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1.1.2 1.1.2 瞬时变化率瞬时变化率20222022年年4 4月月1111日星期一日星期一修远中学修远中学 梁成阳梁成阳导数导数平均变化率平均变化率 )(xf一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 ,21xx2121)()(xxxfxf复习PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T如何求曲线上一点的切线如何求曲线上一点的切线?(1)(1)概念概念: :曲线的曲线的割线割线和和切线切线结论结论: :当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时, ,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线. .PQoxyy=f(x)(2)(2)如何求如何求割线的斜率割线的斜率? ?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T(3)如何求切线的斜率如何求切线的斜率?)斜率无限趋限趋近点P处切,时0无限趋限当(PQkx)()(xxfxxfkPQ例例1:1:已知已知 , ,求曲线求曲线y=f(xy=f(x) )在在x=2x=2处的切线的斜率处的切线的斜率. .2)(xxf4)4 , 2(4,042)2(4)2(),)2( ,2(),4 , 2()4 , 2(:22处的切线斜率为所以点无限趋近于常数时无限趋近于当则点的任意一条割线入手先求过解PkxxxxkxxQPPQPQ利利 用用 割割 线线 求求 切切 线线例例2:2:求曲线求曲线y=f(xy=f(x)=x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. .因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.2)4 , 2(2,021)1 (21)1 (),1)1 ( ,1 (),2 , 1 (:22处的切线斜率为所以点无限趋近于常数时无限趋近于当则解PkxxxxkxxQPPQPQ1 1、先利用直线斜率的定义求出先利用直线斜率的定义求出割线线的斜率；割线线的斜率；2.2.求出当求出当x x趋近于趋近于0 0时切线的斜时切线的斜率率3 3、然后利用点斜式求切线方程然后利用点斜式求切线方程. .求曲线在某点处的求曲线在某点处的切线方程切线方程的基本步骤的基本步骤: :课堂练习课堂练习拓展研究拓展研究求此点坐标.求此点坐标.某点的切线斜率为2,某点的切线斜率为2,2x在2x在x x已知曲线y已知曲线y2 2二、物理意义二、物理意义瞬时速度瞬时速度svt在物理学中，我们学过平均速度在物理学中，我们学过平均速度新课讲解新课讲解 平均速度反映了在某一段时间内平均速度反映了在某一段时间内运动的快慢程度运动的快慢程度, ,那么那么, ,如何刻画在如何刻画在某一时刻某一时刻运动的快慢程度呢运动的快慢程度呢? ?实例实例:212sgt老师去蹦极老师去蹦极, ,假设老师下降的运动假设老师下降的运动符合方程符合方程 , ,请同学们计算请同学们计算老师从老师从3 3秒到秒到5 5秒间的平均速度秒间的平均速度, ,如何如何计算出在第计算出在第3 3秒时的速度秒时的速度, ,即即t=3t=3时的时的瞬时速度呢瞬时速度呢? ?212sgt瞬时时速秒时3此即,3无限趋,时0无限趋当)6(213)3(321)3(21,时间内的平均速度3到3先计:解22的近于常数近于算tgvttgtgtgtsvttt(s(s表示位移表示位移,t,t表示时间表示时间) ) 设物体作直线运动所经过的路程设物体作直线运动所经过的路程为为s s= =s s( (t t). ). 以以t t0 0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t t时间内的平均速度为时间内的平均速度为 vttfttfts)()(00 这个常数就是物体在这个常数就是物体在t t0 0时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度. . 当当 t t0 0时，时，ttfttfts)()(00。结论结论: :常数v二、物理意义二、物理意义瞬时加速度瞬时加速度 设一辆轿车在公路上做加速直设一辆轿车在公路上做加速直线运动线运动, ,假设假设t t秒时的速度为秒时的速度为 求求t=5t=5秒时轿车的秒时轿车的加加速度速度. .3)(2 ttv( 10 )( 10 )小结小结: :(1)(1)求曲线上一点切线的斜率时求曲线上一点切线的斜率时, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求出割线的斜率求出割线的斜率, ,再令再令求出求出切线的斜率切线的斜率0 x(2)(2)在求瞬时速度时在求瞬时速度时, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求求出平均速度出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬时速度瞬时速度0 x(3)(3)在求瞬时加速度时在求瞬时加速度时, ,先利用先利用平均变化平均变化率率求出平均速度求出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬时瞬时加速度加速度. .0 x0 x平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率重要结论重要结论: :处的在点叫做函数并把0)(xxfyA一一. .导数的概念导数的概念0,)()()(0000 xxxfxxfxyxfyxx当有定义，有定义，在区间（在区间（函数函数),)(baxfy ),0bax（ ，处有增量处有增量在在如果自变量如果自变量xxx 0);()(00 xfxxfy 增量增量之间的之间的到到在在xxxxfy 00)(.)()(00 xxfxxfxy 时，时，如果当如果当0 xAxy处处在点在点我们就说函数我们就说函数0)(xxfy 相应地有相应地有那么函数那么函数 y就叫做函数就叫做函数比值比值xy 平均变化率平均变化率即即,可导，可导，导数导数0,xxy 记为记为由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤步骤:);()()1(00 xfxxfy 求增量求增量;)()()2(00 xxfxxfxy 算比值算比值时在求0.) 3(0 xxyyxx例例1.1.求求y=xy=x2 2+2+2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：222)(2)21(2)1(xxxy xxxxxy 2)(222|0,21xyxxxy时当变题变题. .求求y=xy=x2 2+2+2在点在点x=ax=a处的导数处的导数2.( )(1) ,(2)(2)f xxff例3 若求和二、函数在一区间上的导数：二、函数在一区间上的导数： 如果函数如果函数 f(x)在开区间在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说内每一点都可导，就说f(x)在开区间在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间内可导这时，对于开区间 (a,b)内每内每一个确定的值一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这，这样就在开区间样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做新函数叫做 f(x) 在开区间在开区间(a,b)内的内的导函数导函数，简称为，简称为导数导数，记作记作)()(xyyxf需指明自变量时记作或即即时的值当0,)()()(xxxfxxfxyyxff (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系： f (x 0)f (x)0 xx 当当x0(a,b)时时,函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x0)等于等于函数函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内的导数内的导数f (x)在点在点x0处的函数值处的函数值 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么函数那么函数y=f(x)在点在点X0处连续处连续.例例4:已知已知.2,处的切线方程在并求出函数求xyxy解解:xxxxxyxxxy,时的值。当0,211xxxxxxxxxxyy
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