高考数学 浙江专用总复习教师用书：第7章 第2讲　等差数列及其前n项和 Word版含解析

第2讲等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.通项公式的推广：anam(nm)d(m，nN*).(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项).3.等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和.(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.4.等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).5.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(20xx重庆卷)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A.1 B.0C.1 D.6解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.答案B3.(20xx长沙模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S32a3，S515，则a2 016_.解析在等差数列an中，由S32a3知，3a22a3，而S515，则a33，于是a22，从而其公差为1，首项为1，因此ann，故a2 0162 016.答案2 0164.在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.解析由题意知d0且即解得1d.答案5.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案1806.(20xx金华四校联考)设等差数列an的前n项和Snn2bnc(b，c为常数，nN*)，若a2a34，则c_，b_.解析数列an是等差数列，且前n项和Snn2bnc，c0，则Snn2bn，又a2a3S3S193b1b4，b2.答案02考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(20xx全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99 C.98 D.97(2)(20xx唐山模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析(1)设等差数列an的公差为d，由已知，得所以所以a100a199d19998.(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得解得即S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，由S36，S412可得解得即Snn2n，则S636630.答案(1)C(2)30规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)(20xx全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和.若S84S4，则a10等于()A. B.C.10 D.12(2)(20xx浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.解析(1)由S84S4，得8a114，解得a1，a10a19d，故选B.(2)因为a2，a3，a7成等比数列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，由于d0，a1d，2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，a1，d1.答案(1)B(2)1考点二等差数列的判定与证明(典例迁移)【例2】 (经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式.故an【迁移探究1】 将本例条件“an2SnSn10(n2)，a1”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解.(1)证明当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即SnSn12(SnSn1)0.即.又.故数列是以首项为，公差为的等差数列.(2)解由(1)知，Sn，当n2时，anSnSn1当n1时，a12不适合上式，故an【迁移探究2】 已知数列an满足2an1anan11(n2)，a12，证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式.解当n2时，an2，1(常数).又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列.1(n1)1，an.规律方法等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(20xx全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5 B.7 C.9 D.11(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 017_.解析(1)an为等差数列，a1a52a3，得3a33，则a31，S55a35，故选A.(2)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d.则6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.答案(1)A(2)B(3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具.(1)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列.(2)在等差数列an中，数列也成等差数列.【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10(2)(20xx广东卷)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.解析(1)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.(2)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.答案(1)A(2)10考点四等差数列前n项和及其最值【例4】 (1)(20xx台州月考)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.答案(1)C(2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】 设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A.9 B.10 C.11 D.12解析由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，故n10时，Sn最大.答案B思想方法1.在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.易错防范1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(20xx武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析法一由题意可得解得a15，d3.法二a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.答案C2.已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A.10 B.20 C.30 D.40解析设项数为2n，则由S偶S奇nd得，25152n，解得n5，故这个数列的项数为10.答案A3.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010 B.a2a1000C.a3a990 D.a5151解析由题意，得a1a2a3a1011010.所以a1a101a2a100a3a990.答案C4.(20xx浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d0，dS40 B.a1d0，dS40，dS40 D.a1d0解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20(d0)，又S44a1d，dS40，a8a90的最大n是_；数列(1n0，a8a90，而S168(a8a9)0的最大n为15.a80，a90，S8最大，且a8为an的最小正数项，a9，a10，均小于零，所以当9n15时，均小于零，当n8时，最大，即数列(1n15)的最大值是第8项.答案1588.设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m_.解析法一由已知得，amSmSm12，am1Sm1Sm3，因为数列an为等差数列，所以dam1am1，又因为Sm0，所以m(a12)0，因为m0，所以a12，又ama1(m1)d2，解得m5.法二因为Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.法三因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn，所以数列也为等差数列.所以，即0，解得m5，经检验为原方程的解.答案5三、解答题9.(20xx全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an首项为a1，公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1，2，3时，12，bn1；当n4，5时，23，bn2；当n6，7，8时，34，bn3；当n9，10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.10.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数.(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.由2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(20xx东北三省四市联考)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为()A. B. C. D.解析依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a2m，am，a，am，a2m，则有解得a20，m，a2m，即其中最小一份为，故选A.答案A12.(20xx浙江卷)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()A.Sn是等差数列 B.S是等差数列C.dn是等差数列 D.d是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Snhn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hnh1|A1An|tan (其中为两条线所成的锐角，为定值)，从而Sn(h1|A1An|tan )|BnBn1|，Sn1(h1|A1An1|)|BnBn1|，则Sn1Sn|AnAn1|BnBn1|tan ，都为定值，所以Sn1Sn为定值，故选A.答案A13.(20xx东阳统考)已知是等差数列，f(1)2，f(2)6，则f(n)_，数列an满足an1f(an)，a11，数列的前n项和为Sn，则S2 015_.解析设公差为d，由题意得d321，2(n1)1f(n)n2n，an1f(an)aanan(1an)，SnSn1，S2 0151.答案n2n114.在数列an中，a15，a22，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和.解(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.A(n)C(n)2B(n)，整理得an2an1a2a1253，数列an是首项为5，公差为3的等差数列，an53(n1)3n8.(2)|an|记数列|an|的前n项和为Sn.当n2时，Snn；当n3时，Sn7n14，综上，Sn15.在公差不为0的等差数列an中，a3a1015，且a2，a5，a11成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)设bn，证明：bn1.(1)解设等差数列an的公差为d.由已知得注意到d0，解得a12，d1.所以ann1.(2)证明由(1)可知bn，bn1.因为bn1bn0，所以数列bn单调递增.所以bnb1.又bn1，因此bn1.