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2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景的几何背景, ,平面几何图形的许多性质平面几何图形的许多性质, ,如平移、如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用体实例，说明向量方法在平面几何中的运用. . 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. .因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题决物理问题，又是一个值得探讨的课题. .日常生活中日常生活中, ,我们有时要用同样长的两根绳子挂一我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体个物体( (如图如图).).如果绳子的最大拉力为如果绳子的最大拉力为 , ,物体受到物体受到的重力为的重力为 你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 的的大小与两绳之间的夹角大小与两绳之间的夹角的关系？的关系？FG.1F1.1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂直等问题垂直等问题. .2.2.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题角度、垂直等问题. .( (重点、难点）重点、难点）3.3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤步骤. .4.4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识深对所学向量的概念和向量运算的认识. .（难点）（难点）1.1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？系？提示：对角线长度的平方提示：对角线长度的平方= =两邻边的平方和两邻边的平方和. .平行四边形有类似的数量关系吗？平行四边形有类似的数量关系吗？探究点探究点1 （长度问题）（长度问题）思考思考1 1：如图，在平行四边形：如图，在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是否确定？的长是否确定？提示：确定提示：确定A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，设向量中，设向量 则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ ABa ，ADbACDB DBab,ACab. 提示提示:2222222,4,24,24,1.2 由由得得=4=4即即（）所所以以abababaa bbaa bba b2,1,-2,?3 利利用用如如何何求求等等于于多多考考少少？思思 aba ba bAC22222|()226. ACababaa bbaa bb提示提示:【即时训练即时训练】例例1.1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，型，如图， 你能发现平行你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？吗？A AB BC CD DACAB AD,DBAB AD, ,. ，解解：设设则则ABa ADbACab DBab222() ()2(1)ACAC ACababa aa bb ab baa bb 2222(2) 同同理理 DBaa bb222222(1)(2)2()2(). 得得 ACDBabABAD注意这种求注意这种求模的方法模的方法 平行四边形两条对角线长的平方和等于两平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍条邻边长的平方和的两倍. . 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ （1 1）建立平面几何与向量的联）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为何元素，将平面几何问题转化为向量问题向量问题. .（2 2）通过向量运算，研究几何）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角元素之间的关系，如距离、夹角等问题等问题. .（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几成几何元素何元素. .用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步法三步法”：【方法规律方法规律】几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化【变式练习变式练习】例例2.2.如图，如图，ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别是分别是ADAD，DCDC边边的中点，的中点，BEBE，BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R，T T两点，你能两点，你能发现发现ARAR，RTRT，TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TCABa,ADb,ARr,ACab. 解解设设：则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设因为因为ARA C rn(a b),nR，又因为又因为 共线，共线，所以设所以设EREB 与1ERmEBm(ab).2 因为因为 所以所以ARAEER ，11rbm(ab).221122因因此此 ()()，n abbm ab 1EBABAEab,2 m1(nm)a(n)b0.2即即因因向向 量量 a a, ,b b不不 共共, ,为线nm0m1n0.2所所以以，nm.1=3解解 得得 ：111ARAC,TCAC,RTAC.333ARRTTC. 所所以以同同理理于于是是故故 利用待定系数法，结合向量共线定理和平利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求面向量基本定理，将问题转化为求m m，n n的值，的值，是处理线段长度关系的一种常用手段是处理线段长度关系的一种常用手段. .【方法规律方法规律】【变式练习变式练习】例例1.1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？与所耗力气的大小有什么关系？提示：夹角越大越费力提示：夹角越大越费力. .探究点探究点2 利用向量解决力（速度、位移）利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解的合成与分解思考思考1:1:若两只手臂的拉力为若两只手臂的拉力为 物体的重力为物体的重力为 那么那么 三个力之间具有什么关系？三个力之间具有什么关系？12F F ，G,12F F G ，12FFG0. 提示提示:思考思考2:2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为，那么那么| | |，| | |，之间的关系如何？之间的关系如何？1 1|G|G|F |=，|F |=，2cos2cos2 20180 1F2F GFG1F提示提示:思考思考3:3:上述结论表明，若重力上述结论表明，若重力 一定，则拉力的一定，则拉力的大小是关于夹角大小是关于夹角的函数的函数. .在物理学背景下，这在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？个函数的定义域是什么？单调性如何？1|,2cos2 GF0180 G增函数增函数提示提示:思考思考4:4: | | |有最小值吗？有最小值吗？| | |与与| | |可能相等可能相等吗？为什么？吗？为什么？110,2120.时时，最最小小，最最小小值值为为时时，GFFG1F1FG提示提示:用向量解力学问题用向量解力学问题对物体进行受力分析对物体进行受力分析画出受力分析图画出受力分析图转化为向量问题转化为向量问题1.1.问题的转化问题的转化, ,即把物理问题转化为数学问题即把物理问题转化为数学问题. .2.2.模型的建立模型的建立, ,即建立以向量为主题的数学模型即建立以向量为主题的数学模型. .3.3.参数的获得参数的获得, ,即求出数学模型的有关解即求出数学模型的有关解-理论理论参数值参数值. .4.4.问题的答案问题的答案, ,即回到问题的初始状态即回到问题的初始状态, ,解释相关的解释相关的物理现象物理现象. .【方法规律方法规律】10N【互动探究互动探究】122.d=500mA.v =10km/hv=2km/h(0.1min) 例如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从处出发到河对岸 已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少 精确到？A AC CB BD D12122vvvv10km / h, v2km / hvvt. 如如图图，已已知知，析析，求求分分：A A2v 1v vC CB BD D20. 由由 已已 知知件件 得得解解 ：v v条2212| v | v | v|96 (km / h), 0.5603.1(m in).|96所所 以以 dtv 答：行驶航程最短时，所用时间是答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.3.1 min.【变式练习变式练习】 1.1.在在四四边边形形ABCDABCD中中AB BC=0AB BC=0，且且AB=DCAB=DC，则则四四边边形形ABCDABCD是是（ ）A.A.平平行行四四边边形形 B. B.矩矩形形C.C.菱菱形形 D. D.正正方方形形B BC CB【解题关键解题关键】代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程设出设出P（x，y）和）和R（x0，y0）的坐标，用）的坐标，用 P的坐的坐标表示标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简点的坐标，之后代入已知直线方程化简即得。即得。1.1.用向量方法证明几何问题时用向量方法证明几何问题时, ,首先选取恰当的基首先选取恰当的基底底, ,用来表示待研究的向量用来表示待研究的向量, ,在此基础上进行运算在此基础上进行运算, ,进而解决问题进而解决问题. .2.2.要掌握向量的常用知识：要掌握向量的常用知识：共线；垂直；共线；垂直；模；夹角；向量相等模；夹角；向量相等. .3.3.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤用向量方法解决平面几何问题的三个步骤建立平面几何与向量的联系，用建立平面几何与向量的联系，用向量向量表示问表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为为向量问题向量问题通过向量通过向量运算运算，研究几何元素之间的关系，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题如距离、夹角等问题把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系转化转化运算运算翻译翻译4.4.利用向量解决物理问题的基本步骤：利用向量解决物理问题的基本步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. .5.5.平面向量知识结构图平面向量知识结构图一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。邵谒
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