 1，见图（，见图（b b）。）。 控制系统的数学模型(4)962 2、由方程组绘制信号流图、由方程组绘制信号流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。绘制完毕后，即得系统的信号流图。434234121 dxxcxxexbxxfxaxxgxxxcccr控制系统的数学模型(4)97（三）信号流图的运算法则1加法规则2乘法规则控制系统的数学模型(4)9812iXaUfX213XbXgX324XcXhX430iXdXeUU由克莱姆规则，方程式组的系数行列式为由克莱姆规则，方程式组的系数行列式为 1 dhgcfbfbdh 因此，因此，4(1)iiabcdUeUgc bf 分析：分母分析：分母 表示信号流图中所有单独回路的回路增益之和项表示信号流图中所有单独回路的回路增益之和项 表示信号流图中每两个互不接触的回路增益之乘表示信号流图中每两个互不接触的回路增益之乘积的和项积的和项044/(1)1iiiUXabcdegcbfUUUdhgcfbfbdh1 ()1abcfbgcdhfbdhLL L aLbcL L控制系统的数学模型(4)99是第是第 条前向通路的总增益条前向通路的总增益为与第为与第 条前向通路不接触回路的回路增益条前向通路不接触回路的回路增益令令 ，则，则是与第是与第 条前向通路对应的余因子式，它等于系数条前向通路对应的余因子式，它等于系数行列式行列式 中，去掉与第中，去掉与第 条前向通路接触的所有条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余项式。回路的回路增益项后的余项式。 2412()iiiiabcdegcebfepp LU kkpkkiLi1iiL 241ipUkkkkkk分子：分子： 控制系统的数学模型(4)100本例中，本例中， 时时 时时于是，系统传递函数可写为于是，系统传递函数可写为 1k=11,1pabcd 2k22,1pegcbf 01122i