matlab在常微分方程数值解中的应用

MATLAB在常微分方程数值解中的应用【摘要】许多现实问题都可以通过微分方程的形式进行表示，传统解微分方程的方法冇近似分析解法、表解法和图解法，这些方法需对其进行人最的假设，而使得数学模型有一定 的失真，有一定的局限性。数值解法利用计算机，使得求解更梢确、效率更高，而MATLAB 是-种数学软件包，仃高级编程格式，使得汁算结果更具右町信性，因此微分方程的求解及 MATLAB在其中的应用貝有实际直:义。本文对常微分方程数值解问题作进一步探讨，并应用 MATLAB对其中难解的改进Euler法和Runge-Kutta法进行编程实现，程序简洁、直观，求解 速度快、方法实用性较强。【关键词】常微分方程数值解MATLAB Euler法龙格-库塔方法ode45 odel5sMatlab in ordinaiy differential equation numerical solution of applicationYang HuaZhang LeiAbstruet】Many practical problems can be using differential equations in the form of representation, the traditional method of solving differential equations are similar analysis method, table method and graphical method, these methods to cairy on the large amounts of hypothesis so that rhe matliematical model has certain distortion, have ceitain limitation Nuinencal solution of using a computer, make solving more accurate and more efficient, and MATLAB is a kind of mathematics software package, with advanced prograrruning format, making calculation result is more credibility, therefore differential equation and solution of tlie hlATLAB in one of tlie application of practical significance This paper numerical solution of differential equation problem fUrther discussion, and the application of MATLAB in which the difficult solution improvement Euler method and Runge - Kutta method on tlie programming, the program is concise, mtuitive and solution speed, method of practical stronger(Key words ordinaiy differential equation numerical solution Matlab Euler method, Runge-Kutta method【引 言】微分方程的概念：未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一己知方 程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知两数是一元函数，称为常微分方程。常微分方 程的-般形式为F(t,y,yy”y)=0微分方程是数学科学联系实际问题的主要桥梁它是含令未知数及其导数的方程。常微 分方程的求解是现代科学研究和工程技术中经常遇到的问题，然而，从实际问题中建立起來 的微分方程往往貝有非常复杂的形式，有写解析式难以计算，有的则根本不能用解析式來表 达。在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者 得到一个满足粘确度要求的便丁计算的表达式，所以利用数值解法求解实际问题显得非常重 要。一阶常微分方程的初值，其一般形式为佟=f (x, y)孑 一 一、八、仲)(a x b)(1)l y(Q = yo在本文的讨论中，总假设函数f(x, y)连续，且关于y满足莱布尼兹条件，即存在常 数L,使得| f(x, y) - f (x y) | L|y y|由微分方程理论nJ知，初值问题式(1)的解必定存在唯一。若给出节点xn=a+nh (n=0,l,2 ), 其中h为步长，设y (xj代表方程(1)的精确解在X.的值，*代表某种算法(忽略计算 的舍入误差)得到的y(心)近似值，所谓数值解法，就是寻求y (x)在系列离散点a=XQ ode 113. ode23s、ode23t ode23tb.其中最常用的 是函数ode45,该函数采用变步长四阶五阶Runge -Kutta法求数值解，并采用口适应变步长的 求解方法。ode23采用二阶三阶Runge - Kutta法求数值解，与od“5类似，只是精度低-些。 odel5s用来求刚性方程组。ode45函数的调用格式为：tout, yout = ode45 (yprime*, tO, tf , yO)其中yprime是表示f ( t, y)的M文件名，tO表示自变量的初始值，tf表示门变量的终值，yO表 示初始向最值.输出向最tout表示节点了 ro ; ti;,输出矩阵yout表示数值。dxdtdy-dtdz_dt例1 Rosslei方程的数值解法75.xzRosslei*方程求解过程如下：(。建立自定义函数用edit命令建立自定义函数名为rossler m,内容为： function dx = rossler ( t, x)dx=-x(2)-x(3) ;x(l)+0.2*x(2) ; 0 .2+(x (1)-5.7) *x(3);(2)调用对微分方程数值解ode45函数求解用edit命令建立一个命令文件rossler 1. m,内容为：x0= 0; 0; 0;t,y=ode45(uossler, , 0r100,xO); plot(t,y);f igure;plot3 (y (:, 1) ,y (: ,2) ,y (: ,3)得2015101020 X 4050 GO 7080100如果微分方程由一个或多个高阶常微分方程给出，要得到该方程的数值解，町以将方程 转换成一阶常微分方程组。假设高阶常微分方程的一般形式为y(n)=f(t,y,y,y(nl), 而fl函数y”丿的各阶导数初值为y(0), y0丿,)1)(0)可以选择一组变量令；xl = y,x2 = y .,xn = y(n1),我们就可以把原岛阶常微分方程转换成卜面的阶今-分方程组形式:X； = X?X； = x3 X = f(t,比，X2，.,Xj而且初值xl(0)=y(0),x2(0)=yY0A , xn(0 y(n_1)(0).转换以后就可以求原高阶常微分方程的数值解了。例2 求微分方程 y 4-tyyr+t2/y2 =, y(0) = 2 , y(0) = y”(0)的数值解。对方程进行变换，选择变量E = y, x2 = y； x3 = ywX3x； = _厂卷疽-t?qx3 + et3%(1) 建立自定义函数用edit命令建立自定义函数名为f.m.内容为：function y =f (tr x)y=x(2) ;x(3) ;-tA2*x(2) *x(l) A2-t*x(l) *x (3)+exp (-t*x (1);(2) 调用对微分方程数值解ode45函数求解用edit命令建立一个命令文件f2. m.内容为：x0= 2;0;0;try =ode45 V V f 0z10FxO);plot(tfy);f igure;piot3 (yea) /y(：r2), y(：,3) 得求刚性微分方程y+tyyr+tyy3 =y(0) = 2,y(0) = /(O) = 0的数值解。调用对微分方程数值解odd5&函数求解x0= 2; 0; 0;try =odel5s V t 0z 10 rxO) ;plot(tfy (: r 1) f igure;plot (t,y (: ,2)得x2(t)Xl (t)用刚性方程求解函数町以快速求出该方程的数值解，并11画出两个状态变量的时间曲 线。xl ( t)曲线变化比较平滑，才2 ( t)曲线变化在某些点上较快.参考文献：【1】王高雄，等.常微分方程（第3版）M.北京:高等教冇出版社，2006.2 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解M.北京：清华大学出版社, 2004.3 李俐玲.关于数学问题的MATLAB实现方法J.四川师范人学学报（自然科学版）， 2003.4 陈怀琛，mat lab及其在理工课程中的应用指南（第三版）.曲安电子科技大学出 版社.5 张得丰，mat lab数值分析与应用（第二版）.国防工业出版社.6 杜挺松、沈艳军、覃太贵.数值分析及实验.科学出版社.