高三数学高考一轮课件 优化方案人教A版(理科)第十章 空间中的垂直关系10章5课时

第5课时 空间中的垂直关系1直线与平面垂直直线与平面垂直(1)定义：如果直线定义：如果直线l与平面与平面内的内的 直线都垂直，则直线直线都垂直，则直线l与此平与此平面面垂直垂直(2)判定定理：一条直线与一个平判定定理：一条直线与一个平面内的两条面内的两条 直线都垂直，则该直直线都垂直，则该直线与此平面垂直线与此平面垂直(3)性质定理：垂直于同一个平面性质定理：垂直于同一个平面的两条直线的两条直线 基础知识梳理基础知识梳理任意一条任意一条相交相交平行平行2二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发二面角：从一条直线出发的的 所组成的图形叫做所组成的图形叫做二面角二面角(2)二面角的平面角：以二面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作平面内分别作 的两条射的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角角的平面角基础知识梳理基础知识梳理两个半平面两个半平面垂直于掕垂直于掕3平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二定义：如果两个平面所成的二面角是面角是 ，就说这两个平面，就说这两个平面互相垂直互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个判定定理：一个平面过另一个平面的平面的 ，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则性质定理：两个平面垂直，则一个平面内一个平面内 的直线与另一的直线与另一个平面垂直个平面垂直基础知识梳理基础知识梳理直二面角直二面角垂直于交线垂直于交线垂线垂线基础知识梳理基础知识梳理垂直于同一平面的两平面是垂直于同一平面的两平面是否平行？否平行？【思考思考提示提示】可能平行，可能平行，也可能相交也可能相交4直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角平面所成的角当直线与平面垂直和平行当直线与平面垂直和平行(含直线含直线在平面内在平面内)时，规定直线和平面所成的时，规定直线和平面所成的角分别为角分别为 .基础知识梳理基础知识梳理90和和01(2009年高考山东卷改编年高考山东卷改编)已知已知，表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m为平面为平面内的一条直线，则内的一条直线，则“m ”是是“ ”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A三基能力强化三基能力强化2直线直线a与与b垂直，垂直，b平面平面，则则a与与的位置关系是的位置关系是()Aa BaCa Da或或a答案：答案：D三基能力强化三基能力强化3.如图，如果如图，如果MC菱形菱形ABCD所在所在平面，那么平面，那么MA与与BD的位置关系是的位置关系是()三基能力强化三基能力强化A平行平行B垂直但不相交垂直但不相交C异面异面D相交但不垂直相交但不垂直答案：答案：B三基能力强化三基能力强化4(教材习题改编教材习题改编)ABC中，中，ABC=90，PA平面平面ABC，则图中直角三角形的，则图中直角三角形的个数是个数是.答案：答案：4三基能力强化三基能力强化5已知平面已知平面、和直线和直线m，给出，给出条件：条件：m；m；m；.(1)当满足条件当满足条件_时，有时，有m；(2)当满足条件当满足条件_时，有时，有m.(填所选条件的序号填所选条件的序号)答案：答案：三基能力强化三基能力强化证明直线和平面垂直的常用方法有证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一直线和平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质(3)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直线线垂直课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练如图所示，如图所示，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AP面面ABC，AEBP于于E，AFCP于于F.求证：求证：BP平面平面AEF.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】证明证明BP平面平面AEF，只需证明，只需证明AFPB.课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上的一点，上的一点，BCAC.又又PA面面ABC，BC面面ABC，PABC.又又PAAC=A，BC平面平面PAC，课堂互动讲练课堂互动讲练AF平面平面PAC，BCAF.又已知又已知AFPC，BCPC=C，AF平面平面BCP，又，又PB平面平面BCP，AFPB，又，又BPAE，AEAF=A，BP平面平面AEF.课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】线面垂直的定义，线面垂直的定义，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线线就垂直于面内所有直线课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不变，图中有几个直角题目条件不变，图中有几个直角三角形？它们是什么？三角形？它们是什么？解：解：共共9个个RtPAC，RtPAB，RtPBC，RtABC，RtPFA，RtCFA，RtPEF，RtPEA，RtAEB.课堂互动讲练课堂互动讲练证明面面垂直的主要方法是：证明面面垂直的主要方法是：(1)利用判定定理在审题时要注意利用判定定理在审题时要注意直观判断哪条直线直观判断哪条直线课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定可能是垂线，充分利用等腰三角可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论等结论(2)用定义证明只需判定两用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角平面所成二面角为直二面角(3)客观客观题中，也可应用：两个平行平面中的题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面垂直于第三个平面课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(2010年陕西西安调研年陕西西安调研)如图，三如图，三棱锥棱锥A-BCD中，中，AD，BC，CD两两互两两互相垂直，相垂直，M，N分别为分别为AB，AC的中的中点点(1)求证：求证：BC平面平面MND；(2)求证：平面求证：平面MND平面平面ACD.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】由由MNBC，知，知BC平面平面MND，由，由BCCD，BCAD，知，知BC面面ACD.课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】(1)M、N分别为分别为AB、AC的中点，的中点，MNBC.又又MN平面平面MND，BC 平面平面MND.BC平面平面MND.课堂互动讲练课堂互动讲练(2)BCCD，BCAD，BC平面平面ACD.又又MNBC，MN平面平面ACD.MN平面平面MND，平面平面MND平面平面ACD.课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】本题体现了线面本题体现了线面转化，同学们可以思考一下，若转化，同学们可以思考一下，若DNAC，DMAC，我们可以推出，我们可以推出几对面面垂直？几对面面垂直？课堂互动讲练课堂互动讲练将平面图形折叠成立体图形时，将平面图形折叠成立体图形时，应注意折叠前、后哪些量发生了改应注意折叠前、后哪些量发生了改变，哪些没有发生变化特别应注变，哪些没有发生变化特别应注意寻找折叠前、后的那些没有发生意寻找折叠前、后的那些没有发生变化的关系和没有变化的量把平变化的关系和没有变化的量把平面图形的垂直关系运用到空间图形面图形的垂直关系运用到空间图形中去，又将空间中的有关问题放到中去，又将空间中的有关问题放到平面中去计算，常可以使问题得以平面中去计算，常可以使问题得以顺利解决顺利解决课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三 折叠问题折叠问题课堂互动讲练课堂互动讲练如图如图，四边形，四边形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将，将ABD沿对角线沿对角线BD折起，记折起后点折起，记折起后点A的位置为的位置为P，且使，且使平面平面PBD平面平面BCD，如图，如图.课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求证：平面求证：平面PBC平面平面PDC；(2)在折叠前的四边形在折叠前的四边形ABCD中，中，作作AEBD于于E，过，过E作作EFBC于于F，求折起后的图形中求折起后的图形中PFE的正切值的正切值课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】根据翻折前后元根据翻折前后元素的关系变化，结合面面垂直的判定素的关系变化，结合面面垂直的判定定理求解定理求解课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)证明：折叠前，在四证明：折叠前，在四边形边形ABCD中，中，ADBC，AD=AB，BAD=90，所以所以ABD为等腰直角三角形为等腰直角三角形又因为又因为BCD=45 ，所以，所以BDC=90.折叠后，因为面折叠后，因为面PBD面面BCD，课堂互动讲练课堂互动讲练CDBD，所以，所以CD面面PBD.又因为又因为PB面面PBD，所以，所以CDPB.又因为又因为PBPD，PDCD=D，所，所以以PB面面PDC.又又PB面面PBC，故平面，故平面PBC平平面面PDC.课堂互动讲练课堂互动讲练(2)AEBD，EFBC，折叠后，折叠后的位置关系不变，的位置关系不变，所以所以PEBD.又面又面PBD面面BCD，所以，所以PE面面BCD.所以所以PEEF.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】翻折与展开是一翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些变化，哪些不大小与位置关系，哪些变化，哪些不变化，这是至关重要的一般来说，变化，这是至关重要的一般来说，在翻折过程中，处在同一个半平面内在翻折过程中，处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清楚这一点是解的元素是不变的，弄清楚这一点是解决这类问题的关键决这类问题的关键课堂互动讲练课堂互动讲练对于这类问题应先把题目中已确定对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的位置、大小关系作出全面认识和正确的推理，再对变化不定的线面关系进行的推理，再对变化不定的线面关系进行观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断，另外还要灵活运用观察、助面进行判断，另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法，才能使化、特殊化等科学的思维方法，才能使开放性问题快速有效地解决开放性问题快速有效地解决课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四与垂直有关的探究性问题与垂直有关的探究性问题课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求证：不论求证：不论为何值，总有平面为何值，总有平面BEF平面平面ABC；(2)当当为何值时，平面为何值时，平面BEF平面平面ACD.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】对于对于(1)证出证出EFCD，从而可证，从而可证EF面面ABC；对；对于于(2)主要在侧面主要在侧面ABC中求中求AE的长的长度度课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)证明：证明：AB平面平面BCD，ABCD，CDBC且且ABBCB，CD平面平面ABC. 2分分不论不论为何值，恒有为何值，恒有EFCD， 4分分EF平面平面ABC，EF平面平面BEF，不论不论为何值，总有平面为何值，总有平面BEF平面平面ABC. 6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由由(1)知，知，BEEF，又平面，又平面BEF平面平面ACD，BE平面平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示误区警示】对于对于(2)易错的地易错的地方是猜想方是猜想E点位置为中点，再证平面点位置为中点，再证平面BEF平面平面ACD.课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=2BC，P、Q分别为线分别为线段段AB、CD的中点，的中点，EP平面平面ABCD.课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求证：求证：DP面面EPC；(2)问在问在EP上是否存在点上是否存在点F使平面使平面课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：(1)证明：证明：EP面面ABCD，EPDP，又又ABCD为矩形，为矩形，AB=2BC，P、Q分别为分别为AB、CD的中的中点，点，PQDC且且PQ= DC，DPPC， 4分分又又EPPCP，DP面面EPC. 6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)如图，假设存在点如图，假设存在点F使平面使平面AFD平面平面BFC，ADBC，AD平面平面BFC，AD平行于平面平行于平面AFD与平面与平面BFC的交线的交线l. 8分分EP平面平面ABCD，EFAD，而，而ADAB，AD平面平面EAB，l平面平面EAB，课堂互动讲练课堂互动讲练AFB是平面是平面AFD与平面与平面BFC所成二面角的平面角，所成二面角的平面角， 10分分P是是AB中点，且中点，且FPAB，当当AFB90时，时，FPAP，课堂互动讲练课堂互动讲练1空间的垂直关系有直线与直线空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直它们之间存在相互转化关系：直它们之间存在相互转化关系：规律方法总结规律方法总结2当有面面垂直时，一般是在当有面面垂直时，一般是在一个面内找一个面内找(作作)交线的垂线，则直线交线的垂线，则直线垂直于面；在证面面垂直时，一般可垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线；在先从现有的直线寻找平面的垂线；在证面面垂直时，一般可先从现有的直证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决助线解决规律方法总结规律方法总结3注意掌握以下几个相似结论注意掌握以下几个相似结论(1)垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行(2)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行(3)垂直于同一个平面的两个平面平行或垂直于同一个平面的两个平面平行或相交相交(4)垂直于同一条直线的两条直线平行、垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面相交或者异面规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练