全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用

全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用（2012北海,7，3分）7已知二次函数yx24x5的顶点坐标为：（ ）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【解析】二次函数的顶点坐标公式为（），分别把a，b，c的值代入即可。【答案】B【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y值即可，属于简单题型。（2012山东省滨州，1，3分）抛物线 与坐标轴的交点个数是（）A3B2C1D0【解析】抛物线解析式，令x=0，解得：y=4，抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到，即，分解因式得： ，解得： , ，抛物线与x轴的交点分别为（，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3【答案】选A【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值 ( 四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ）A.图象开口向下 B.当x1时,y随x的增大而减小C.x1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x1时,故选C.【答案】C【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.12（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0其中正确的个数为（）A1B2C3D4解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断1x3时，y的符号答案：解：图象开口向下，能得到a0；对称轴在y轴右侧，x=1，则有=1，即2a+b=0；当x=1时，y0，则a+b+c0；由图可知，当1x3时，y0故选C点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= abx2+(a+b)xA. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为C. 有最小值，最小值为D. 有最小值，最小值为 【解析】M(a,b)，则N(a,b)，M在双曲线上，ab=；N在直线上，b=a+3,即a+b=3；二次函数y= abx2+(a+b)x= x2+3x= (x3)2+，有最大值，最大值为【答案】B【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。（2012陕西10，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（）A1 B2 C3 D6【解析】因为是左或右平移，所以由求出抛物线与轴有两个交点分别为，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小选B【答案】B【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大.12.（2012四川泸州，12，3分）抛物线的顶点坐标是（ ）A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线的顶点坐标为（2，3）.故选C.答案：C.点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注意.（2012，黔东南州，5）抛物线的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ）A 、（4，-1） B、（0，-3） C、（-2，-3） D、（-2，-1）解析：，所以顶点坐标为（2，-1），右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（4，-1）.答案：A点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小.（2012河南，5，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为 A B C D解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选B.解答：B点评：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（0，4）（2，2）. (2012山东日照，11，3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，给出下列结论： b24ac0； 2a+b0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以abc= -123.解答：选D点评：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案. (2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=x2bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，m的值是( )A B C D【解析】解把A(1，0)代入y=x2bx2，求得b=所以，y=x2x2=(x)2，所以抛物线顶点D(，)又求得C(0，2)要x轴上的动点M(m，0)使MCMD最小，作C点关于x轴的对称点C/(0，2)，连接C/D与x轴的交点即为M点利用相似三角形的知识求得OM=；或先求直线C/D的解析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(，0)所以，n=【答案】B【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= abx2+(a+b)xA. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为C. 有最小值，最小值为D. 有最小值，最小值为 【解析】M(a,b)，则N(a,b)，M在双曲线上，ab=；N在直线上，b=a+3,即a+b=3；二次函数y= abx2+(a+b)x= x2+3x= (x3)2+，有最大值，最大值为【答案】B【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。（2012甘肃兰州，14，4分）二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象所示，若ax2+bx+c=k(k0)有两个第14题图不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. k-3 C. k3解析：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根，则k3，故选D答案：D点评：本题考查了二次函数的图象，先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围（2012南京市，12，2）已知下列函数：y=x2;y= -x2;y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到.答案：.点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平移得到.（2012甘肃兰州，11，4分）已知二次函数有最小值1，则a、b的大小关系为（ ）A.ab B. ab,故选A答案：A点评：本题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号，进而可得出结论。求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法（2012甘肃兰州，7，4分）抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位解析：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位故选B答案：B点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减难度较小。（2012甘肃兰州，4，4分）抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ）A.直线 B. 直线 C. y轴 D. 直线x=2解析：抛物线y=-2x2+1就是抛物线的顶点式方程，可直接得到对称轴为x=0，即y轴。答案：C点评：本题主要考查二次函数的性质的知识点，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h也可以用公式法解答（2012河北省12,3分）12、如图6，抛物线与交于点A（1,3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：无论x取何值，总是正数；a=1；当x=0时，；2AB=3AC其中正确的是 （ ） 【解析】中，而图象又在x轴的上方，所以结论正确；将A（1,3）代入，可得，所以结论不正确；当x=0时，所以结论错误；把y=3，分别代入两个表达式中，分别求出AB、AC的长度，比较它们的数量关系，可知是对的。【答案】D【点评】本题考查的知识点比较多，计算量比较大，但是如用排除法，就简单一点了。在教学中，多渗透一题多解。此题难度较大。 (2012江苏苏州，16，3分)已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x1）2+1的图象上，若x1x21，则y1y2（填“”、“”或“=”）分析：先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论解答：解：由二次函数y=（x1）2+1可，其对称轴为x=1，x1x21，两点均在对称轴的右侧，此函数图象开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，x1x21，y1y2故答案为：点评：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键(2012广安中考试题第16题，3分)如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为_图7思路导引：注意平移的性质的运用，观察得出的图象构造的图形，可以发现以点AQOP为顶点的四边形是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合轴对称的性质进行分析解答解析：平移后的抛物线的解析式是y=x(x6)，所以顶点坐标是（3，），x=3时，y=，所以点Q坐标是（3，），OA=6，PQ=2=9，所以四边形APOQ面积是69=27,图中阴影部分的面积是四边形APOQ面积的，所以面积是点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用.另外一般图形向特殊图形的转化也十分关键.（2012，湖北孝感，18，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：abc0；a-b+c0； 3a+c0； 当-1x0其中正确的是_(把正确说法的序号都填上)【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断抛物线的开口向下，a0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c0，对称轴为x=1，得2a=b，a、b异号，即b0，又c0，abc0，故正确；抛物线与x轴的交点可以看出，当x=1时，y0，ab+c0，故正确；当x=1时，y0，而此时ab+c =3a+c，即3a+c0；故正确；观察图形，显然不正确【答案】【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定（2012深圳市 14 ，3分）二次函数的最小值是 。【解析】：考查二次函数的基本性质，会用顶点坐标公式求顶点。根据的值确定抛物线的开口方向，从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶点式求解。【解答】：由，可知二次函数或者由知二次函数的最小值是5【点评】：一是公式记忆要准确，二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。（广西玉林市，18，3）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个. （提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）分析：根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上，顶点坐标为（2，），当y=0时，可解出与x轴的交点横坐标解：二次项系数为-1，函数图象开口向下，顶点坐标为（2， ），当y=0时，-（x-2）2+ =0，解得x1= ，得x2= 可画出草图为：图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）点评：本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键（2012湖北咸宁，16，3分）对于二次函数，有下列说法：它的图象与轴有两个公共点；如果当1时随的增大而减小，则；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）【解析】根据函数与方程的关系解答；4m24（3）4m2120，它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；当x1时y随x的增大而减小，函数的对称轴x在直线x1的左侧(包括与直线x1重合)，则1，即m1，故本选项错误；将m1代入解析式，求出和x轴的交点坐标；将m1代入解析式，得yx22x3，当y0时，得x22x30，即（x1）（x3）0，解得，x11，x23，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m2012代入解析式；当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，对称轴为x1006，则1006，即m1006，原函数可化为yx22012x3，当x2012时，y201222012201233，故本选项正确【答案】（多填、少填或错填均不给分）【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线平移、与x轴的交点，综合性较强（广西玉林市，11，3）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A B C D分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项正确，即可得到正确的选项解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c1，选项错误；抛物线的对称轴为x=- =1，2a+b=0，选项正确；由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac0，即b24ac，选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，方程的两根为x1，x2，且- =1，及- =2，x1+x2=- =2，选项正确，综上，正确的结论有故选C点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号（2012哈尔滨，题号24分值 6） 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网【解析】本题考查确定函数解析式，二次函数最值.三角形的边x和高的和是40，可表示该边上的高位40-x，根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=x(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.【答案】解：（1）S=x(40-x)= +20x； （2）x=20,S=200,所以当x=20cm时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm2.【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的最值问题，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题要注意解题过程的完整性.（2012哈尔滨，题号8分值 3）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) (A)y=3(x+2)21 (B)y=3(x-2)2+1 (C)y=3(x-2)21 (D)y=3(x+2)2+l【解析】本题考查了函数图象的平移规律抛物线的平移规律是：左右平移自变量左加右减，上下平移常数上加下减来进行对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可【答案】A【点评】（1）受点的平移规律影响，误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B；（2）将3x2误认为是自变量，得出错误答案：y=3x2+2-1=3x2+1（2012哈尔滨，题号10分值 3）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )(A)y=一2x+24(0x12) (B)y=一 x十12(0x24)(c)y=2x一24(0x12) (D)y= x一12(0x24)【解析】本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围AB+CD+BC=24，即2AB+x=24,2y+x=24，所以y=12-x因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x(BC)只要小于24即可，又边长大于零，所以x取值范围0x24,故选B【答案】B【点评】根据矩形的周长公式本题易得解，但要注意矩形的第四边的特殊要求。（2012河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在550之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线的顶点坐标是。【解析】（1）根据每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。【答案】解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n2分由表格中数据得 解得 y=2x+10（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P=22x+10-mx2将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m= 当（在550之间）时，即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元【注：边长的取值范围不作为扣分点】【点评】本题是一次函数、二次函数的用，求表达式，求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小；二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。（2012黑龙江省绥化市，23，6分）如图，二次函数的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；解得所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可由已知条件得（2）点A的坐标为（-4，0），AO=4，设点P到x轴的距离为h，则SAOP=4h=4，解得h=4， 当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）； 当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+2，x2=-2-2所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4），综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4） 【答案】 ；点P的坐标是：（-2,4）、（-2+，-4）、（-2-，-4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解难度中等（2012四川宜宾，8，3分）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线。有下列命题：直线y=0是抛物线y=的切线；直线x=-2与抛物线y=相切于点（-2,1）；直线y=x+b与抛物线y=相切，则相切于点（2,1）；直线y=kx-2与抛物线y=相切，则实数k=；其中正确命题的是（ ）A. B. C. D.【解析】根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可解：直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，直线x=2与抛物线y=x2 相交，故本小题错误；直线y=4x+b与抛物线y=x2相切，x24xb=0，=16+4b=0，解得b=4，把b=4代入x24xb=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；直线y=kx2与抛物线y=x2 相切，x2=kx2，即x2kx+2=0，=k22=0，解得k=，故本小题错误故选B【答案】B【点评】本题考查的是二次函数的性质及根的判别式，熟知二次函数的性质是解答此题的关键（2012甘肃兰州，27,10分）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求的值；（2）当ABC为等边三角形时，求的值第27题图解析：（1）当ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CDAB于D，则AB=2CD根据本题定理和结论，得到，根据顶点坐标公式，得到，列出方程，解方程即可求出的值；（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACD，得，据此列出方程，解方程即可求出的值解：（1）当ABC为等腰直角三角形时，过C作CDAB于D，则AB=2CD抛物线与x轴有两个交点，=b2-4ac0，则|b2-4ac|=b2-4aca0，AB=又, =2=, b2-4ac=0，=4；（2）如图，当ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=AB，=0，=12.点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等（2012山东省滨州中考，24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值【解析】（1）将A、O、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。（2）求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+OM的最小值解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=，b=1，c=0所以解析式为y=x2+x（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，AB=4，因此OM+AM最小值为【点评】本题考查二次函数的性质：二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题，二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查（2012甘肃兰州，28,12分）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过点B，且顶点在直线上.（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P是的PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MNBD交x轴与点N，连结PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由。第28题图解析：（1）根据抛物线经过点B（0，4），以及顶点在直线上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当时，求出y即可；（4）利用MNBD，得出OMNOBD，进而得出，得到，进而表示出PMN的面积，利用二次函数最值求出即可解：（1）抛物线经过B（0,4），c=4顶点在直线上，所求的函数关系式为：（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=5四边形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时， 当x=2时，点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，当时， （4）MNBD， OMNOBD，,即，得设对称轴交x轴于点F，则S梯形PFOM=SMON=SPNF=S存在最大值由当时，S取得最大值为此时点M的坐标为.点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键第28题图，难度较大.（2012贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由解析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；（3）先求出BOA的度数，然后可确定Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标答案：解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0），又函数的顶点坐标为（3，），解得：，故函数解析式为：y=x2x，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2x，解得：x1=3+，x2=3，即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3，2）（3）存在过点B作BPOA，则tanBAP=，故可得BOA=60，设Q1坐标为（x，x2x），过点Q1作Q1Fx轴，OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF=Q1F，即x=（x2x），解得：x=9或x=0（舍去），即可得Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（3，3）点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强（2012呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线(a0）代入双曲线解析式得m=1抛物线过点A（2，2）、B（1，4）、O（0，0） 解得抛物线的解析式为y= x23x（2）抛物线的解析式为y= x23x顶点E，对称轴为x=B（1，4）x23x=4解得x1=1,x2= 4C（4，4）SABC=56=15由A、B两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线AB的解析式为：y= 2x2设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（，1）EF=SABE=SAEF+SBEF=3= （3）SABE=8 SABE=15当点D与点C重合时，显然满足条件。当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)当x=3时，y= 18存在另一点D（3，18）满足条件。【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离（单位：米）随时间（单位：时）的变化满足函数关系（40）且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（，11）（8，8），利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于115，解方程即可解：1、依题有顶点的坐标为（，11），点的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c有,解得抛物线解析式为y=x2+112、令115，解得t35，t2=3画出（40）的图像，由图像变化趋势可知，当335时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为35332（时）答：禁止船只通行时间为32小时。点评：难度中等（2012湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =的顶点，点B的坐标为（1,0），直线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;（2）如图1,平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE4：3,求a的值。（3）如图2将抛物线C向下平移m（m0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值。解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；2、根据题意，DE的长度可求又FG：DE4：3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人两个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（t，0），根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =，即P点坐标为（0，），又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为（2-t，2-2t ），从而有NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，从而求得t值，进而求得m.解：（1）当x=0时，y=, A(0，)设直线AB的解析式为y=kx+b,有，解得. 直线AB的 解析式为y=2x-2.由C点为直线与抛物线y =的交点，则点C的横、纵坐标满足解得 （舍） 点C的坐标为（4，6）（2）直线x3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。yD=4, yE=, DE= FG：DE4：3FG直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NHy轴于点H。设点M坐标为（t，0），抛物线C2 的解析式为y =0= ， y =点P坐标为（0，），点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点，则点N的横，纵坐标满足解得 (舍去) 点N坐标为（2-t，2-2t ）NQ=2-2t ，MQ=NQ, MOT, NHT均为等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m点P坐标为（0，+2t-2）同解法一可得MNQ=450，PNQ=MNQ=22.50，过点P作PFNQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，NJJPPFFJNF（）PF，即（t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到NMQ=450，问题就较为明晰了。（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒答案如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标解析：（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；本问关键是求出点P、Q的坐标当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解答案：解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，AB=10如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103tPQBO，即，解得t=，当t=秒时，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S与t之间的函数关系式为：S=（t）2+5（0t），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点第（2）问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识（2012湖南省张家界市25题12分）如同，抛物线与轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.（1） 分别求出点A、点B的坐标（2） 求直线AB的解析式（3） 若反比例函数的图像过点D，求值.（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.yxBDPAQOC2【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.C（-，0），A（2，0）（2）令AB为直线为y=k1x+2，点A（2，0）在直线上，0=K12+2，k1=-.AB的解析式为y=-x+2.（3）D点与O点关于AB对称，OD=OA=2.D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）.因为y=过点D，3=，k=3.（3）AP=t，AQ=t，OQ=2-t.点P到OQ的距离为t.SOPQ=（2-t）t=-（t-2）2+.依题意，得0t4，当t=2时，S有最大值为.【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题 ( 四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?【解析】根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x