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8.1坐标系与参数方程(二选一)命题角度1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化高考真题体验对方向1.(20xx全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2.(20xx全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.3.(20xx全国22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan =k,则l的方程为y=kx-,l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数,.4.(20xx全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.6.(20xx全国23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.新题演练提能刷高分1.(20xx安徽淮南一模)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0,所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得所以C1与C2交点的极坐标分别为,2,.2.(20xx江西六校联考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(其中t为参数),在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的最小值.解(1)由得l的普通方程x-y-1=0.又由=4sin ,得2=4sin ,所以,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.(2)设P(x,y),M(x0,y0),则+(y0-2)2=4,由于P是OM的中点,则x0=2x,y0=2y,所以(2x)2+(2y-2)2=4,得点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=1,轨迹为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.圆心(0,1)到直线l的距离d=.所以点P到直线l的最小值为-1.3.(20xx重庆二诊)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=5cos .(1)写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)记曲线C1和C2在第一象限内的交点为A,点B在曲线C1上,且AOB=,求AOB的面积.解(1)由题C1:y2=4x,2sin2=4cos ,即sin2=4cos ,C2:x2+y2=5x.(2)联立y2=4x和x2+y2=5x,得xA=1,yA=2,设B,m,由OAOB,=-,得m=-8,B(16,-8),SAOB=|OA|OB|=8=20.4.(20xx广东江门一模)已知曲线C1的极坐标方程是=4sin ,以极点为原点,极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C2的参数方程化为普通方程;(2)求曲线C1与曲线C2交点的极坐标.解(1)由曲线C2的参数方程得t=(x+y),(x-y).两式相乘可得曲线C2的普通方程为=1.(2)由=4sin 得2=4sin ,故曲线C1的直角坐标为x2+y2=4y.解方程组由得=2,sin =,cos =,故=,因此对应点的极坐标为.同理得对应点的极坐标为,故所求交点的极坐标为.5.(20xx山东烟台一模)已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为.(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标.(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求APQ的面积.解(1)由+y2=1.因为点A的极坐标为2,所以x=2cos =1,y=2sin .A在直角坐标系下的坐标为(1,).(2)将代入+y2=1,化简得10t2-6t-11=0,设此方程两根为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-.|PQ|=.因为直线l的一般方程为x+y-1=0,所以点A到直线l的距离d=.APQ的面积为.6.(20xx湖南、江西十四校第一次联考)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)设M1为曲线C1上的点,M2为曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.解(1)且2=x2+y2,由=得-sin =2=sin +22=(sin +2)2x2+y2=y2+4y+4x2=4y+4,曲线C2的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设M2x,-1是曲线C2上的任意一点,由消去t得2x-y-10=0,知曲线C1为直线l:2x-y-10=0.设M2到l的距离为d,则|M1M2|d=(当且仅当x=4时取“=”),故|M1M2|的最小值为.命题角度2极坐标与参数方程的综合应用高考真题体验对方向1.(20xx全国22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.3.(20xx全国23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.由|AB|=得cos2=,tan =.所以l的斜率为或-.新题演练提能刷高分1.(20xx安徽江淮十校4月联考)平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=4sin +.(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若射线OM:=0(0)平分曲线C2,且与曲线C1交于点A,曲线C1上的点B满足AOB=,求|AB|.解(1)曲线C1的直角坐标方程是+y2=1,化成极坐标方程为2=;曲线C2的直角坐标方程是(x-1)2+(y-)2=4.(2)曲线C2是圆,射线OM过圆心,所以方程是=(0),代入2=,又AOB=,所以=2,因此|AB|=.2.(20xx江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为=(R),=(R),设直线l1,l2与曲线C的交点为O,M,N,求OMN的面积.解(1)由参数方程得普通方程x2+(y-2)2=4,所以极坐标方程2cos2+2sin2-4sin =0,即=4sin .(2)直线l1:=(R)与曲线C的交点为O,M,得M=|OM|=4sin=2,又直线l2:=(R)与曲线C的交点为O,N,得N=|ON|=4sin=2,且MON=,所以SOMN=|OM|ON|=22=2.3.(20xx河北石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(r0,为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin=1,若直线l与曲线C相切.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足MON=,求MON面积的最大值.解(1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y=x+2,曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,可得r=2;可知曲线C的方程为(x-)2+(y-1)2=4,所以曲线C的极坐标方程为2-2cos -2sin =0,即=4sin.(2)由(1)不妨设M(1,),N(10,20),SMON=|sin 12=4sinsin=2sin cos +2cos2=sin 2+cos 2+=2sin2+.所以MON面积的最大值为2+.4.(20xx广东深圳第二次调研)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C1的参数方程为(为参数),圆C2的参数方程为(为参数).若直线l分别与圆C1和圆C2交于不同于原点的点A和B.(1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆C1和圆C2的极坐标方程;(2)求C2AB的面积.解(1)由题意可知,圆C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,极坐标方程为=2cos ,由题意可知,圆C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16,即x2+y2-8y=0,极坐标方程为=8sin .(2)直线l的极坐标方程为=(R),直线l与圆C1,C2交于不同于原点的点A,B,A=2cos,B=8sin=4,|AB|=|A-B|=4-.又点C2(0,4)到直线AB的距离为2,(4-)2=4-3,C2AB的面积为4-3.5.(20xx东北三省三校二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2:x2+=1.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)射线=(0)与曲线C1的异于极点的交点为A,与曲线C2的交点为B,求|AB|.解(1)曲线C1的参数方程(为参数)可化为普通方程x2+(y-1)2=1,由可得曲线C1的极坐标方程为=2sin ,曲线C2的极坐标方程为2(1+cos2)=2.(2)射线=(0)与曲线C1的交点A的极径为1=2sin ,射线=(0)与曲线C2的交点B的极径满足1+cos2=2,解得2=,所以|AB|=|1-2|=.6.(20xx山东济南一模)在直角坐标系xOy中,过点P(1,2)的直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于M,N两点,求的值.解(1)由已知得消去t得y-2=(x-1),化为一般方程为x-y+2-=0,即l:x-y+2-=0.由=4sin 得,2=4sin ,即x2+y2=4y,整理得x2+(y-2)2=4,即C:x2+(y-2)2=4.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中得:t+12+t2=4,即t2+t-3=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则=.
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