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xy0 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。个例子。 除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(xf(x)=x)=x2 2（1）（2）yxO)0(1)(xxxfx0-x0f x 3f x 引 例：1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考 : 通过练习,你发现了什么规律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo( x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)1.函数奇偶性的概念: 偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.对奇函数、偶函数定义的说明:(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 a ,b-b,-axo（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（4） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。(3)(3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质；练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x -2 _偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。练习练习1:对于定义在对于定义在R上的函数上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？下列判断是否正确？若若f (2) = f (2)，则函数，则函数 f (x)是偶函数是偶函数若若f (2) f (2)，则函数，则函数 f (x)不是偶函数不是偶函数例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.例2. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即 f(-x)= f(x)练习2. 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)为奇函数 f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)为偶函数(1) f(x)=x- 1x解：定义域为x|x0解：定义域为Rf(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x即 f(-x)= - f(x)即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解: (3) f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数解: (4)定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数yox5oyx说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f(-x)f(x) 且f(-x) f(x) f(x)为非奇非偶函数解: （6）定义域不关于原点 对 称 f(x)为非奇非偶函数yoxox-13y解: (8) 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数(7) f(x)= 3 (8). f(x)= xx解: (7) 定义域为R f(-x)= 3 -x = - 3x = - f(x)f(x)为奇函数 奇函数 说明：根据奇偶性, 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数奇函数的图象奇函数的图象( (如如Y=XY=X3 3 ) )偶函数的图象偶函数的图象( (如如y=xy=x2 2) )yxoaaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)2.奇偶函数图象的性质: 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法略本课小结:1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。练一练： 2211xxxf判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性:课外思考题课外思考题:1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)21xfxx22（） 2.判断函数 的奇偶性:3. 已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于( ).A. x(1-x) B. x(1-x)C. -x(1+x) D. x(1+x)4 4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x) = a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F(X)为( )A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶函数若F (x) = x (f(x)+g(x) ),则F(x)为_,F (x) = x2 (f(x)+g(x) ) ,则F(x)为_.作业：课本作业：课本P P6464 练习练习3 3，4 4， P P65657,87,8 P P1061061111思考题:2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-，0）上是增函数，则 y=f(x)在(0,)上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定
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