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第十一章 计数原理（选修2-3）2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题2011高考导航高考导航考纲解读考纲解读2排列与组合(1)理解排列、组合的概念(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式(3)能解决简单的实际问题3二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2011高考导航高考导航命题探究命题探究1.计数原理内容考查比较稳定，试题难度起伏不大；排列组合题目一般为选择、填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题与教材习题的难度相当，但也有个别题难度较大；二项式定理是高考重点考查内容之一分值一般为58分2考查热点为排列组合与两个计数原理结合命题，求展开式中某一项或某一项的系数，求某些项的系数和求含字母的项中字母的值等第1课时 两个计数原理 1分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类类办法中有办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办类办法中有法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法类办法中有中有mn种不同的方法那么完成这件种不同的方法那么完成这件事共有事共有N 种不种不同的方法，这一原理叫做同的方法，这一原理叫做 基础知识梳理基础知识梳理m1m2m3mn分类加法计分类加法计数原理数原理 2分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，个步骤，做第做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步步有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n步有步有mn种不种不同的方法那么完成这件事共有同的方法那么完成这件事共有N 种不同的方法，种不同的方法，这一原理叫做这一原理叫做 基础知识梳理基础知识梳理m1m2m3mn分步乘法计数原理分步乘法计数原理基础知识梳理基础知识梳理在解题过程中如何判定是用分类加在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？法计数原理还是用分步乘法计数原理？【思考思考提示提示】如果已知的每类如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理分，就用分步乘法计数原理1从从3名女同学和名女同学和2名男同学中名男同学中选选1人主持本班的某次主题班会，则人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为不同的选法为()A6种种B5种种C3种种 D2种种答案答案：B三基能力强化三基能力强化2(教材习题改编教材习题改编)5个高中毕业生个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所报考三所重点院校，每人报且只报一所院校，则不同的报名方法有院校，则不同的报名方法有()A35种种 B53种种C543种种 D53种种答案答案：A三基能力强化三基能力强化3(2009年高考北京卷改编年高考北京卷改编)由数由数字字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位组成的无重复数字的四位奇数的个数为奇数的个数为()A8 B24C48 D72答案答案：D三基能力强化三基能力强化4已知已知a0,3,4，b1,2,7,8，r8,9，则方程，则方程(xa)2(yb)2r2表示不同的圆的个数是表示不同的圆的个数是_答案答案：24三基能力强化三基能力强化5甲厂生产的空调外壳形状有甲厂生产的空调外壳形状有3种，颜色有种，颜色有4种，乙厂生产的空调外种，乙厂生产的空调外壳形状有壳形状有4种，颜色有种，颜色有5种，均与甲厂种，均与甲厂生产的不同这两厂生产的空调仅从生产的不同这两厂生产的空调仅从外壳的形状和颜色看，共有外壳的形状和颜色看，共有_种不同的品种种不同的品种答案答案：32三基能力强化三基能力强化如果完成一件事有如果完成一件事有n类办法，这类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理种数，就用分类加法计数原理课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一分类加法计数原理的应用分类加法计数原理的应用课堂互动讲练课堂互动讲练在在1到到20这这20个整数中，任个整数中，任取两个相加，使其和大于取两个相加，使其和大于20，共，共有几种取法？有几种取法？【思路点拨思路点拨】采用列举法分采用列举法分类，先确定一个加数，再利用类，先确定一个加数，再利用“和和大于大于20”确定另一个加数确定另一个加数课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】当一个加数是当一个加数是1时，另时，另一个加数只能是一个加数只能是20,1种取法种取法当一个加数是当一个加数是2时，另一个加数时，另一个加数可以是可以是19,20,2种取法种取法当一个加数是当一个加数是3时，另一个加数时，另一个加数可以是可以是18,19,20,3种取法种取法当一个加数是当一个加数是10时，另一个加数时，另一个加数可以是可以是11,12，20,10种取法种取法当一个加数是当一个加数是11时，另一个加数时，另一个加数可以是可以是12,13，20,10,9种取法种取法当一个加数是当一个加数是19时，另一个加数时，另一个加数是是20,1种取法种取法由分类加法计数原理可得共有由分类加法计数原理可得共有12310981100种取法种取法课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】应用分类加法计应用分类加法计数原理，首先根据问题的特点，确定数原理，首先根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类仅属于某一类课堂互动讲练课堂互动讲练如果完成一件事需要分成如果完成一件事需要分成n个步个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理法计数原理课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用课堂互动讲练课堂互动讲练已知集合已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点表示平面上的点(a，bM)，问：，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的可表示平面上多少个第二象限的点？点？【思路点拨思路点拨】横、纵坐标都确横、纵坐标都确定了才能得到点的坐标因此应用分定了才能得到点的坐标因此应用分步乘法计数原理步乘法计数原理课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)确定平面上的点确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：可分两步完成：第一步确定第一步确定a的值，共有的值，共有6种确定种确定方法；方法；第二步确定第二步确定b的值，也有的值，也有6种确定种确定方法方法根据分步计数原理，得到平面上根据分步计数原理，得到平面上的点数是的点数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定完成：第一步确定a，由于，由于a0，所以有，所以有2种确定方法种确定方法由分步计数原理，得到第二象限由分步计数原理，得到第二象限点的个数是点的个数是326.课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】解题时，关键是解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还是分步，分清楚完成这件事是分类还是分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取要注意元素是否可以重复选取课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不变，试求题目条件不变，试求P可表示多可表示多少个不在直线少个不在直线yx上的点？上的点？解解：点：点P(a，b)在直线在直线yx上的上的充要条件是充要条件是ab.因此因此a和和b必须在集合必须在集合M中取同一中取同一元素，共有元素，共有6种取法，即在直线种取法，即在直线yx上的点有上的点有6个个由由(1)得不在直线得不在直线yx上的点共上的点共有有36630(个个)课堂互动讲练课堂互动讲练用两个计数原理解决计数问题时，最重用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计算之前要仔细分析首先要的就是在开始计算之前要仔细分析首先我们可以考虑问题是否应当分类，分类能否我们可以考虑问题是否应当分类，分类能否使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类使问题的复杂程度大大降低；然后在每一类中考虑是否应当分步我们把问题分解成几中考虑是否应当分步我们把问题分解成几类互不重复的情况，每一类都使用分步乘法类互不重复的情况，每一类都使用分步乘法计数原理来计数，然后再用分类加法计数原计数原理来计数，然后再用分类加法计数原理将各类情况组合在一起理将各类情况组合在一起课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)有一个圆被两相交弦分成有一个圆被两相交弦分成四块，现在用四块，现在用5种不同颜料给这种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块颜色四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多互异，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？少种涂色方法？课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】这里的这里的“完成一完成一件事情件事情”是指得到一个公共边区域不是指得到一个公共边区域不同色的涂色圆面同色的涂色圆面【解解】如图所示，分别用如图所示，分别用a，b，c，d表示这四块区域，表示这四块区域，a与与c可同色也可不同色，可先考可同色也可不同色，可先考虑给虑给a，c两块涂色，可分两类：两块涂色，可分两类：2分分课堂互动讲练课堂互动讲练给给a，c涂同种颜色共涂同种颜色共5种涂法，种涂法，再给再给b涂色有涂色有4种涂法，最后给种涂法，最后给d涂色涂色也有也有4种涂法由分步乘法计数原理种涂法由分步乘法计数原理知，此时共有知，此时共有544种涂法种涂法.7分分给给a，c涂不同颜色共有涂不同颜色共有5420种涂法，再给种涂法，再给b涂色有涂色有3种涂法，最种涂法，最后给后给d涂色也有涂色也有3种涂法，此时共有种涂法，此时共有2033种涂法故由分类加法计数种涂法故由分类加法计数原理知，共有原理知，共有5442033260种涂法种涂法.12分分【规律小结规律小结】按元素性质分类，按元素性质分类，按发生过程分步是处理排列、组合的基按发生过程分步是处理排列、组合的基本思想方法，在应用分类加法计数原理本思想方法，在应用分类加法计数原理时，要注意时，要注意“类类”与与“类类”间的独立性与并间的独立性与并列性；在应用分步乘法计数原理时，要列性；在应用分步乘法计数原理时，要注意注意“步步”与与“步步”间的连续性间的连续性课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)某个同学有课外参考某个同学有课外参考书若干本，其中有书若干本，其中有5本不同的外语书，本不同的外语书，4本不同的数学书，本不同的数学书，3本不同的物理书，他本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读欲带参考书到图书馆阅读(1)若他从这些书中带一本去图书馆，若他从这些书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书中若带外语、数学、物理参考书中各一本，有多少种不同的带法？各一本，有多少种不同的带法？课堂互动讲练课堂互动讲练(3)若从这些参考书中选两本不若从这些参考书中选两本不同学科的参考书带到图书馆，有多同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？少种不同的带法？解解：(1)完成的事件是带一本书，完成的事件是带一本书，无论是带外语书还是带数学书、物无论是带外语书还是带数学书、物理书，事件都能完成，从而确定为理书，事件都能完成，从而确定为分类计数原理，结果为分类计数原理，结果为54312(种种). 4分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)完成的事情是带完成的事情是带3本不同学科本不同学科的参考书，只有从外语书、数学书、的参考书，只有从外语书、数学书、物理书中各选一本书后，才能完成这物理书中各选一本书后，才能完成这件事，因此应用分步计数原理，结果件事，因此应用分步计数原理，结果为为54360(种种). 8分分课堂互动讲练课堂互动讲练(3)选选1本数学书和选本数学书和选1本外语书，本外语书，应用分步计数原理，有应用分步计数原理，有5420种选种选法，同样地，选外语书、物理书各一法，同样地，选外语书、物理书各一本有本有5315种选法，选数学书、物种选法，选数学书、物理书各一本有理书各一本有4312种选法，应用种选法，应用分类计数原理，结果为分类计数原理，结果为20151247(种种). 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1关于两个计数原理的应用范围关于两个计数原理的应用范围(1)如果完成一件事情有几类办法，如果完成一件事情有几类办法，这几类办法彼此之间相互独立，无论哪这几类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数时就这件事，求完成这件事的方法种数时就用分类加法计数原理，分类加法计数原用分类加法计数原理，分类加法计数原理可利用理可利用“并联并联”电路来理解电路来理解规律方法总结规律方法总结(2)如果完成一件事情要分几个步如果完成一件事情要分几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不事，而完成每一个步骤各有若干种不同的办法，求完成这件事的方法种数同的办法，求完成这件事的方法种数时就用分步乘法计数原理，分步乘法时就用分步乘法计数原理，分步乘法计数原理可利用计数原理可利用“串联串联”电路理解电路理解规律方法总结规律方法总结2应用两个计数原理的注意事项应用两个计数原理的注意事项(1)要真正理解要真正理解“完成一件事完成一件事”的含义，的含义，以确定需要分类还是需要分步以确定需要分类还是需要分步(2)分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏(3)对于复杂的计数问题，可以分类、对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用分步综合应用规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
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