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第2课时 古典概型、几何概型1基本事件的特点基本事件的特点(1)任何两个基本事件是任何两个基本事件是 的的(2)任何事件任何事件(除不可能事件除不可能事件)都可以表示都可以表示成成 的和的和基础知识梳理基础知识梳理互斥互斥基本事件基本事件2古典概型古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件试验中所有可能出现的基本事件 (2)每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性 基础知识梳理基础知识梳理只有有限个只有有限个相等相等基础知识梳理基础知识梳理如何确定一个试验是否为如何确定一个试验是否为古典概型？古典概型？【思考思考提示提示】在于这个在于这个试验是否具有古典概型的两个特试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性征：有限性和等可能性3古典概型的概率公式古典概型的概率公式P(A)= .基础知识梳理基础知识梳理 4几何概型几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的率只与构成该事件区域的 ，则称这样的概率模型为，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型几何概率模型，简称几何概型 (2)在几何概型中事件在几何概型中事件A的概率计的概率计算公式：算公式：基础知识梳理基础知识梳理长度长度(面积或面积或体积体积)成比例成比例P(A)= .1从甲、乙、丙三人中任选两从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为名代表，甲被选中的概率为()答案：答案：C三基能力强化三基能力强化2如图，向圆内投镖，如果每如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为的概率为()三基能力强化三基能力强化答案答案：A3(教材习题改编教材习题改编)在两个袋内，在两个袋内，分别装着写有分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的六个数字的6张卡片，现从每个袋中各任取一张卡张卡片，现从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于片，则两数之和等于5的概率为的概率为()答案：答案：B三基能力强化三基能力强化4(2009年高考辽宁卷改编年高考辽宁卷改编)ABCD为长方形，为长方形，AB2，BC1，O为为AB的的中点，在长方形中点，在长方形ABCD内随机取一点，内随机取一点，取到的点到取到的点到O的距离小于的距离小于1的概率为的概率为_三基能力强化三基能力强化5在集合在集合x|x，n1,2,3，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方中任取一个元素，所取元素恰好满足方程程cosx的概率是的概率是_三基能力强化三基能力强化计算古典概型事件的概率可分计算古典概型事件的概率可分三步：三步：算出基本事件的总个数算出基本事件的总个数n；求出事件求出事件A所包含的基本事件个所包含的基本事件个数数m；代入公式求出概率代入公式求出概率P.课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一简单的古典概型问题简单的古典概型问题课堂互动讲练课堂互动讲练从含有两件正品从含有两件正品a1、a2和一件次和一件次品品b1的的3件产品中每次任取件产品中每次任取1件，每次件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率的两件产品中恰有一件次品的概率【思路点拨思路点拨】先用坐标法求出基本事先用坐标法求出基本事课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】每次取一件，取后不放每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果回地连续取两次，其一切可能的结果为为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号，其中小括号内左边的字母表示第内左边的字母表示第1次取出的产品，次取出的产品，右边的字母表示第右边的字母表示第2次取出的产品，次取出的产品，由由6个基本事件组成，而且可以认为个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的用这些基本事件的出现是等可能的用A表示表示“取出的两件中，恰好有取出的两件中，恰好有课堂互动讲练课堂互动讲练一件次品一件次品”这一事件，则这一事件，则课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】产品的抽样检验产品的抽样检验问题与取球问题都属于同一类型问题，问题与取球问题都属于同一类型问题，解决此类问题要分清题意，分清是解决此类问题要分清题意，分清是“有放回有放回”还是还是“无放回无放回”，是，是“有序有序”还还是是“无序无序”，基本事件是什么，所求的，基本事件是什么，所求的事件包含几种情况，各包含多少个基事件包含几种情况，各包含多少个基本事件若本事件若“有序有序”“无序无序”都能解决时，都能解决时，用用“无序无序”比较简单比较简单课堂互动讲练课堂互动讲练在本例中，把在本例中，把“每次取出后不每次取出后不放回放回”这一条件换成这一条件换成“每次取出后放每次取出后放回回”，其余不变，求取出的两件中恰，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率好有一件次品的概率课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：总的结果为总的结果为(a1，a1)(a1，a2)，(a1，b1)(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)(b1，a2)，(b1，b1)，而事件，而事件A不变，不变，课堂互动讲练课堂互动讲练求复杂事件的概率问题，关键是求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必要时将所求理解题目的实际含义，必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和，或者事件转化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而再用是先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率的概率公式求出所求事件的概率课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二复杂事件的古典概型问题复杂事件的古典概型问题课堂互动讲练课堂互动讲练袋中装有大小相同的袋中装有大小相同的10个小球，个小球，其中其中6个红色，个红色，4个白色，从中依次不个白色，从中依次不放回地任取出放回地任取出3个，求：个，求：(1)取出取出3球恰好球恰好2红红1白的概率；白的概率；(2)取出取出3球依次为红、白、红的球依次为红、白、红的概率；概率；(3)第三次取到红球的概率第三次取到红球的概率课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】(1)为了保证每个为了保证每个基本事件是等可能出现的，应把各小基本事件是等可能出现的，应把各小球理解成不同的小球，但因大小相同，球理解成不同的小球，但因大小相同，每个每次被取到的概率相同每个每次被取到的概率相同课堂互动讲练课堂互动讲练若袋中球的个数不变，采取放回抽样若袋中球的个数不变，采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率不同的概率课堂互动讲练课堂互动讲练1如果试验的结果构成的区域的几何如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为度量可用长度表示，则其概率的计算公式为课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型2将每个基本事件理解为从某将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解型来求解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练公交车站点每隔公交车站点每隔15分钟有一辆汽分钟有一辆汽车通过，乘客到达站点的任一时刻是车通过，乘客到达站点的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过等可能的，求乘客候车不超过3分钟分钟的概率的概率【思路点拨思路点拨】在任一时刻到达在任一时刻到达站点都是一个基本事件，基本事件有站点都是一个基本事件，基本事件有无限个又在任一时刻到达站点是等无限个又在任一时刻到达站点是等可能的，故是几何概型可能的，故是几何概型课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】这里的区域长度理解为这里的区域长度理解为“时间时间长度长度”，总长度为，总长度为15分钟，设事件分钟，设事件A候车候车时间不超过时间不超过3分钟分钟，则，则A的长度为的长度为3分分课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】解题时，首先要解题时，首先要判断是古典概型还是几何概型判断是古典概型还是几何概型“几几何概型何概型”的难点在于怎样把随机事件的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件的总体和随机事件A都转化为与之对都转化为与之对应的区域的测度应的区域的测度课堂互动讲练课堂互动讲练1如果试验的结果所构成的区域的几何如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四与面积与面积( (或体积或体积) )有关的几何概型有关的几何概型2如果试验的结果所构成的区域的几何如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练已知已知|x|2，|y|2，点，点P的坐标为的坐标为(x，y)(1)求当求当x，yR时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率；的概率；(2)求当求当x，yZ时，时，P满足满足(x2)2(y2)24的概率的概率【思路点拨思路点拨】本题第本题第(1)问为几问为几何概型，可采用数形结合的思想画出何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第求解，第(2)问为古典概型只需分别求问为古典概型只需分别求出出|x|2，|y|2内的点以及内的点以及(x2)2(y2)24的点的个数即可的点的个数即可课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)如图，点如图，点P所在的区域所在的区域为正方形为正方形ABCD的内部的内部(含边界含边界)，满足，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以的点的区域为以(2,2)为为圆心，圆心，2为半径的圆面为半径的圆面(含边界含边界)课堂互动讲练课堂互动讲练(2)满足满足x，yZ，且，且|x|2，|y|2的点的点(x，y)有有25个，满足个，满足x，yZ，且，且(x2)2(y2)24的点的点(x，y)有有6个，个，所求的概率所求的概率课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】几何概型与古典概型的几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，其特点区别在于它的试验结果不是有限个，其特点是它的试验结果在一个区域内均匀分布，所是它的试验结果在一个区域内均匀分布，所以几何概型的概率的大小与该事件所在区域以几何概型的概率的大小与该事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有的形状和位置无关，只与该区域的大小有关利用几何概型的概率公式关利用几何概型的概率公式P(A)求解思路一样，都属于求解思路一样，都属于“比例解法比例解法”课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)已知已知|x|2，|y|2，点点P的坐标为的坐标为(x，y)，求当，求当x，yR时，时，点点P(x，y)满足满足x2y24的概率的概率课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：如图，当如图，当P所在的区域为正所在的区域为正方形方形ABCD的内部的内部(含边界含边界)，满足，满足x2+y24的点的区域为以原点为圆心，的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部为半径的圆的外部(含边界含边界) 6分分故所求概率故所求概率课堂互动讲练课堂互动讲练古典概型与几何概型的区别与联系古典概型与几何概型的区别与联系古典概型与几何概型都具有等可能古典概型与几何概型都具有等可能性这一特点，即指每一个基本事件发生性这一特点，即指每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型的可能性是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于同的，同属于“比例解法比例解法”规律方法总结规律方法总结几何概型也是一种概率模型，它与古典概几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关如果随状位置无关，只与该区域的大小有关如果随机事件所在区域是一个点，由于单点的长度、机事件所在区域是一个点，由于单点的长度、面积、体积都是面积、体积都是0，则它发生的概率为，则它发生的概率为0，但它，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它发生的概率为部区域扣除一个单点，则它发生的概率为1，但它不是必然事件，这是几何概型与古典概型但它不是必然事件，这是几何概型与古典概型的重要区别的重要区别规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
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