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第7课时 空间向量的应用1异面直线所成的角异面直线所成的角(1)过空间任一点过空间任一点O分别作异面分别作异面直线直线a与与b的平行线的平行线a与与b，那么直线，那么直线a与与b所成的所成的 的角，叫做的角，叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角基础知识梳理基础知识梳理不大于不大于90 (2)异面直线所成角的向量公式异面直线所成角的向量公式 两异面直线两异面直线a、b的方向向量分别为的方向向量分别为m和和n.当当m与与n的夹角不大于的夹角不大于90时，异面时，异面直线直线a、b所成的角所成的角与与m和和n的夹角的夹角 ；当当m与与n的夹角大于的夹角大于90时，直线时，直线a、b所所成的角成的角与与m和和n的夹角的夹角 所以直线所以直线a、b所成的角所成的角的余弦值为的余弦值为 .基础知识梳理基础知识梳理相等相等互补互补 2直线和平面所成的角直线和平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的平面的斜线与它在平面上的 所成所成的角叫做这条斜线与平面所成的角的角叫做这条斜线与平面所成的角 (2)直线与平面所成角的向量公式直线与平面所成角的向量公式 直线直线a的方向向量和平面的方向向量和平面的法向量分别为的法向量分别为m和和n，若，若m与与n的夹角不大于的夹角不大于90时，直线时，直线a与与平面平面所成的角等于所成的角等于 ；若；若m与与n的夹角大于的夹角大于90时，直线时，直线a与平面与平面所成的所成的角等于角等于 ，所以直线，所以直线a的方向向量和平面的方向向量和平面所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 .基础知识梳理基础知识梳理射影射影m与与n的夹角的余角的夹角的余角m与与n的夹角的补角的余角的夹角的补角的余角3平面和平面所成的角平面和平面所成的角(1)过二面角过二面角l棱上任一点棱上任一点O作垂作垂直于直于棱棱l的平面角，与面的平面角，与面、的交线分别为的交线分别为OA、OB，那么，那么 叫做二面角叫做二面角l的平面角的平面角(2)平面与平面所成角的向量公式平面与平面所成角的向量公式平面平面与平面与平面的法向量分别为的法向量分别为m和和n，则二面角与则二面角与m、n的夹角的夹角 基础知识梳理基础知识梳理AOB相等或互补相等或互补1若平面若平面，的法向量分别为的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则，则()ABC，相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正确以上均不正确答案答案：C三基能力强化三基能力强化2若直线若直线l的方向向量与平面的方向向量与平面的的法向量的夹角等于法向量的夹角等于120，则直线，则直线l与与平面平面所成的角等于所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错以上均错答案答案：C三基能力强化三基能力强化3(教材习题改编教材习题改编)在如图所示在如图所示的正方体的正方体A1B1C1D1ABCD中，中，E是是C1D1的中点，则异面直线的中点，则异面直线DE与与AC所成角的余弦值为所成角的余弦值为()三基能力强化三基能力强化答案答案：D三基能力强化三基能力强化4已知直线已知直线l的方向向量为的方向向量为v，平，平面面的法向量是的法向量是，且，且v0，则，则l与与的位置关系是的位置关系是_答案答案：l或或l5.已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1中中平面平面AB1D1与平面与平面A1BD所成的角为所成的角为(090)，则，则cos_.三基能力强化三基能力强化设设a，b分别是两异面直线分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则的方向向量，则课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求异面直线所成的角求异面直线所成的角l1与与l2所成的角所成的角a与与b的夹角的夹角a，b范围范围00a，b求法求法cos|cosa，b|cosa，b课堂互动讲练课堂互动讲练(2009年高考广东卷年高考广东卷)如图，已知正方如图，已知正方体体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点E是是正方形正方形BCC1B1的中心，点的中心，点F、G分别是棱分别是棱C1D1、AA1的中点，设点的中点，设点E1、G1分别是点分别是点E、G在平面在平面DCC1D1内的正投影内的正投影(1)证明：直线证明：直线FG1平面平面FEE1；(2)求异面直线求异面直线E1G1与与EA所成角的正所成角的正弦值弦值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练由题设知点由题设知点E、F、G1、E1的坐标分的坐标分别为别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不变，求异面直线题目条件不变，求异面直线AE与与CG所成角的余弦值所成角的余弦值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2008年高考海南、宁夏年高考海南、宁夏卷卷)如图，已知点如图，已知点P在正方体在正方体ABCDABCD的对角线的对角线BD上，上，PDA60.(1)求求DP与与CC所成角的所成角的大小；大小；(2)求求DP与平面与平面AADD所所成角的大小成角的大小课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】如图所示，以如图所示，以D为原点，棱为原点，棱DA，DC，DD所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴轴建立空间直角坐标系设棱长为建立空间直角坐标系设棱长为1，则则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，C(0,1,1)，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】在求直线和平面在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成角，其错误原因一是概念不清，面所成角，其错误原因一是概念不清，二是做题不认真二是做题不认真1利用向量求二面角的大小，利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角即为所求二面角的平面角课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三求二面角求二面角课堂互动讲练课堂互动讲练2对易于建立空间直角坐标系对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角以利用这两个平面的法向量的夹角来求来求如图所示，二面角如图所示，二面角l，平面，平面的法向的法向量为量为n1，平面，平面的法向量为的法向量为n2，n1，n2，则二面角，则二面角l的大小为的大小为或或.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知四棱锥已知四棱锥PABCD，底面底面ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面ABCD，ABC60，E，F分别是分别是BC，PC的中点的中点(1)证明证明AEPD；课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】据题意，题目中据题意，题目中过过A点的线中垂直关系比较明显，可点的线中垂直关系比较明显，可以以以以A为坐标原点建立空间坐标系，为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法求解利用向量法求解【解解】(1)证明：由四边形证明：由四边形ABCD为菱形，为菱形，ABC60，可得，可得ABC为正三角形，为正三角形，点点E为为BC的中点，所以的中点，所以AEBC.又又BCAD，因此，因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以，所以PAAE.而而PA平面平面PAD，AD平面平面PAD且且PAADA，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD.课堂互动讲练课堂互动讲练(2)设设AB2，H为为PD上任意一点上任意一点由由(1)知知AE平面平面PAD，则则EHA为为EH与平面与平面PAD所成的角所成的角课堂互动讲练课堂互动讲练所以所以ADH45.所以所以PA2.由由(1)知知AE，AD，AP两两垂直，两两垂直，以以A为坐标原点，建立如图所示的空为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又间直角坐标系，又E、F分别为分别为BC、PC的中点，的中点，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练取取z11，则，则m(0,2，1)因为因为BDAC，BDPA，PAACA，所以所以BD平面平面AFC.课堂互动讲练课堂互动讲练【规律总结规律总结】利用向量法求二利用向量法求二面角的步骤：面角的步骤：(1)利用图形性质建立坐标系；利用图形性质建立坐标系；(2)求两半平面的法向量；求两半平面的法向量；(3)求法向量的求法向量的夹角；夹角；(4)结合图形转化二面角结合图形转化二面角课堂互动讲练课堂互动讲练在有些立体几何的解答题中，建立空在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线，平面问题向量的坐标和数量积解决直线，平面问题的位置关系、角度、长度等问题越来越受的位置关系、角度、长度等问题越来越受青睐，尤其是探索性问题，比用传统立体青睐，尤其是探索性问题，比用传统立体几何方法简便快捷几何方法简便快捷课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四利用空间向量解决空间中的探索性问题利用空间向量解决空间中的探索性问题课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求证：求证：ACSD；(2)若若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大小；的大小；(3)在在(2)的条件下，侧棱的条件下，侧棱SC上是上是否存在一点否存在一点E，使得，使得BE平面平面PAC.若若存在，求存在，求SE EC的值；若不存在，的值；若不存在，试说明理由试说明理由课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】建立空间坐标系，建立空间坐标系，以以AC、BD为坐标轴为坐标轴课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】利用空间向量解利用空间向量解决探索性问题，具有一定的优越性，决探索性问题，具有一定的优越性，其思路上，利用坐标系，表示出一些其思路上，利用坐标系，表示出一些点的坐标，计算出满足条件的关系，点的坐标，计算出满足条件的关系，从而探索出所要研究的问题从而探索出所要研究的问题课堂互动讲练课堂互动讲练4(本题满分本题满分12分分)如图，三棱柱如图，三棱柱ABCA1B1C1中，中，AA1平面平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D为为AC的中点的中点课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求证：求证：AB1平面平面BDC1；(2)求二面角求二面角C1BDC的余弦值；的余弦值；(3)在侧棱在侧棱AA1上是否存在点上是否存在点P，使得，使得CP平面平面BDC1？并证明你的结论？并证明你的结论解解：(1)证明：连结证明：连结B1C，与，与BC1相交于相交于O，连结，连结OD，如图，如图，四边形四边形BCC1B1是矩形，是矩形，O是是B1C的中点又的中点又D是是AC的中点，的中点，ODAB1.AB1 平面平面BDC1，OD平面平面BDC1，AB1平面平面BDC1. 4分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(3)假设侧棱假设侧棱AA1上存在一点上存在一点P(2，y,0)(0y3)，使得，使得CP平面平面BDC1.方程组无解，方程组无解，假设不成立假设不成立侧棱侧棱AA1上不存在点上不存在点P，使得，使得CP平面平面BDC1 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步三步曲曲”(1)两种思维方法两种思维方法用空间向量解决立体几何问题，有两用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：一种是利用空间向量表示几种基本思维：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；另一种是用空间向量的坐法不需要建系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系判断，此种方法需要建系规律方法总结规律方法总结(2)“三步曲三步曲”建立立体图形与空间向量的联系，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；平面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、直线、平通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题夹角等问题把向量运算的结果把向量运算的结果“翻译翻译”成相应的成相应的几何意义，即回归到图形问题几何意义，即回归到图形问题规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
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