截长补短法例题

图 3-1E图 3-2DC截长补短法例1.已知，如图 1-1 ，在四边形 ABCD中， BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.求证： BAD + BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图 中缺少全等的三角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法” 来实现 .证明：过点 D 作 DE垂直 BA的延长线于点 E，作 DFBC于点 F，如图 1-2BD平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE与 RtCDF中，DE DFAD CDRtADERtCDF(HL), DAE= DCF. 又 BAD+ DAE=180， BAD+DCF=180 即 BAD+BCD=180例2. 已知，如图 3-1 ， 1= 2，P为 BN上一点，且 PDBC于点 D，AB+BC=2BD. 求证： BAP+BCP=180 .分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180 ，可把它们移到一起，让它们是邻补角， 即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE垂直 BA的延长线于点 E，如图 3-2 1= 2，且 PDBC， PE=PD，在 Rt BPE与 RtBPD中，PE PDBP BPRtBPERtBPD( HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE即 DC=BE- AB=AE.在 Rt APE与 RtCPD中,PE PDPEA PDCAE DC RtAPERt CPD（SAS）, PAE= PCD又 BAP+ PAE=180 , BAP+BCP=180例3.如图 2-1 ， AD BC，点 E在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法” 中的“截长” ，即在 CD上截取 CF=CB， 只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD上截取 CF=BC，如图 2-2在 FCE与 BCE中，CF CBFCE BCECE CE FCE BCE（SAS）, 2=1.又 ADBC， ADC+BCD=180， 2+ 3=90， 1+4=90，在 FDE与 ADE中，FDE ADEDE DE34 FDE ADE（ ASA）， DF=DA，CD=DF+CF， CD=AD+BC.图 4-1例4.已知：如图 4-1 ，在 ABC中， C 2 B， 12.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即 延长 AC至 E 使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB 2 E， ACB 2 B， BE，在 ABD与 AED中,12BEAD AD图 4-2E ABD AED（AAS）, AB=AE. 又 AE=AC+C=EAC+DC， AB=AC+DC. 方法二（截长法）在 AB上截取 AF=AC，如图 4-3在 AFD与 ACD中,AF AC12AD AD AFD ACD（SAS）, DF=DC， AFD ACD.又 ACB 2B， FDB B， FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD.