隐函数微分法学习教案

会计学1第一页，共28页。0),(. 1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数隐函数(hnsh)的求导公式的求导公式第1页/共28页第二页，共28页。将将 y = f (x) 代入方程代入方程(fngchng)得：得：0 )(, xfxFFxyx)(,xfxFxddxdxdxF xdydyF 0 yFxFxdyd xF xdydyF 0),(. 1 yxF第2页/共28页第三页，共28页。解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF第3页/共28页第四页，共28页。例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yFyxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy 第4页/共28页第五页，共28页。0 xexyy例例2：设：设xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxF,1 yeyFyex 1xdydyxFF ,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 第5页/共28页第六页，共28页。0 xexyy例例2：设：设xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee 第6页/共28页第七页，共28页。隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF第7页/共28页第八页，共28页。由方程由方程(fngchng)0),( zyxF所确定所确定(qudng)的二元函数的二元函数 z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,Fxzyxy),(,yxfyxFx xdxdxF xzzF 0 zFxFxz zFyFyz 第8页/共28页第九页，共28页。解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 第9页/共28页第十页，共28页。例例4设设求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz xzxyyzfxzfvu1xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得0 yxyzxzfyxfvu1第10页/共28页第十一页，共28页。例例4设设求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得0 yxyzxzfyxfvu1yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得1 zyxzxyfzyfvu1第11页/共28页第十二页，共28页。例例4设设求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得1 zyxzxyfzyfvu1zy .1vuvuxzffxyff 第12页/共28页第十三页，共28页。例例5设设, 0),( xzzyyxF连续连续(linx)(linx)偏导数偏导数, ,且且, 032 FF求证求证(qizhng). 1 yzxz证证由题意知方程由题意知方程(fngchng)确定函数确定函数).,(yxzz 在题设在题设方程两边取微分方程两边取微分, ,得得),(xzzyyxdF 0d , 0 即有即有. 0)()()(321 xzdFzydFyxdF. 0)()()(321 dxdzFdzdyFdydxF其中其中F具有具有合并得合并得,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 第13页/共28页第十四页，共28页。例例5设设, 0),( xzzyyxF连续连续(linx)(linx)偏导数偏导数, ,且且, 032 FF求证求证(qizhng). 1 yzxz证证其中其中F具有具有,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 从而从而(cng r)xz ,3231FFFF yz ,3212FFFF 于是于是yzxz 3232FFFF . 1 第14页/共28页第十五页，共28页。.4dzyxzyzzx的函数，求全微分的函数，求全微分、为为确定确定：设：设例例 xyzyxzzfzxfyzx :),(522证明证明有连续导数，有连续导数，其中其中：设：设例例第15页/共28页第十六页，共28页。例例5 已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定(qudng) z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(22 xF2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy 第16页/共28页第十七页，共28页。 yF0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyxsin 2)(coszyxzx zF00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(222)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy xF第17页/共28页第十八页，共28页。 xzzxFF 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyFF 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xFyFzF第18页/共28页第十九页，共28页。 0),(0),(vuyxGvuyxF.,cossin6yvxvyuxuvueyvuexuu 求求：设：设例例第19页/共28页第二十页，共28页。（分以下（分以下(yxi)几种情几种情况）况）隐函数隐函数(hnsh)的求导法则的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF第20页/共28页第二十一页，共28页。作业作业(zuy)：习题：习题9-5: 1, 6, 8第21页/共28页第二十二页，共28页。一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._.二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz练练 习习 题题第22页/共28页第二十三页，共28页。三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）第23页/共28页第二十四页，共28页。六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .第24页/共28页第二十五页，共28页。一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .练习题答案练习题答案(d n)第25页/共28页第二十六页，共28页。六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf . . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy . . 第26页/共28页第二十七页，共28页。2,110 xyxdxdyxyFFdxdy函数的一阶导数为函数的一阶导数为.)(0),(),(的的二二阶阶导导数数确确定定的的隐隐函函数数，则则可可求求方方程程具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数若若xfyyxFyxF 2222,arctanln2dxyddxdyxyyx求求：已知：已知例例 解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 则则,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 第27页/共28页第二十八页，共28页。