资源描述
二圆锥曲线的参数方程课时过关能力提升基础巩固1(2018上海金山区二模)若椭圆的参数方程为x=5cos,y=3sin(为参数),则它的两个焦点坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(5,0)D.(0,3)解析由椭圆的参数方程x=5cos,y=3sin(为参数),可知其普通方程为x225+y29=1,其中a=5,b=3.故c=25-9=4.因此它的两个焦点坐标是(4,0).答案A2若双曲线x=3tan,y=sec(为参数),则它的两条渐近线所夹的锐角是()A.30B.45C.60D.75解析因为x=3tan,y=sec,所以x3=tan,y=sec.2-2,得y2-x23=1,其渐近线方程为y=33x.故两条渐近线所夹的锐角是60.答案C3参数方程x=cos2,y=sin(为参数)所表示的曲线为()A.抛物线的一部分B.抛物线C.双曲线的一部分D.双曲线答案A4过点M(2,4)且与抛物线x=2t2,y=4t(t为参数)只有一个公共点的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条解析由题意得抛物线的普通方程为y2=8x,点M恰在抛物线上.如图,若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切或与对称轴平行,所以满足条件的直线有两条.答案C5点P(1,0)到曲线x=t2,y=2t(参数tR)上的点的最短距离为()A.0B.1C.2D.2解析设曲线x=t2,y=2t上的任意一点的坐标为(t2,2t),则d2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2.tR,dmin2=1,dmin=1.答案B6抛物线y=ax2(a0)的参数方程可以表示为()A.x=1at,y=t2(t为参数)B.x=at,y=t2(t为参数)C.x=at2,y=t(t为参数)D.x=1at2,y=t(t为参数)解析按照参数方程与普通方程的互化原则,消去参数t即可,只有选项A符合条件.答案A7将方程x=tant,y=1-cos2t1+cos2t化为普通方程是.解析由y=1-cos2t1+cos2t=2sin2t2cos2t=tan2t,将tan t=x代入上式,得y=x2,故所求的普通方程为y=x2.答案y=x28已知实数x,y满足x216+y29=1,则z=x-y的最大值为,最小值为.解析由椭圆的参数方程,可设x=4cos ,y=3sin (为参数),所以z=x-y=4cos -3sin =5cos(+),其中为锐角,且tan =34.所以-5z5.答案5-59抛物线y=x2-2xt的顶点的轨迹的普通方程为.解析抛物线方程可化为y=x-1t2-1t2,所以其顶点坐标为1t,-1t2.记M(x,y)为所求轨迹上任意一点,则x=1t,y=-1t2,消去t得y=-x2(x0).答案y=-x2(x0)10如图,由椭圆x24+y29=1上的点M向x轴作垂线,交x轴于点N,若P是MN的中点,求点P的轨迹的普通方程.解椭圆x24+y29=1的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),所以设M(2cos ,3sin ),P(x,y),则N(2cos ,0).所以x=2cos+2cos2=2cos,y=3sin2,消去,得x24+4y29=1.故点P的轨迹的普通方程为x24+4y29=1.11已知A,B分别是椭圆x236+y29=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求ABC的重心G的轨迹的普通方程.解因为动点C在该椭圆上运动,所以可设点C的坐标为(6cos ,3sin )(为参数),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(6,0),B(0,3).由重心坐标公式可知x=6+0+6cos3=2+2cos,y=0+3+3sin3=1+sin(为参数).消去参数,得(x-2)24+(y-1)2=1.因为点C不能与点A、点B重合,所以点G的坐标不能为(4,1),(2,2).故重心G的轨迹的普通方程为(x-2)24+(y-1)2=1(x4,且x2).能力提升1参数方程x=1+t,y=2-2t(t为参数)表示的曲线是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析x=1+t,y=2-2t,22+2,得2x2+y2=4,所以x22+y24=1,且x0,y0,它表示椭圆的一部分.答案B2当取一切实数时,连接A(4sin ,6cos )和B(-4cos ,6sin )两点的线段的中点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.线段解析设中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sin -2cos ,y=3cos +3sin ,即x2=sin -cos ,y3=sin +cos ,两式平方后相加,得x24+y29=2,它表示椭圆.答案B3参数方程x=cos2+sin2,y=12(1+sin)(为参数,0b0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的极坐标方程为cos-3=32.若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴的一个端点,则椭圆C的参数方程为.解析依题意知直线l的直角坐标方程为x+3y-3=0.令x=0,则y=1,令y=0,则x=3,所以c=3,b=1.所以a2=3+1=4,即a=2.故椭圆C的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).答案x=2cos,y=sin(为参数)7求椭圆x216+y212=1上的点到直线l:x-2y-12=0的最大距离和最小距离.解由椭圆的参数方程可设椭圆上任意一点的坐标为(4cos ,23sin )(为参数),则此点到直线l的距离为d=|4cos-43sin-12|5=8cos+3-125,所以dmax=45,dmin=455.8已知抛物线y2=2px(p0)的准线为l,焦点为F,顶点为O,P为抛物线上除顶点外的任一点,PQl于点Q,求QF与OP的交点M的轨迹的关键.解设点P的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数,且t0),M(x,y),则直线OP的方程为y=1tx,QF的方程为y=-2tx-p2,它们的交点M(x,y)由方程组y=1tx,y=-2tx-p2确定.两式相乘,消去t,得y2=-2xx-p2.所以点M的轨迹的普通方程为2x2-px+y2=0(x0).9已知点A在椭圆x2144+y236=1上运动,点B(0,9),点M在线段AB上,且|AM|MB|=12,试求动点M的轨迹的普通方程.解设A(12cos ,6sin )(为参数),M(x,y),由题意知B(0,9),则x=xA+12xB1+12=12cos+1201+12=8cos ,y=yA+12yB1+12=6sin+1291+12=4sin +3,即x=8cos,y=4sin+3(是参数).消去参数得动点M的轨迹的普通方程为x264+(y-3)216=1.
展开阅读全文