113含参变量广义积分

本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性，的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性，以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。讨论，无界函数的情况可类似处理。)(,),(为瑕点bdxyxfba113 含参变量的广义积分 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与论证方法上极为相似，学习时应注意比较。论证方法上极为相似，学习时应注意比较。( , ),f x yaxcyd 设二元函数在 (x,y)上有定义，,( ,)aycdf x y dx固定若无穷积分收敛，,c d则在上定义了一个函数( )( , ),ag yf x y dxcyd称其为含参变量的无穷积分。000,()0,( ,)yc dg yNNy若则收敛，即,AN只要则有000( ,)( ,)()AAaf x y dxf x y dxg y。0Ny上面收敛定义中的常数通常与有关。许多应用中都需要如下一致收敛概念。定义： 设无穷积分( )( , ),ag yf x y dxY Yy对区间 （ 为任意区间）中的一切 都收敛，如果0,( ),( , )ANNaANyYf x y dx 则称含参变量的无穷积分在区间Y 上一致收敛。关于不一定收敛的充分条件： 命题命题 设含参变量的无穷积分 在 上点点收敛，若存在常数 ，不论 多大，总存在 及 ，使0lYdxyxfa),(NNAYyA,|),(|ldxyxfaA则无穷积分 在 上不一致收敛.Y命题的极限形式：时有极限趋向于某一值，当若对于任意取定的,A0yYy, 0),(lim0kdxyxfAyy无关的常数，则积分是一个与其中Akadxyxf),(在 不一致收敛.Y含参变量无穷积分一致收敛的判别方法： 一致收敛的柯西收敛准则一致收敛的柯西收敛准则:0 ,N充要条件是：存在与 y 无关的常数使得( , )AAf x y dx。( , )af x y dx含参变量的无穷积分在区间Y 上一致收敛的,ANANyY都有定理1：|( , ) |( ),f x yxxayY若( )ax dx且无穷积分收敛，则含参变量的无穷积分( , )af x y dxY在上一致收敛。利用柯西收敛准则证明下列M判别法: 例例 1 积分 在 内一致收敛 .0sin dxxex) 0(),00解解因为00|sin|0,xxexex而积分 收敛，00dxex0sindxxex所以在)0(),00内一致收敛.例例2 考虑积分.0,)(02tdxe ttJtx证明;0,)() 1 (dcdctJ上一致收敛，其中在区间., 0)()2(上不一致收敛在区间dtJ证证连续，所以关于时，由于当xe tdtctx2) 1 (是可积的，上关于它在任意区间xA, 0dxe tAtx02即定积分存在.又这时,|22cxtxede t.02是收敛的而无穷积分dxedcx上一在因此,)( Jdct.致收敛有时，对于任意取定的当0,A0)2(dt|2dxe tAtxdxe tAtx2xtu dueAtu2dueu02.20t., 0)(上不一致收敛在区间这样dtJ2,Aa（ ）积分1,( , )yYg x yx（）函数关于单调且定理2（ 狄利克雷判别法）( , ),( , )f x yg x y若函数满足：( , )0,g x yyYx ( , )Aaf x y dxyY存在且对一致有界,0,( , ),;AaMf x y dxMAa yY即存在常数满足( , ) ( , )af x y g x y dxY则含参变量无穷积分在一致收敛。定理3（ 阿贝耳判别法）2( , );af x y dx（ ） 含参变量无穷积分在Y 上一致收敛( , ),( , )f x yg x y若函数满足：1,( , )yYg x yx（）函数关于单调且对y一致有界，0,( , ),;Mg x yMyYx即存在常数满足充分大( ,) ( ,)af x y g x y dx则含参变量无穷积分在 Y 上一致收敛。一致收敛积分具有如下性质：定理4：( , )( , )|,f x yx yaxcyd 设函数在区域连续，()( ,),ag yfx y dxyc d且 积 分, c d在上一致收敛，则1( )g y（）在 c,d 上连续；2( )g y（ ）在 c,d 上可积，且有( )( ,)( ,)dddccaacg y dydyf x y dxdxf x y dy。定理5：aadxyxfydxyxfdyd),(),(,) ,(,)yfxyfxy设 函 数在 区 域( ,) |,x yaxcyd 上连续且积分( )( , ),ag yf x y dxc d在上逐点收敛，( , ),yafx y dxc d又积分在上一致收敛，( )( ,)ag yf x y dx则含参变量的无穷积分, c d在上可导且3.函数函数和一、一、 )(考虑含参数无穷限积分 .01dxexx特点特点: 1) 积分区间为无穷，是一个无穷积分；积分，个瑕为瑕点，所以它又是一时，当01)2x称此类积分为无穷瑕积分无穷瑕积分. 将它分为两项：01dxexx101dxexx.11dxexx时，时为瑕积分，且当上式中第一项当01x111xexx, 1xe即因而当110时，10与暇积分积分101dxexx101xdx同收敛.时，而当1.101为正常积分dxexx时，当总之0,.上式中第一项收敛分，积穷无第二项，它是x当时，都有对于任意的实数211xexx, 01xex收敛因而由121dxx.11收敛对一切实数dxexx即可推出时上述含参变量的无穷综合起来可得：当0.瑕积分收敛.0的函数时，它定义了一个故当称为 函数，函数，记作. 0,)(01dxexxs)(oGamma Gamma 函数函数性质性质(2)递推公式)0()() 1(证明证明0d) 1(xexx0dxex(分部积分)01d0 xexexxx).(1) 非负性：. 0)(注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!nn当为自然数时有(n+1)= n!,即-函数是阶乘运算的推广。0 xe (1 1)nn (2) 1,(3) 2,(4) 6,( ) (1)!nn (3)特殊值53122 333,22475122 证明证明: : 有时当,21)(2112012xxe dx2102tt etdttx令202tedt22。有此得31122 11,2225515,22897122 77105,2216.), 0()(内是连续的在区间下面我们来证明使必存在区间内任意取定一点在.,), 0(0dca)., 0(,0dca.,11上连续在再证dcdxexx.,101上连续在先证明dcdxexx，事实上，当10 x,11xcxexexdc在其上二元连续且时，101dxexxc时收敛，当0c,101上一致收敛在因而dcdxexx由定, 8理.,101上连续在dcdxexxacx，当1,时d,11xdxexex在其上二元连续且11dxexx而,收敛,11上一致收敛在因而dcdxexx，于是由定理4.,11上连续在dcdxexx,01上连续在综合起来dcdxexx.0处连续特别在a.), 0()()0(0内连续在内的任一点，故是由于a 1Beta函数及其连续性函数及其连续性 ( 含有两个参数的 )含参数积分 1110(1)( 0 , 0 )pqxxdxpq.11时，为正常积分且当qp为瑕点；时当01xp.11为瑕点时当xq将它写为两项之和：1011)1 (dxxxqp21011)1 (dxxxqp,)1 (12111dxxxqp时，当00 xpqpxxx1111)1 (1)1 (qx, 1时，瑕积分即故当10110pp21011)1 (dxxxqp时，当01xqqpxxx1111)1 (1px, 1时，瑕积分即故当10110qq12111)1 (dxxxqp收敛.收敛.综合起来，时，且当00qp1011)1 (dxxxqp积分收敛. 并确定了一个二元函数，称之为B函数，记作).0, 0( ,)1 (),(1011qpdxxxqpBqp 与证明 函数的连续性类似，我们可以证明 区域 上是连续的.),(qpB), 0(), 0(2. B-函数的对称性函数的对称性: 证明证明 1110( , )(1)1pqB p qxxdxtx 令0111(1)pqttdt 1011),()1 (pqBdtttpq)()()(),(qpqpqpB) 0 , 0 (qp 因而，可由函数的数值与性态了解 B-函数的mn当和为自然数时，由如上公式得数值与性态。( ) ( )(1)!(1)!( , )()(1)!mnmnB m nmnmn。 111 122,2 21B 23332,2238B。例例 7 求.)1 (024的值dxxx解解同价，时，被积函数与当)41 (21xx因而无穷积.分收敛,1, 11,112dyydxyxxy即令024)1 (dxxx104141)1 (dyyy)45,43(B)2()45()43()45()43()45()47(34.1107. 1例例 8 求.11022dxxx解解,111.1同价时被积函数与当是瑕点xxx所以积分收敛.则令,4xt 10221dxxx102141)1 (41dttt)45()21()43(41.)45()43(4)21,43(41B例例 9 求).0(021dtett解解则令, xt 021211dxexx021dtett0211dxexx)23(1)21(211.2.),(积分还可以表成三角函数的qpB令事实上,则),20(cos4x1011)1 (),(dxxxqpBqp. 0, 0,sincos2201212qpdqp例例 9 求.coscos2056xdxx解解原式201617coscosxdxx) 3 ,27(21B) 327() 3()27(21)27(2729211! 2)27(21.6938