高等数学上：1-5极限运算法则5

第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当三三. 复合运算法则复合运算法则 000000002.lim( ), lim( )(, )( )lim( )lim( )xxuuxxuuxuf uAxUxxufxf uA定定理理设设且且时时10111sin()sin:limlimxuxuxu 如如(2)最后一条件不满足最后一条件不满足, 结论不一定成立结论不一定成立, 例如例如:1020,( ),xxx 2131,( ),uf uu 3020, ( ),xfxx 03lim( )xfx 12lim( )uf u 01lim ( )xx 注注: (1)Th2是求极限是求极限 换元的理论依据换元的理论依据,例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此备用题备用题 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23机动 目录 上页 下页 返回 结束