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资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504 班高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。一、四种圆锥曲线的统一定义动点 P 到定点 F 的距离到定直线 L 的距离之比等于常数 e，则当 0 e 1 时，动点 P 的轨迹是椭圆：当 e 1 时，动点 P 的轨迹是抛物线；当 e 1 时，动点 P 的轨迹是双曲线； 若 e 0 ，我们规定直线 L 在无穷远处且 P 与 F 的距离为定值（非零），则此时动点 P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率， F 为焦点， L 为准线。二、四种圆锥曲线的统一方程从第 1 点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2b的半通径为 p ，则 p。如图 1，将椭圆 x2y21(ab0)按向量（ a, 0）平移a2b2得到( x a)2y21 y22b2xb2x2a2b2aa2椭圆的半通径b2b22| F1M 1 | pa， a21 e椭圆的方程可写成 y22 px(e21)x2( 0e 1 )类似的，如图 2，将双曲线 x2y21(a0, b0) 按向量 ( a,0) 平移得到a2b2( x a) 2y21 y22b2b2x2a2b2xa2aword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除双曲线的半通径b2b22|F2M2|a ， a2e 1双曲线方程可写成 y22 px(e2 1)x2( e 1)对于抛物线 y22 px( x0) P 为半通径，离心率 e1 ，它也可写成y22 px(e21)x2(e1)对于圆心在（ P，0），半径为 P 的圆，其方程为 (xp)2y2p2 ，它也可写成 y22 px(e21)x2(e0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 22 px(e2 1)x2 ，其中 P 是曲线的半通径长，当 e0 ， 0e1， e1,e1 时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程y22 px(e21)x2 所表示的四种圆锥曲线，如图 3，设 P、B、 A、 C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为 y22 px (e2 1) x2的焦点 F则有 OC cac2a2a(e2 1)P (e 1)ace1e1OApp(e1)， OBaca 2c2a(1e2 )p(0e 1)2e1ace1e1OPpp1(e0)e即 方 程y2222 p x ( e1) x所 表 示 的 四 种 圆 锥 曲 线 的 一 个 焦 点 为F (p ,0) ，设焦点 F 相应的准线为 xm ，则有 OFe 。e1m准线 L 为 xmp，对于圆 e0 表示准线 L 在无限远处，设点e(e1)word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除M ( x0 , y0 )为曲线 y22 px (e21)x2 上在 y 轴右侧的动点，则点 M 对焦点 F 的焦半径 | mF | e( x0m) ex0p 。e1圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线中的数学思想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504 班高卓玮 指导老师：薛红梅在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。思想方法一：分类讨论思想例 1. 给定抛物线 y22x 设 A(a,0) (aR) ， P 是抛物线上的一点，且| PA | d ，试求 d 的最小值。解：设 P( x0 , y0 ) ( x 0) ，则 y022 x0 d | PA |( x0a) 2y0 2(x0 a) 22x0 x0 (1 a)2 2a 1又 a R ， x00（ 1）当 0a1 时， 1 a0 ，此时有 x00dm i n( 1 a2)2a 1 a（2）当 a1 时，此时有 x0a1dm i n2a 1评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。思想方法二：转化思想例 2已知过点 A（ 2， 4）且斜率为 1 的直线 L 交抛物线 y22 px( p 0)于 B、C 两点，若 |AB|、 |BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。解：直线 L 的方程为 y x2 设 B（ x1, y1 ）， C (x2 , y2 )yx 22(2p) x 4 0由2得 x2y2 px x1x22(2 p)x1x24 |AB|、|BC|、|CA|成等比数列word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除|BC| CA|AB |BC|过 A 作直线 l x 轴，设 B、C在 l 上的射影分别是 B ， C则 | BC | | B C | x2x1|CA| |C A|x22|AB| |AB |x12| BC | | B A | x2x1 x2x1x22即 ( x2x1 )2( x1 2)( x22)x22x2x1 (x1x2 )24x1 x2x1x22( x1x2 ) 4得 4(2p)21644(2p)4化简为 p23 p4 0解得 p1满足1或 p4（舍去）故所求的抛物线方程为y22x评注：如何将“ |AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。思想方法三：化归思想例 3 直线 L ： ykx1 与双曲线 C：2x2y21的右支交于不同的两点A 、B。（ 1）求实数 k 的取值范围。（ 2）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。解：（ 1）将直线 L 的方程 ykx 1代入双曲线 C 的方程 2x2y21，得(k22) x22kx 2 0 依题意直线 L 与双曲线 C 的右支交于不同两点k 220(2k) 28(k22) 02k22k0,20k22k22word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2）设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1, y1 )(x2 , y2 )则由可得x1 x22k， x1x2222 k 2k2假设存在实数 k ，使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点 F（c，0）则由 FAFB得 ( x1 c)( x2c)y1 y20整理得： (k 21) x1 x2(kc)( x1 x2 )c210把式及 c6 代入式化简得： 5k 226k6 02 k66 或 k66( 2,2) （舍去）55 k66 使得以 AB为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F。5评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。思想方法四：数形结合思想例 4 函数 yx43x26x13x4x21 的最大值是 _。分析： 原式 =( x3)2( x22)2x2( x21)2 ，其几何模型是定曲线y x2 上的动点 p(x, y) 到两定点 A（ 3，2），B（ 0，1）的距离之差，要求其最大值。y| AP | PB | | AB |(30)2(21)210 ymax10评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。思想方法五：函数与方程思想例 5 斜率为 2 的直线与等轴双曲线x2y212 相交于两点 P1, P2 ，求线段P P 中点的轨迹方程。12word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：设直线方程为 y 2xm 代入双曲线方程得 3x24mx m2 12 0直线与双曲线相交于P1, P2(4m)24 3(m212)0 m6 或 m6设 12 的坐标为1 122，线段1 2中点为( x, y)P , P( x , y ) (x, y )P P则 xx1 x22 m 且 x4 或 x 4 m3 x代入直线方程得：232所求轨迹方程为 y1 x（ x 4 或 x4 ）2思想方法六：构造思想例 6 已知 x, y 满足 x2y21，求 y 3x 的取值范围。1625解：令 y 3x =b，则 y 3xb原问题转化为： 在椭圆 x2y21 相切时，有最大截距与最小截距1625y3x b169 x216 x2由 x2y 21消去 y 得96bx40001625由0得 b 13 y3x的取值范围为 13， 13评注：应用构造思想解题的关键有要有明确方向，即为何构造要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。思想方法七：对称思想x y 9 0上任取一点 M 过 M 且以椭圆x2y2例7 在直线 L：121的焦点3word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除为焦点作椭圆。问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。解： x2y21的两焦点 F1 ( 3,0), F2 (3,0) ， F1 是 F1 关于 L 的对称点123又 F1 F1 的直线方程为 xy 3 0 与 x y 90 联立，求得 F1 ( 9,6) ，这时F1 F2 的方程为 x 2 y 3 0x2 y30 得M ( 5,4)这时 2a | F1 F2 | 6 5xy90椭圆方程为x2y2145 36评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。思想方法八：参数思想例 8 在椭圆 x24 y24x 上，求使 zx2y2 取得最大值和最小值的点P的坐标。解：将已知方程转化为 (x 2) 2y2141设椭圆上动点 P 为 (22cos,sin)word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 z x2y2 = (22cos ) 2sin 25cos 28cos35(cos4) 214 ，即点 P坐标为 (2,3) 或(23) 时， zmin155当 cos,555555当 cos1 ，即点 P 坐标为（ 4，0）时， zmax16评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理， 在平时练习或考试中加以应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上。word 可编辑
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