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专题能力提升练(四)立体几何一、选择题(每小题5分)1下列结论正确的是()A过一点有且只有一个平面与已知平面垂直B过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D过一点有且只有一条直线与已知平面垂直解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选项C中的结论不正确答案：D2正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC90，则的值为()A1 B2C. D.解析：如图，连接OB，设正四面体的棱长为a，则OBa，MBa，故OMaAO，则1.答案：A3设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题正确的是()Am，n，m，n，则Bm，则mC若m，n，则mnD若，则解析：对于A，根据面面平行的判定定理可知缺少条件“m与n相交”，故A不正确；对于B，若，则，无交点，又m，所以m，无交点，即m，故B正确；对于C，若，n，则n可以垂直于，又m，所以m可以平行于n，故C不正确；对于D，时，也可能平行，故D不正确答案：B4已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为21，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为，则此三棱柱的侧面积为()A. B.C8 D6解析：如图，根据球的表面积可得球的半径为r，设三棱柱的底面边长为x，则2x22，解得x1，故该三棱柱的侧面积为3126.答案：D5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过点M，N，C1的截面截正方体所得的几何体如图所示，那么该几何体的侧视图是()解析：C1N的投影线为虚线，该几何体的侧视图是选项B中的图答案：B6已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为()A.B.C.D.解析：该几何体的直观图如图，为单位正方体中的三棱锥BACD，其体积为正方体体积的，即该几何体的体积为.答案：A7如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成角的大小为()A. B.C. D.解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接AD，DD1，AD1.显然DD1B1C1，AD1B1C1，故B1C1平面ADD1，故平面AB1C1平面ADD1，故DD1在平面AB1C1内的射影在AD1上，AD1D即为直线DD1与平面AB1C1所成的角在RtAD1D中，AD，DD13，所以tanAD1D，所以AD1D.因为BB1DD1，所以直线BB1与平面AB1C1所成角的大小为.答案：A8在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的余弦值是，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是()A2 B4C6 D8解析：取AC的中点D，连接SD，BD，ABBC，BDAC，SASC2，SDAC，SDB为二面角SACB的平面角在ABC中，ABBC，ABBC，AC2.取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作DO平面ABC，则O为外接球球心，ED.又二面角SACB的余弦值是，cosEDO，OD，BO，外接球的半径为，其表面积为6.答案：C9在四面体ABCD中，ABAD，CBCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列命题正确的是()AE，F，G，H四点不共面B四边形EFGH是梯形CEGFHD四边形EFGH是矩形解析：如图，显然，四边形EFGH是平行四边形取BD的中点P，连接CP，AP，因为ABAD，CBCD，所以APBD，CPBD，根据直线与平面垂直的判定定理，可得BD平面APC，所以BDAC，又FGBD，EFAC，所以FGEF，所以四边形EFGH是矩形答案：D10正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的半径为()A. B.C2 D.解析：球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O的直线上，也在平面ADO中AD的垂直平分线上，如图，OEOD1，DEAD2，故所求外接球的半径r.答案：B二、填空题(每小题5分)11如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V12412282.答案：8212如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为_解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，BD，PE.设BDAEO，连接PO.设ABa，则OAOBa.又PBPAPD，O为BD的中点，所以BDPO，所以POa，所以POOA，所以PO平面ABCD，所以POAE.由已知可得四边形ABED为正方形，所以BDAE，所以AE平面PBD，所以AEPB.又CDAE，所以CDPB，即异面直线CD与PB所成角的大小为90.答案：9013已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则三棱锥SABC的体积为_解析：如图，设球心为O，ABC的外心为O，根据球的性质得OO平面ABC，且SBCSAC90，所以BCAC2.在ABC中，根据余弦定理得cosACB，所以sinACB.根据正弦定理得2r(r为ABC外接圆的半径)，所以r，所以OO.ABC的边AB上的高为.所以三棱锥SABC的体积为.答案：14如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点若平面PAD平面ABCD，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，则四棱锥PABCD与三棱锥PQBM的体积之比是_解析：过点M作MHBC交PB于点H.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD，PQ平面ABCD.PAPDADAB2，BAD60，PQBQ.VPABCDPQS菱形ABCD22。又PQBC，BQAD，ADBC，BQBC，又QBQPQ，BC平面PQB，又MHBC，PM2MC，MH平面PQB，BC2，MH，VPQBMVMPQB，VPABCDVPQBM31.答案：3115已知正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别为棱AA与CC的中点，过直线EF的平面分别与BB，DD相交于点M，N.设BMx，x0,1，有以下结论：平面MENF平面BDDB；当x时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF的周长Lf(x)，x0,1是单调函数；四棱锥CMENF的体积Vg(x)为常函数其中正确结论的序号是_(将正确结论的序号都填上)解析：如图，连接BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确连接MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使四边形MENF的面积最小，则只需MN的长度最小即可，当M为棱BB的中点，即x时，MN的长度最小，对应四边形MENF的面积最小，所以正确因为EFMN，所以四边形MENF是菱形，当x时，EM的长度由大变小，当x时，EM的长度由小变大，所以函数Lf(x)不单调，所以错误连接CE，CM，CN，则四棱锥CMENF被分割为两个小三棱锥，它们是以CEF为底，分别以M，N为顶点的两个小三棱锥因为三角形CEF的面积是常数，M，N到平面CEF的距离是常数，所以四棱锥CMENF的体积Vg(x)为常函数，所以正确故答案为.答案：三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC90，ABADCD，BEDF.(1)若M为EA的中点，求证：AC平面MDF；(2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小解：(1)设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC的中点，因为M为EA的中点，所以MNAC，又因为AC平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.(2)因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，且DE平面CDEF，DECD，所以DE平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DAa，DEb，则B(a，a,0)，E(0,0，b)，C(0,2a,0)，F(0,2a，b)，(a，a，b)，(0,2a，b)，(a，a,0)，因为BEDF，所以(a，a，b)(0,2a，b)b22a20，ba.设平面EBC的法向量m(x，y，z)，由，可得到m的一个值为m(1,1，)，注意到平面EAD的一个法向量n(0,1,0)，而cosm，n，所以平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小为60.17如图，三棱柱ADEBCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EAAB，ADAEEF1，平面ABGE平面ABCD.(1)求证：AF平面FBC；(2)求二面角BFCD的正弦值解：(1)四边形ABCD是矩形，BCAB，又平面ABGE平面ABCD，BC平面ABGE，AF平面ABGE，BCAF.在AFB中，AFBF，AB2，AF2BF2AB2，即AFBF，又BFBCB，AF平面FBC.(2)分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，F(0,1,1)，(1,0,1)，(0,2,0)，设n1(x，y，z)为平面CDEF的法向量，则，即.令x1，得z1，即n1(1,0,1)，取n2(0,1,1)为平面BCF的一个法向量，cosn1，n2，二面角BFCD的正弦值为.18四棱锥EABCD中，ADBC，ADAE2BC2AB2，ABAD，平面EAD平面ABCD，点F为DE的中点(1)求证：CF平面EAB；(2)若CFAD，求二面角DCFB的余弦值解：(1)取AE的中点G，连接GF，GB.点F为DE的中点，GFAD，且GFAD，又ADBC，AD2BC，GFBC，且GFBC，四边形CFGB为平行四边形，则CFBG.而CF平面EAB，BG平面EAB，CF平面EAB.(2)CFAD，ADBG，而ABAD，AD平面EAB，ADEA.又平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，EA平面ABCD，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，F(0,1,1)设平面BCF的法向量为n1(x，y，z)，则，即，不妨令x1，可得n1(1,0,1)设平面CDF的法向量为n2，同理可求得n2(1,1,1)，cosn1，n2.二面角DCFB为钝二面角，二面角DCFB的余弦值为.19如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB上的一点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若E是PB的中点，且二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解：(1)PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，设P(0,0，a)(a0)，则E，(1,1,0)，(0,0，a)，(1,1，a)显然m(1，1,0)为平面PAC的一个法向量，设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则nn0，即，取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，|cosm，n|，则a2，于是n(2，2，2)，(1,1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值解：(1)取AB的中点为O，连接OD，OB1，因为B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，所以AB平面B1OD，因为OD平面B1OD，所以ABOD，由已知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1，因为ABBB1B，所以OD平面ABB1A1.又OD平面ABC，所以平面ABC平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知B1(0,0，)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)则(0,1，)，(2,2,0)，(1,0，)设平面ACC1A1的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即xy0，xz0，可取m(，1)设直线B1D与平面ACC1A1所成的角为，故sin.21已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等边三角形，E为棱PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)若侧面PAD底面ABCD，PBAC，求二面角BACE的大小解：(1)连接BD交AC于点F，连接EF，底面ABCD为矩形，F为BD的中点，又E为PD的中点，EFPB.又PB平面AEC，EF平面AEC，PB平面AEC.(2)取AD的中点O，连接PO，则POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD，取BC的中点M，连接OM，则OMAD，以O为坐标原点，以OA，OM，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设OA1，ABm(m0)，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1，m,0)，C(1，m,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，E，(1，m，)，(2，m,0)，PBAC，2m20，m，平面ABC的一个法向量m(0,0,1)，设平面ACE的法向量n(x，y，z)，(2，0)，由n0，n0得：，令x1，得n(1，)，cosm，n，二面角BACE为钝二面角，所求二面角的大小为135.
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