函数的傅里叶级数展开

1. 函数的傅里叶级数展开 一一.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成其中 是 阶谐波,我们称上式右端的级数是由 所确定的傅里叶级傅里叶级数数tAsinA tfT 10sinnnntnAAtf10sincosnnntnbtnaAtnbtnatnAnnnnsincossinnT2 tf二二. 三角函数的正交性三角函数的正交性设 是任意实数, 是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有利用积化和差的三角公式容易证明还有c2, cc2kxkx sin,cos2,2 , 1, 0sinsin, 0coscos220220kkxdxkxdxkxdxkxdxcccc 1, 2 , 1;0coscos0sinsin0cossin222llklxdxkxlxdxkxlxdxkxcccccc 2我们考察三角函数系其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ，而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个函数系在长为 的区间上具有正交性具有正交性。, 2 , 121sin22cos1coscos22222202022kdxkxdxdxkxkxdxkxdxcccccc 3,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx22 2,1见 3见三、傅里叶系数傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到即又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由和 ，得到 xf kxbkxaaxfkkksincos210, 2 , 1,0kbaakk xf, 1 0022aadxxf dxxfa10n xfnxcos, 2,1 3即同样可得因此得到欧拉-傅里叶公式 nnkkkanxdxanxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf210coscossincoscoscos2cos nxdxxfancos1 nxdxxfbnsin1 , 2 , 1 , 0sin1kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos1kkxdxxfak自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积分。 以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为 的函数 在区间 上可积和绝对可积（如果 式有界函数，则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作出三角级数2 xf2 xf, xf xfkkba ,10sincos2kkkkxbkxaa我们称这级数是 关于三角函数系 的傅里叶级数，而 称为 的傅里叶系数傅里叶系数，记为 xf,sin,cos, 1xxkkba , xf 10sincos2kkkkxbkxaaxf四、收敛判别法四、收敛判别法 傅里叶级数的收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法。设函数 在 上可积和绝对可积若 在 点的左右极限 和 都存在，并且两个广义单侧导数都存在，则 的傅里叶级数在 点收敛。当 是 的连续点时它收敛与 ，当 是 的间断点（一定是第一类间断点）时收敛于 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf xfx0 xf0 xfxxfxxfxxfxxfxx0lim,0lim00 xfxx xf xfx xf0021xfxf例1 在 上展开函数 为傅里叶级数。例2 在 上展开函数为傅里叶级数。例3 在 上展开 为傅里叶级数。, xxf, xcxcxf0 ,0,212 , 0 xxf例4 将 在 上展开为余弦级数。例5 将以下函数展开为正弦级数 xxf, 0 lxxlxxf21, 0210 ,sin五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的 阶谐波 可以用复数形式表示。由欧拉公式得如果记 那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式n, 2 , 1sincosntnbtnanniiiiiieeieeiee221sin21cos10sincos2nnntnbtnaa10222ntinnntinnneibaeibaa, 2 , 1,00ncibacibacannnnnn这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅为复振幅， 与 是一对共轭复数tinnnec21ncncnc六、收敛判别法的证明六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分 狄利克雷积分。狄利克雷积分。 设 在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为其中 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf , 2 , 1 , 0cos1kktdttfak , 2 , 1 , 0sin1kktdttfbk傅里叶级数的部分和由三角公式当 ，有公式 10sincos2kkknkxbkxaaxfS dtkxktkxkttfnk1sinsincoscos211 dtxtktfnk1cos211212sincos2coscos212sin2nn02sin2sin2212sincos2coscos21nn当 时把右边理解为 时的极限值，值一等式也就成立。把它应用到 的表达式中，得到经过验证知道，被积函数是 的周期为 的函数，可以把积分区间换为 ，因此作代换 ，得00 xfSn dtxtxtntfxfSn2sin2212sin1t2xx, dtxtxtntfxfSxxn2sin2212sin1uxt duuunuxfxfSn2sin2212sin1duuunuxf2sin2212sin100duuunuxfuxf2sin2212sin10上面 的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。狄利克雷积分。 xfSn2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 设函数 在区间 上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立局部性定理局部性定理 函数 的傅里叶级数在 点的收敛和发散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有关。 uba, 0coslim, 0sinlimpuduupuduubapbap xfx xf3、迪尼判别法及其推论、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法）迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 ，使由函数 以及 点所作出的满足条件：对某正数 ，使在 上， 为可积和绝对可积，那么 的傅里叶级数在 点收于 。 利普希茨判别法利普希茨判别法（地理判别法的一个推论）如果函数 在 点连续，并且对于充分小的正数 在 点的利普希茨条件 成立，其中 皆是正数，且 ，那么 的傅里叶级数在 点收敛于 ，更一般地，如果对于充分小的 成立s xfx suxfuxfu2hh, 0 uu xfxs xfxux huLuxfuxf0,L1 xfx xfuLuxfuxf0 同前，那么 的傅里叶级数在 点收敛于一个重要推论一个重要推论 如果 在 点有有限导数 ，或是有两个单侧的有限导数,L xfx200 xfxf xfx xf uxfuxfxfuxfuxfxfuu00limlim甚至只是有更一般的有限导数那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条件是成立的。uxfuxfuxfuxfuu0lim,0lim00 xfx xf200 xfxf xfx1七、傅里叶级数的性质七、傅里叶级数的性质一、一致收敛性一、一致收敛性 1设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上有有限导数 ，那么的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。2 xfba,ba, xf xfba, xf2 xfba,ba, xfba, xf二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设 是 上分段连续函数，它的傅里叶级数是我们并不假定右端级数的和是 甚至也不假定它收敛，然而它却可以逐项积分，设 和 是 上任意两点，则有三，最佳平方平均逼近三，最佳平方平均逼近 设 是任意一个 次三角多项式 xf, 10sincos2nnnnxbnxaaxf xfcx, 1000sincos2nxnnxdtntbntacxadttf xTnn nkkknkxBkxAAxT10sincos2其中 都是常数。又设 是上可积和平方可积函数，称是用三角多项式 在平方平均意义下逼近 的偏差。 设 的傅里叶级数是我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于，但它的 次部分和是 的最佳平方平均逼近，亦即对任何 次三角多项式 ，都有, 2 , 1,0kBAAkk xf, dxxTxfTfnn2221, xTn xf xf 10sincos2nnnnxbnxaaxf xfn 10sincos2kkknkxbkxaaxS xfn xTnnnTfSf,22