高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件

第五章 平面向量与解三角形5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示高考数学高考数学 (浙江专用)考点一平面向量的线性运算及几何意义考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2017课标全国文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|五年高考答案答案 A本题考查向量的有关概念.由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A.一题多解一题多解将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故选A.2.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案答案 A由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A.3.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点, =3 ,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD43AB13AC答案答案A=+=+=+=+(-)=-+.故选A.ADABBDABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43AC4.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.评析评析本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.5.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3 , =2 ,则 =()A.20B.15C.9D.6ABADBMMCDNNCAMNM答案答案C依题意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故选C.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC6.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案答案B设a=k1e1+k2e2,A项,(3,2)=(k2,2k2),无解.B项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),解之得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C,D项同A项,无解.223,22,kk121253,222,kkkk122,1.kk7.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5答案答案A=(3,-4),|=5.与同方向的单位向量为=,故选A.ABABAB|ABAB34,558.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2 ,= -(R),且=-4,则的值为.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算.由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311思路分析思路分析根据=2得=+,利用=-4以及向量的数量积建立关于的方程,从而求得的值.BDDCAD13AB23ACADAE一题多解一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=.3BDDC5 2 3,33AD5 2 3,33AEACAB33ADAE532 3331133119.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+= ,则=.ABADAO答案答案2解析解析由平行四边形法则,得+= =2 ,故=2.ABADACAO以下为教师用书专用10.(2014课标,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.AO12ABACABAC答案答案90解析解析由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以BAC=90,所以与 的夹角为90.AO12ABACABAC11.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=1+2 (1,2为实数),则1+2的值为.1223DEAB答案答案12解析解析=+=+=+(-)=-+,=1+2,1=-,2=,故1+2=.DEDBBE12AB23BC12AB23ACAB16AB23ACDEABAC162312考点二平面向量的基本定理及坐标表示考点二平面向量的基本定理及坐标表示1.(2017课标全国理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则+的最大值为()A.3B.2C.D.2APABAD25答案答案 A本题考查向量的运算.分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,可设P.则=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD25152515122.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.答案答案-3解析解析本题考查向量平行的条件.a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3.3.(2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案答案12解析解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于=,即=.112124.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足=2 , = .若 =x+y ,则x=,y=.AMMCBNNCMNABAC答案答案;-1216解析解析由=2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如下:则有=(+),所以=-=(+)-=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.AMMCBNNCAN12ABACMNANAM12ABAC23AC12AB16ACMNABAC12165.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为.答案答案-3解析解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得从而m-n=-3.29,28,mnmn 2,5,mn6.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.答案答案5解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.557.(2014陕西,13,5分)设0,向量a=(sin2,cos),b=(cos,1),若ab,则tan=.2答案答案12解析解析ab,sin21-cos2=0,2sincos-cos2=0,00,2sin=cos,tan=.2128.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的最大值是.3CDOAOBOD答案答案 +17解析解析解法一:设D(x,y),则由| |=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cos,y=sin,R.而+=(x-1,y+),则|+|=,其中sin=,cos=.显然当sin(+)=1时,| + + |有最大值=+1.解法二: + + = + + + ,设a= + + =(2,),则|a|=,从而 + + =a+ ,则| + + |=|a+ |a|+| |=+1,当a与 同向时,| + + |有最大值+1.CDOAOBOD3OAOBOD22(1)(3)xy22(2cos )( 3sin )84cos2 3sin82 7sin()2737OAOBOD82 77OAOBODOAOBOCCDOAOBOC37OAOBODCDOAOBODCDCD7CDOAOBOD79.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=.答案答案4解析解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).由c=a+b可得解得所以=4.AOOBBC16 ,32 , 2,1,2 评析评析本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和解析法在向量中的应用,构建关于和的方程组是求解本题的关键.1.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),9)在CAB中,+=4,|=2,记h()=,则 h()的最大值()A.1B.C.D.2|CA2|CBAB12CACBRmin232512三年模拟一、选择题A组 20152017年高考模拟基础题组答案答案 B将| - |=2的两边平方后,整理得, =0,即ABC为直角三角形.h()=,设D为BC的中点,则h()=|+(1-)|.易知h()为直角三角形CAD的斜边AD上的高,记为h.设|=b,|=a,则a2+b2=4.由面积相等知,h=.因为+=(a2+b2)=(5+4)=,所以h.故选B.CBCACBCA12CACB(1)2CBCACACDRminCACB2222abab224abab22114ba21b24a142214ba14222245baab14942282,3ab当且仅当时 等号成立232.(2017浙江杭州质检,7)设O是ABC的内心,AB=c,AC=b,若 =1+2 ,则()A.=B.=C.=D.=AOABAC12bc2122bc1222cb2122cb答案答案A设=1, =2 .因为O是ABC的内心,所以AO平分BAC,所以平行四边形AMON为菱形,且10,20,由|=|,得|1|=|2|,即1c=2b,亦即=,故选A.AMABANACAMANABAC12bc3.(2016浙江高考模拟冲刺(三),8)对于两个不共线的单位向量a,b,结出下列四个命题:(a+b)(a-b);2|=1,得+1,即|a+b|+|a-b|2.又由=,得|a+b|+|a-b|2,故正确.a与b在a+b方向上的投影都为|,故正确.m=|,n=|,由+=|2=1,得m2+n2=1.故正确.故选D.ABADACAOOBAB2ab2ab|2AOOB22|2AOOB2|2AB122AOAODO2|AO2|DOAD4.(2017浙江台州质量评估,16)已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,则=.|c bb|c aa二、填空题答案答案25解析解析如图,设 =a, =b, =c.因为向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三点共线.由=知,|c|cos=|c|cos,所以OC为AOB的平分线.因为c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,易知=,所以=.OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA|BCCA|OBOA23|BCBA255.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)在平面内,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5),若非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是.答案答案,561解析解析如图,建立平面直角坐标系xOy, =a, =b, =c, =p,x=1-y-z, =(1-y-z) +y +z , - =y( - )+z( - ),即=y+z .点P在ABC内(含边界).易知原点O到直线AB:2x+y-5=0的距离为|OP|的最小值.|=.| |的最大值为| |=.OAOBOCOPOPOAOBOCOPOAOBOAOCOAAPABAC0,0,11,yzyzx OP555OPOC362561综上可知,向量p的模的取值范围为,.5616.(2016浙江镇海中学测试(六),14)在ABC中,点D满足=4,若对任意tR,均有|-t | |,则cosA的最小值是.ABADBDBCCD答案答案45解析解析因为对任意tR,均有|-t|,所以CDCB,即有,所以=(-4)(-)=0,即-5+4=0,所以+4=5,故cosA=(当且仅当|=2|时取等号),所以cosA的最小值是.BDBCCD14ABACCB14ABACCB14ABACABAC2ABABAC2AC2AB2ACABAC| |AB ACABAC15224| |ABACABAC154| | |ABACABAC45ABAC457.(2016浙江温州一模,14)已知ABC中,| |=1, =2,点P为线段BC上的动点,动点Q满足=+,则的最小值等于.BCBABCPQPAPBPCPQPB答案答案-34解析解析因为 =| |cosABC=|cosABC=2,所以点A在直线BC上的投影D在线段BC的延长线上,且|BC|=|CD|,如图.=(+)=+=-|+|-| |=-|(2-|)+-|(1-|)=3|2-3|=3-,所以当|=,即P为BC的中点时,最小,最小值为-.BABCBABCBAPQPBPAPBPCPBPAPBPBPBPCPBPDPBPBPBPCPBPBPB2|PBPBPBPBPB21|2PB34PB12PQPB341.(2017浙江镇海中学模拟卷二,7)已知ABC的外心为O,且满足BAC=60, =x+y (其中x1),则x+4y的最大值为()A.2B.C.D.5AOABAC1433一、选择题B组 20152017年高考模拟综合题组答案答案A设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.将 =x+y 两边分别同时点乘和,则解得所以x+4y=-4=2,故选A.AOABACABAC222211,2211,22ccxbc ybbc xby2,332,33bxccyb103134bccb103132.(2016浙江五校第一次联考,7)设数列xn的各项都为正数且x1=1.如图,ABC所在平面上的点Pn(nN*)均满足PnAB与PnAC的面积比为3 1,若(2xn+1)+=xn+1,则x5的值为()A.31B.33C.61D.63nPCnP A13nP B答案答案A如图所示,设=(2xn+1),=-xn+1.因为(2xn+1)+=xn+1,所以+=0,所以Pn为AB1C1的重心,所以=xn+1,又=,所以xn+1=,即xn+1=2xn+1,所以xn+1+1=2(xn+1),又x1=1,所以xn+1=2n,故xn=2n-1(nN*),所以x5=31,故选A.1nPCnPC1nP B13nP BnPCnP A13nP BnP A1nP B1nPCnP ACS121nx 1nP ACS121nx 1nP ABS121nx 13nP ABSnP ACS13nP ABS121nx 13133.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面积为2,M,N分别是AD,BC的中点,点P为线段MN上的动点,则+的最小值是()A.2B.C.1D.2PAPB2BA332答案答案B分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立直角坐标系,A为坐标原点,设B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m0,n0),则mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2n2+m2,而n2+m2mn=,故当x=,且n=m,即当m=,n=,x=时,+取最小值.PAPBPAPB2BA22mx343434333,“ ”2nm当且仅当时成立2m3244343412443PAPB2BA34.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),16)已知向量a,b,|a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(xR),若|c|取最小值时,向量m满足(a-m)(c-m)=0,则|m|的取值范围是.3二、填空题答案答案131131,22解析解析解法一:构造如图所示的图形,设 =a, =b, =2b,则c=xa+2(1-x)b=x(a-2b)+2b=x- = - = ( =x),当OCAD时,|c|取得最小值,此时OAD为边长为2的正三角形,C为AD的中点,构造 =m,则 =c-m, =a-m.由(a-m)(c-m)=0知,向量m的终点在以AC的中点E为圆心,以AC为直径的圆上运动.因为OE=,所以|m|max=+=,|m|min=-=,所以|m|的取值范围是.解法二:设向量a,b的夹角为,|c|2=|xa+2(1-x)b|2=8(1-cos),所以当x=时,|c|2取得最小值3,此时cos=,所以=,=,=,所以ac=2cos=3,|a+c|2=|a|2+2ac+|c|2=13,所以|a+c|=,OAOBODDADODCDOOCDCDA3OGGCGA221( 3)2132132121312132121312131131,22212(1cos )xx12123663613由(a-m)(c-m)=0得|m|2-(a+c)m+ac=0,设=,则|m|2-cos|m|+3=0,|m|=,显然cos=1时,|m|取得最值=,所以|m|的取值范围是.13213cos13cos1221313 1221312131131,225.(2017浙江镇海中学模拟卷五,16)在ABC中,ACB为钝角,CA=CB=1,当tR时,| -t |有最小值为,若=x+(1-x)(xR),则|的最小值为.CACB32CPCACBCP答案答案 12解析解析由向量模的几何意义知,ACB=120,易知A,B,P三点共线,所以| |的最小值为AB边上的高,此时|的最小值为.CPCP126.(2017浙江杭州二模(4月),15)设P为ABC所在平面上一点,且满足3+4 =m(m0).若ABP的面积为8,则ABC的面积为.PAPCAB答案答案14解析解析以, 作为一组基底,则3+4 =m可以化简为-3+4( -)=m,所以=-.因为m0,所以点P在ABC外.易知ABP的高是ABC高的,又两三角形同底,所以ABC的面积为8=14.ABACPAPCABAPACAPABAP47AC7mAB47747.(2017浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b的夹角为,且,若对任意的(x,y)(x,y)|xa+yb|=1,x,y0,都有|x+2y|成立,则ab的最小值为.0,2815答案答案14解析解析|xa+yb|2=x2+y2+2xycos=1.设t=x+2y,即x=t-2y,代入x2+y2+2xycos=1得(5-4cos)y2+(2cos-4)ty+t2-1=0.所以0(cos2-1)t2+5-4cos0t2,所以cos,所以ab=cos.经检验,此时x,y0符合要求.254cos1cos254cos1cos6415141116148.(2016浙江温州二模,15)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M、N分别为线段BC、CD上的点,且满足+=1,若=x+y,则x+y的最小值为.21CM21CNACAMAN答案答案 54解析解析连接MN交AC于点G.由勾股定理,知MN2=CM2+CN2,所以1=+=,即MN=CMCN,所以C到直线MN的距离为定值1,此时MN是以C为圆心,1为半径的圆的一条切线(如图所示).=x+y=(x+y).由向量共线定理知,=(x+y),所以x+y=,又因为|max=5-1=4,所以x+y的最小值为.21CM21CN222MNCMCNACAMANxyAMANxyxyACAG|ACAG5|AGAG54