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)2cos81cos87()(22kakamakE式中式中a为晶格常数。计算为晶格常数。计算: 1）电子在波矢）电子在波矢k的状态时的速度；的状态时的速度；2）能带底部和能带顶部电子的有效质量）能带底部和能带顶部电子的有效质量5.1 设一维晶体的电子能带可以写成设一维晶体的电子能带可以写成解：电子在波矢解：电子在波矢k状态时的速度状态时的速度dkkdEkv)(1)()2sin41(sin)(kakamakv222/*kEm kakamm2cos21cos*0kmm2*akmm32*电子的有效质量电子的有效质量能带底部能带底部能带顶部能带顶部有效质量有效质量有效质量有效质量)2cos81cos87()(22kakamakE41241 128187222222kacosma)kacos(kacosma)k(E晶格常数为晶格常数为2.5 的一维晶格，当外加的一维晶格，当外加102 V/m和和107 V/m的电场时，分别估算电子自能带底运动到能带顶所需的电场时，分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。要的时间。能带底到能带顶能带底到能带顶 k 的变化为的变化为 /a，所需时间，所需时间eEdtdkF 5.2解：解：电子倒空间里电子倒空间里 k 方向上匀速运动方向上匀速运动eEdtdks.aeEheE/adtdk/at81934101038 1001061106261051 2 E=100 V/ms.aeEht1371934101038 101061106261051 2 E=107 V/m5.3 试证在磁场中运动的布洛赫电子，在试证在磁场中运动的布洛赫电子，在k空间中轨迹空间中轨迹面积面积Sn和在和在r空间的轨迹面积空间的轨迹面积An之间的关系为之间的关系为解：在磁场中电子运动方程为解：在磁场中电子运动方程为BdtdrqBqVdtdk dr/qB/Bqdrdk nnSqBcA2nnSqBA2SI制制r/qBk所以电子在所以电子在k空间中轨迹面积空间中轨迹面积Sn和在和在r空间的轨迹面积空间的轨迹面积An之间有如下关系之间有如下关系nnSqBA25.4 （1）根据自由电子模型计算）根据自由电子模型计算K的德的德哈斯哈斯-范阿范阿尔芬效应的周期尔芬效应的周期 (1/B)（2）对）对B=1T，在其实空间中电子运动轨迹的面积，在其实空间中电子运动轨迹的面积有多大？有多大？解：（解：（1）德德哈斯哈斯-范阿尔芬效应的震荡周期为范阿尔芬效应的震荡周期为FSqB 21SF为垂直于磁场方向和费米面的极值轨道面积为垂直于磁场方向和费米面的极值轨道面积在自由电子模型下，费米面为球面，即在自由电子模型下，费米面为球面，即 FFFmEqm/kmqkqB 22221222FFkS 3123/FVNk K为单价为单价Bcc金属，金属，n=N/V=2/a3，a=5.2，221FkqB 3123/FVNk 191031323121057102593 63 m.aVNk/F14182341921045 10571005511061221 T.kqBF（2）由）由5.3题有题有k空间轨迹面积空间轨迹面积Sn与与r空间轨迹面积关系空间轨迹面积关系nnSqBA2191057 m.kF 22092107711057 m.kSFn则当则当B=1T，在真实空间中运动轨迹面积为，在真实空间中运动轨迹面积为2102021934105971077111061100551m.An 因而该效应只能在低温纯净样品中才可能观察到因而该效应只能在低温纯净样品中才可能观察到323222221212222)(mkmkmkkE,*mqB232221321*mmmmmmm外加磁场外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为相对于椭球主轴方向余弦为1) 写出电子的准经典运动方程写出电子的准经典运动方程2) 证明电子绕磁场回转频率为证明电子绕磁场回转频率为其中其中5.5 设电子等能面为椭球设电子等能面为椭球解解 恒定磁场中电子运动的基本方程恒定磁场中电子运动的基本方程( )dkqv kBdt )(1)(kEkvk323222221212222)(mkmkmkkE123123( )kEEEE kkkkkkk222123123123( )kkkkE kkkkmmm电子的速度电子的速度电子能量电子能量电子的速度电子的速度123123123( )kkkv kkkkmmmBkvqdtkd)(123kkk123123123123()()dkkkkqBkkkkkkdtmmm 磁感应强度磁感应强度代入电子运动方程代入电子运动方程123()BB kkk应用关系应用关系电子运动方程电子运动方程)()()(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk0)(0)(0)(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk123123123123()()dkkkkqBkkkkkkdtmmm 令令tititiekkekkekk033022011,000022011030110330203302201kmqBkmqBkikmqBkmqBkikmqBkmqBki0)(0)(0)(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk 有非零解，系数行列式为零有非零解，系数行列式为零030201,kkk0213132imqBmqBmqBimqBmqBmqBi000022011030110330203302201kmqBkmqBkikmqBkmqBkikmqBkmqBki0)()()(2312221223222mmqBmmqBmmqBi0)()()(2312221223222mmqBmmqBmmqBi无意义无意义0231221232111mmmmmmqB321232221mmmmmmqB*mqB旋转频率旋转频率232221321*mmmmmmm其中其中)kkkkkk(cAk)k(Exzzyyx 2导出导出k = 0 点上的有效质量张量，并找出主轴方向。点上的有效质量张量，并找出主轴方向。5.6 若已知若已知)kkE()*m( 2211电子的倒有效质量电子的倒有效质量PA2cccA2cccA212设矩阵设矩阵P的本征值为的本征值为 ， 则则0222 AcccAcccA解得解得cAcA 222321)kkkkkk(cAk)k(Exzzyyx 2主轴的取法主轴的取法 ， 要求要求0zyxA2cccA2cccA2三个主轴方向可取为三个主轴方向可取为2116101121cA211131c2A2321，和，时，得到基，时，得到基k2ji61ji21,kji31，和，5.7 天体物理中的费米气体天体物理中的费米气体（a）已知太阳质量）已知太阳质量Ms=21030 kg，试估计太阳中的，试估计太阳中的电子数。如在白矮星中可离化出同样多的电子，电子数。如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制在半径为把它们限制在半径为2109 m的球中，求电子的球中，求电子的费米能的费米能（b）在相对论极限下）在相对论极限下e emc2，电子能量与波矢的关，电子能量与波矢的关系为系为e e Pc= kc，证明在此极限内费米能近似为，证明在此极限内费米能近似为e eF=3 c(N/V)1/3（c）若上述数目电子限制在半径为）若上述数目电子限制在半径为10 km的脉冲星中，的脉冲星中，证明费米能约为证明费米能约为108 eV。利用这个数值说明为什。利用这个数值说明为什么可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和么可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质子组成的质子组成的解：（解：（a）估计太阳中的质子数）估计太阳中的质子数N，令，令Na表示太阳的原子表示太阳的原子总数，总数，Z为平均原子序数，则为平均原子序数，则ZNNa 太阳质量为太阳质量为 mZmNMeaS me为电子质量，为电子质量，m为平均原子核的质量为平均原子核的质量m可近似取核中质子质量的可近似取核中质子质量的2倍，即倍，即pZmm2 其中其中mp为质子质量为质子质量 ppapeaSNmZmNZmZmNM222 太阳中电子数约为太阳中电子数约为56273010061067121022 .mMNpS561006 .N如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制如在白矮星中可离化出同样多的电子，把它们限制在半径为在半径为2107 m的球中，电子的费米波矢为的球中，电子的费米波矢为 eV.J.mkeFF415312122342210521004 1011921080901005512 e e 112313756313322108090102410069 493433 m.RN/RNVNk/F费米能为费米能为（b）电子能量随电子气体密度增加而增加，当电子能量）电子能量随电子气体密度增加而增加，当电子能量比比mc2大得多时，成为超电子相对论电子气体。这时电子大得多时，成为超电子相对论电子气体。这时电子的能量和动量关系为的能量和动量关系为kccp e e对于量子态数和费米波矢对于量子态数和费米波矢kF来说，仍假设和非相对论电来说，仍假设和非相对论电子气体一样子气体一样此时费米能等于此时费米能等于 31313123123 33/FFV/NcVNcVNckc e e11231310809049 m.RNk/F得证得证将太阳中电子限制在半径为将太阳中电子限制在半径为10 km的脉冲星中，的脉冲星中，费米能为费米能为561006 .N即费米能约为即费米能约为108 eV量级。量级。 eV.J.V/Nc/F81131125634831101310974103410610055110333 e e 因而可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质因而可以认为脉冲星主要是由中子而不是电子和质子组成的子组成的假设电子具有假设电子具有108 eV的能量，而中子与质子质量差为的能量，而中子与质子质量差为nep 该能量已明显低于电子能量，因而电子可与中子发生如该能量已明显低于电子能量，因而电子可与中子发生如下反应形成中子下反应形成中子 kg.mmpn30271032106726167491 能量差为能量差为 eV.J.cmmEpn613163021029110072 1091032
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