常微分方程：4.2 常系数线性方程的解法

复习试求其通解一个解是的已知方程,0) 1(1 xyyxyyx4.2 常系数线性方程的解法常系数线性方程的解法一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1 复值函数复值函数.)()()(,)()(上的复值函数为区间我们称上定义的实函数是区间与如果btatittzbtatt.)(,)()(上连续在则称上连续在区间与若btatzbtatt的导数为且上可微在则称上可微在与若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()(tittz复函数的求导法则与实函数求导法则相同复函数的求导法则与实函数求导法则相同2 复指数函数复指数函数)sin(cos)()(titeeetzttikt欧拉公式欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性质性质:定义定义,) 1 (ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd3 复值解复值解) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn(1)定义定义如果的复值解称为方程上的实变量复值函数定义于区间,) 1 . 4(),(tzbta)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnn.恒成立对于bta)2 . 4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn(2)定理定理8.)2 . 4()()()()()(,)()()(,), 2 , 1)()2 . 4(的解也都是方程的共轭复数及和虑部的实部则解是方程的复值而都是实值函数的所有系数如果方程tztztttztittzxnitai(3)定理定理9若方程)()()()(111tivtuxtadtxdtadtxdnnnnn分别是方程部和虚则这个解的实部都是实值函数及这里有复值解)()(,)(),(), 2 , 1)(),()(tVtUtvtunitatiVtUxi)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解.二、常系数齐线性方程和欧拉方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程1 常系数齐线性方程的求解方法常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程)19. 4(0111xadtxdadtxdxLnnnnn,21为常数其中naaa称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.我们知道,一阶常系数齐线性方程0atdtdx有解,atcex受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解)20. 4(,tex,数可以是实数也可以是复是待定常数这里把它代入方程(4.19)得0)(111tnnnnteaaaeL:)19. 4(,的解的充要条件是为因此te是代数方程)21. 4(, 0)(111nnnnaaaF 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.(1) 特征根是单根的情形个解有如下则相应方程等的特征根个彼此不相的是特征方程设nnn)19. 4(,)21. 4(,21)22. 4(,21tttneee由于,21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解组(4.22)线性无关.,), 2 , 1(均为实数若niitnttnececectx2121)(.,21是任常数其中nccc的通解为从而的基本解组是方程则)19. 4(,)19. 4()22. 4(,), 2 , 1(中有复数若nii则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,21也是特征根则是特征根设ii相应方程(4.19)有两个复值解,),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeetti 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根:,1i由此求得(4.19)的两个实值解为,cos tet;sin tet(2) 特征根是重根的情形则有重根有设特征方程,)21. 4(1k, 0)()()(1)1(11kFFF; 0)(1)(kF两种情形加以讨论和下面分00110)(1设a, 011knnnaaa; 0kna式从而特征方程有如下形, 011kknnnaa而对应方程(4.19)变为0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd;, 112且它们是线性无关的个解显然它有ktttk;, 1)19. 4()21. 4(:12ktttkk个线性无关的解的方程重零根对应着的特征方程从而可得因此则特征方程有因子,k0)(1设b经整理得并把它代入方程作变换),19. 4(1tyexttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111)(1111于是方程(4.19)化为)23. 4(, 01111ybdtydbdtydyLnnnnn,21仍为常数其中nbbb方程(4.23)相应特征方程为)24. 4(, 0)(111nnnnbbbG直接计算易得teF)(11)()(1teLtteeL11,)()(1teG因此)(1F),(G,)24. 4()21. 4( ,1重零根的对应着重根的可见kk这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).;, 1)23. 4()24. 4(:12111ktttkk个线性无关的解的方程重零根对应着的方程从前面的讨论得个解的因而对应着方程1)19. 4(k)25. 4(;,1111112tktttetettee的相应解为则方程而且依次为的重数的其它根假设方程类似地)19. 4(),(,)21. 4(,2122jinkkkkkjimmm;,2222212tktttetettee;,12tktttmmmmmetettee)26. 4( 下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,事实上,假设这些函数线性相关,使得则存在不全为零的常常)(rjCtmrkrkrrrrretCtCC11)(1)(1)(00)(1tmrrretP)27. 4(次得微分然后对除以将恒等式即零至少有一个系数不等于假设多项式不失一般性1,)27. 4(, 0)(,)(,1ktetPtPtmm)28. 4(0)()(11tmrrretQ,)()(),()()()(11的次数的多项式为次数低于其中tPtStStPtQrrrrkrr. 0)(,)()(,tQtPtQmrr且次数相同与因此 恒等式(4.25)与(4.27)类似,但项数减少了,如果对(4.28)实施同样的方法),(2)(12次微分然后对除以ktet我们得到项数更少的类似于(4.27) 的恒等式0)()(1tmmmetR注意到)()()()()()(112121tWtPtRmmkmmkmkmmm,)()(的次数的多项式为次数低于其中tPtWmm, 0)(,)()(,tRtPtRmmm且次数相同与因此矛盾这就证明了(4.25)和(4.26)的全部n个解线性无关,即为方程的基本解组.对特征方程有复根的情况:,ik重复根譬如有,重复根也是则ki如同单根时那样,我们也可以.2,2)19. 4(个实值解换成个复值解的把方程kk;cos,cos,cos1tetttetetktt.sin,sin,sin1tetttetetktt(3) 求方程(4.19)通解的步骤第一步:,)19. 4(21k特征方程的特征根求第二步:计算方程(4.19)相应的解;,)(tkkea方程有解对每一个实单根;,1)(个解方程有重实根对每一个mmbk;,12tmtttkkkketettee两个如下形式的解方程有轭复数对每一个重数是一的共,)(ic;sin,costtete个如下形式的解方程有的共轭复数对每一个重数是mimd2,1)(;sin,sin,sin;cos,cos,cos11tetttetetetttetetmtttmtt第三步:.)19. 4(,)(),(),(),(的基本解组及通解写出方程情形根据第二步中的dcba例1.0432233的通解求方程xdtxddtxd解特征方程为43232)2)(1(, 0有根, 11, 23 , 2,1是单根,3 , 2是二重根因此有解,te;,22tttee故通解为;)(23221ttttececectx;,321为任常数这里ccc例2.044的通解求方程 xdtxd解特征方程为014有根, 11,3i有两个实根和两个复根,均是单根故方程的通解为;sincos)(4321tctcecectxtt;,4321为任常数这里cccc, 12;4i例3.033223344的通解求方程dtdxdtxddtxddtxd解特征方程为234333) 1(, 0有根, 01, 14, 3 , 2,01是单根,14, 3 , 2是三重根故方程的通解为;)()(24321tetctccctx;,4321为任常数这里cccc例4.022244的通解求方程xdtxddtxd解特征方程为122422) 1(, 0即有特征根,2, 1i,2, 1都是二重根i故方程的通解为;sin)(cos)()(4321ttccttcctx;,4321为任常数这里cccc即有实值解;sin,sin,cos,costttttt2 欧拉欧拉(Euler)方程方程形如)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn的方程,称为欧拉方程.,21为常数这里naaa(1) 引进变换)ln(xtextdxdydxdtdtdydtdy,dtdytex122dxyddxdydxddxdtdtdxdyd)(dtdyedtdttete2),(22dtdydtyd由归纳法原理可知kkdxydkte,1111dtdydtyddtydkkkkk,21都是常数其中k将上述关系式代入(4.19)得常系数齐线性方程.)30. 4(, 0111ybdtydbdtydnnnnn.,21为常数其中nbbb)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn)ln(xtext 因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.例5. 0222ydxdyxdxydx求解方程解作变换0222ydtdydtyd把上式入原方程得故原方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc)ln(xtext即则,1dtdyxdxdy),(122222dtdydtydxdxyd上述方程的通解为:;)()(21tetccty(2) 从上述推演过程,我们知(4.30),的解有形如ktey ,)29. 4(的解有形如从而kxy 因此可直接求欧拉方程的,的解形如kxy ,)29. 4(的代数方程得到确定代入以kxyk)31. 4()2() 1() 1() 1(1nkkkankkk0na则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,重的方程因此m)31. 4(,;ln,ln,ln,120000 xxxxxxxmkkkk个解的对应于方程根mkk)29. 4(,0;,12tmtttkkkketettee个实值解的对应于方程重复根的而方程mikm2)29. 4(,)31. 4();lncos(ln,),lncos(ln),lncos(1xxxxxxxxm);lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin(1xxxxxxxxm例6. 0222ydxdyxdxydx求解方程解上面代数方程的根为故方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k1) 1(kkk2) 1(k0121 kk例7. 053222ydxdyxdxydx求解方程解上面代数方程的根为故方程的通解为:);ln2sin()ln2cos(1)(21xcxcxxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k53) 1(kkk522kk0,212, 1ik三、常系数非齐线性方程的解法三、常系数非齐线性方程的解法(一一) 比较系数法比较系数法)32. 4()(111tfxadtxdadtxdxLnnnnn1 类型I:110)32. 4(mmmbtbtbxL即方程为,)(110mmmbtbtbtf.), 2 , 1(为实常数其中mibi有形如因此方程次多项式右端是一个且方程仍为多项式一个多项式的各阶导数注意到)32. 4(,)32. 4(,m)33. 4(,)(110mmmBtBtBtx.), 2 , 1(,为待定常数特解miBi110)32. 4(mmmbtbtbxL,)32. 4()(比较两端同次幂的系数代入把tx应满足的方程得mBBB,1000baBn1101bamBaBnnmnmbaB)34. 4(,0)32. 4(0) 1 (时对应齐次方程特征根即不是当na因此方程有形如(4.33)的解.,)34. 4(), 2 , 1(逐个确定下来唯一地可从方程这些待定常数miBi,)32. 4(0)2(重特征根时相应齐次方程的是方程当k即, 0)0()0()0()1(kFFF; 0)0()(kF而也即, 0,11knknnnaaaa这时相应地方程(4.32)将为)35. 4()(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn化为则令)35. 4(, zdtxdkk)35. 4()(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn)36. 4()(111tfzadtzdadtzdknknknknkn对上面方程,0 , 0 已不是它的特征根由于kna因而方程(4.36)有形如,)(110mmmBtBtBtz特解,满足有特解把因此),()32. 4(tx,110mmmBtBtB)(tzdtxdkk,次得积分k,110mmmkkBtBtBdtxd),()(110mmmkttttx有形如因此方程)32. 4(特解,.,10是已确定的实数这里m2 类型II:即方程为,)()(110tmmmebtbtbtf 110)32. 4()(tmmmebtbtbxL变为则作变换)32. 4(),()(tyetxt111nnnnnd ydycc ydtdtmmmbtbtb110)37. 4(. 0,), 2 , 1(,为实常数其中mibi有如下形式的特解我们获得的有关结果由方程)32. 4(,)32. 4(重特征根是的特征根不是keBtBtBteBtBtBtxtmmmktmmm)21. 4(,)()21. 4(,)()(110110例8.133222的通解求方程txdtdxdtxd解对应齐次方程特征根为. 1, 321故该方程的特解形式为,)(BtAtx,)(代入方程得将BtAtx13332tBtAB比较系数得33132BAB即,311AB,31)(ttx从而因此原方程的通解为.31)(231tecectxtt例9.3222的通解求方程texdtdxdtxd解对应齐次方程特征根为. 1, 321故该方程的特解形式为,)(tAtetx,)(代入方程得将tAtetx,4tteAe从而于是,41A,41)(tetx因此原方程的通解为.41)(231tttteecectx是特征方程的单根12解对应齐次方程特征方程为, 1故该方程有形状为,)()(3的特解teBtAttx,)()(3代入方程得将teBtAttx)5()246(teeBtAtt比较系数得;241,65BA,)20(241)(3tetttx从而因此原方程的通解为.)20(241)()(32321ttettetctcctx例10.) 1(332233的通解求方程texdtdxdtxddtxdt有三重特征根0) 1(1333233 类型III: )32. 4()sin)(cos)(tettBttAxL设;,)(),(,mmtBtA过另一个多项式次数不超多项式次数为其中一个为实系数多项式为常数其中,公式由EulertettBttAsin)(cos)(titietiBtAetiBtA)()(2)()(2)()(根据非齐次方程的叠加原理可知,方程tietiBtAtfxL)(22)()()(tietiBtAtfxL)(12)()()(与,)32. 4(的解的解之和必为),()(21tftf注意到,)(,)(2111的解必为则的解为若tfxLxtfxLx因此,直接应类型II的结果可知,方程有如下形式的特解tiktiketDtetDtt)()()()()(tketsimtQttpt)(cos)().(Im2)(),(Re2)(,)(tDtQtDtPmtD而次多项式为其中。mtQtP多项式都是次数不超过显然)(),(解对应齐次方程的特征方程为, 2, 121故该方程有形状为,)sincos()(的特解tBtAetxt,)sincos()(代入方程得将tBtAetxttttABtABsin7cossin)3(cos)3(; 1, 2BA:从而原方程有特解故原方程的通解为).sincos2()(221tteecectxttt例11.)sin7(cos222的通解求方程ttexdtdxdtxdt有二个根022,1不是特征根因ii,sin,cos的系数得比较上式两端tt),sincos2()(ttetxt注: 类型III的特殊情形,cos)()(tetAtft,sin)()(tetBtft或可用更简便的方法- 复数法求解例12.2cos4422的通解求方程txdtdxdtxd解对应齐次方程的特征方程为0)2(4422有二重特征根, 221为了求非齐线性方程的一个特解,故该方程有形状为,)(2的特解itAetx,)(2代入方程得将itAetx, 18iA,8iA,9它就是原方程有特解由定理故原方程的通解为.2sin81)()(221teetcctxtt,2 不是特征根因 i先求方程itexdtdxdtxd22244的特解,属类型II,从而分出它的实部故iteitx28)(,2sin812cos8tti,2sin81)(Rettx(二二) 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法1 拉普拉斯变换积分,Re,)()()(0sdttfesFtfLst且满足有定义在其中的拉普拉斯变换称为函数,0)(,)(ttftf),(,)(为正数MMetft.)(,)(为像函数为原函数称sFtfdttetLnstn00|1stnets解1ntLsn例13.,是正整数其求ntLndttesnnst1012ntLsnsn 1 11Lssnsndtesnstn0!01|!stnesn00!1sssnn例14.ateL求解dteeeLatstat0dtetas0)(0)(|1taseasasasas12 拉普拉斯变换的性质)(1)(0tfLn则若),()(20sFtfL).0()0()0()()1(21nnnnffsfstfLs),()(ttfLsFdsd);() 1()(tftLsFdsdnnnn).()(asFtfeLat3 应用给定微分方程)32. 4()(111tfxadtxdadtxdnnnnn及初始条件)1(0)1()1(00)0(,)0(,)0(nnxxxxxx.)(,21连续且满足原函数条件而为常数其中tfaaan记的任一解为设,)32. 4()(tx),()(txLsX),()(tfLsF则对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,得)1(0)1(0201)(nnnnxxsxssXs)()2(0)1(030211nnnnxxsxssXsa)(01xssXan)(sXan)(sF即)()(111sXasasasnnnn)(sF01211)(xasasnnn)1(02312)(xasasnnn)1(0nx或),()()()(sBsFsXsA由此有都是已知的多项式和其中,)()(),(sFsBsA,)()()()(sAsBsFsX从而解为:)()(1sXLtx-拉普拉斯变换的反变换例15. 0) 1 () 1 (,2xxexxxt求解方程解问题变为令, 1 t. 0)0()0(,2)1(xxexxx对上式两端作拉普拉斯变换,得,111)()(2)(2sesXssXsXs因此,) 1(11)(3sesX查拉普拉斯变换表得,21)(12ex从而,) 1(21)(2tettx这就是所求的解.例16. 2)0(, 1)0(,2sin5cos4xxttxx求解方程解对方程两端作拉普拉斯变换,得,4514)(2)(222ssssXssXs因此查拉普拉斯变换表得,2cossin2)(tttx这就是所求的解.,cos(22sstL这里)sin22stL,412)(22ssssX