高考数学 浙江专用总复习教师用书：第5章 第2讲　平面向量基本定理与坐标表示 Word版含解析

第2讲平面向量基本定理与坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()(5)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b(0，0)，则无意义.(5)向量a与b的夹角为ABC的补角.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(20xx东阳月考)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab等于()A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)解析2ab2(2，4)(1，1)(3，9)，故选D.答案D3.(20xx全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)解析根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.答案A4.(20xx全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.答案65.(必修4P101A3改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案(1，5)6.(20xx浙江五校联考)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足20.(1)用，表示为_；(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是_.解析(1)因为20，所以2()()0，所以2.(2)如图，D为OB的中点，则(2).故，即DAOC，且DAOC，故四边形OCAD为梯形.答案(1)2(2)梯形考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(20xx全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.(2)(20xx金华调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.解析(1)如图所示，()()().(2)设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案(1)A(2)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.(2)(20xx南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则_.解析(1)()ab.(2)由题意可得，由平面向量基本定理可得，所以.答案(1)ab(2)考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A.(23，12) B.(23，12)C.(7，0) D.(7，0)(2)(20xx北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若cab(，R)，则()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)3a2bc(23x，12y)0，故x23，y12，故选A.(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，cab，解之得2且，因此，4，故选D.答案(1)A(2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为()A.(7，4) B.(7，14)C.(5，4) D.(5，14)(2)(20xx江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2).若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析(1)设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5).由3a，得解得(2)由向量a(2，1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn3.答案(1)D(2)3考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|BP|，则点P的坐标为_.解析(1)由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)0，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8).(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所以点P的坐标为(8，15).答案(1)(4，8)(2)(8，15)规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(b0)，则ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(20xx浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C. D.(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.解析(1)(4，1)(1，3)(3，4)，与同方向的单位向量为.(2)(a1，3)，(3，4)，根据题意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.答案(1)A(2)思想方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.易错防范1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A组2(6)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B2.(20xx沈阳质监)已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，则()A.(1，12) B.(1，12)C.(1，12) D.(1，12)解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，12)，故选B.答案B3.已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选A.答案A4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A.e1e2B.2e1e2C.2e1e2D.2e1e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1(1，0)，e2(1，1)，a(3，1)，因为axe1ye2x(1，0)y(1，1)，(xy，y)，则解得故a2e1e2.答案B5.已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A. B. C. D.解析(4k，7)，(2k，2)，因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.答案A6.(20xx诸暨市调研)在ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs等于()A. B. C.3 D.0解析因为2，所以()，则rs0，故选D.答案D7.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则等于()A.(2，7) B.(6，21) C.(2，7) D.(6，21)解析(3，2)，Q是AC的中点，2(6，4)，(2，7)，2，3(6，21).答案B8.(20xx河南八市质检)已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则向量()A. B.C. D.解析如图，2，().答案C二、填空题9.已知向量a(x，1)，b(2，y)，若ab(1，1)，则xy_.解析因为(x，1)(2，y)(1，1)，所以解得所以xy3.答案310.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_.解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案11.已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.解析因为a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，所以u(1，2)2(x，1)(2x1，4)，v2(1，2)(x，1)(2x，3).又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案12.在平行四边形ABCD中，e1，e2，则_(用e1，e2)表示.解析如图，2()e2(e2e1)e1e2.答案e1e213.(20xx丽水月考)平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)满足ambnc的实数m，n分别为_；(2)若(akc)(2ba)，则实数k_；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，则d的坐标为_.解析(1)由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)，解得(2)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2，4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5，3).答案(1)，(2)(3)(3，1)或(5，3)能力提升题组(建议用时：15分钟)14.(20xx长沙调研)如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2 ，则()A.x，y B.x，yC.x，y D.x，y解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.答案A15.已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A.2 B. C.3 D.4解析0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1，0)，(0，)，mn(m，n).tan 30，m3n，即3，故选C.答案C16.已知点A(1，2)，B(2，8)，则的坐标为_.解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，2y2)，(3，6).因为，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(2，0)，从而(2，4).答案(2，4)17.(20xx金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_；最小值为_.解析以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2；当0或时，xy取得最小值1.答案2118.(20xx四川卷改编)已知正ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是_.解析建立平面直角坐标系如图所示，则B(，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2(y3)21.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x2x0，y2y0，代入圆的方程得，所以点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以|max，所以|.答案