方程有解问题的常用处理办法

方程有解问题的常用处理办法湖南安仁一中李春国(邮编423600电话)(少年智力开发报数学专页湖南郴州工作站薛珠贵推荐)方程f(x) =0有解的问题实际上是求函数y = f (x)零点的问题，判断方程f(x) =0有几个解的问题实际上就是判断函数y = f (x)有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程f (x) = 0的根，此法一般适合于含有一元二次(三次)的整式函数，或由此组合的分式函数。广 2 x2 + 2x 3 (x 兰 0)例1( 2010年福建理4)函数f(x) =-丿的零点个数为()厂2 + 1 nx (xaO)A. 0B. 1C. 2D. 3解：当 x 二 0 时，由 f (x) = x2 2x3 得 x =1 (舍去)，x - -3 ；当 x 0 时，由f (x) = -2 In x2=0得X =e，所以函数f(x)的零点个数为2，故选Co、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程f (x) - g(x) =0，可以先转化为方程5f(x) =g(x)，再在同一坐标系中分别画出函数 y = f (x)和y =g(x)的图象，两个图象交 点的横坐标就是原函数的零点， 有几个交点原函数就有几个零点。 次法一般适合于函数解析式中既含有二次(三次)函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。例2 (2008年湖北高考题)方程 2 x2 =3的实数解的个数是 解析：在同一坐标系中分别作出函数f(x) =2“和g(x) - -x2 3的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数 法来判定有无零点。1例3 (2009年天津高考题)设函数 f (x) x -1n x(x 0)，贝V y = f (x)()3A. 在区间(,1),(1,e)内均有零点e1B. 在区间(-,1), (1,e)内均无零点e1C. 在区间(-,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点e1D. 在区间(一,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点e11x_3x_3解析：令 f (x)0= x 3，令 f (x)0= 0 ： x ： 33 x 3x3x所以函数f(x)在区间(0,3)上是减函数，在区间(3, ：)上是增函数，在 x = 3处取得 极小值1 e111-ln 3 ： 0，又 f (1)0, f (e)1 ： 0, f ()1 0，故选 D。33e3e四、利用零点存在性定理利用该定理不仅要求函数f(x)在a,b上是连续的曲线，且f(a)f(b) ：0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性)才能确定函数有几个零点。例4设aI2,3,4；b 24,8,12/，求函数f(x) =x3 - ax-b在区间(1,2)上有零点的概率。解：；a 42,3,4，易知函数f (x) = x3 ax -b在区间(1,2)上单调递增，若函数 3f(x)二 x ，ax-b 在 区 间(1,2)上有 零点，贝y f (1) f (2) 0 ， 即 (1 a -b)(8 2a -b) ： 0。所以当 a = 1 时，b = 4 或 b=8 ；当 a=2 时，b = 4 或 b = 8 ； 当a =3时，b=8或b=12 ；当a=1时，b=8或b=12，故满足条件的事件有 8个，其”. 1 1 8 1中基本事件有C4C4 =16个，故所求事件的概率为p =16 2五、分离参数法. 2例5 (2007广东卷理20)已知a是实数，函数f x = 2ax 2x - 3 - a,如果函数y二f x在区间|-1,1 上有零点，求实数a的取值范围。3解法 1: a = 0 时，f x 二 2ax2 2x - 3 - a = x -1,1，故 a = 02f x =2ax2 2x-3-a=0在区间丨-1,1 上有解=(2x2 -1)a =3-2x在区间 1-1,11 上有解2a 3 -2x：二1 =空一在区间.t,1 上有解1-2x2 -1二Jyy =,x 引-1,1a3-2x问题转化为求函数、血 -在区间1-1,1上的值域。3 2x设 g(x)；x；x e 令 g(x)-4x2 12x-2 门 370= x 二(3 - 2x)2g(x)二213 2x,x -1,1的值域为. 7 3 一 g(x) 一 1其图象如图所示:由此可知可知:13 +：7.7 - 3_1，即 a_-或 a -1a2法32(x-2) -y =2376(x)2 23-2(x)2315令t =3_x(丄空t空5)222x) -324(3 - x)2则y =t 工- 34t利用对勾函数性质可得13 弋 j 77-3_y_1 即 7 -31 ，故 a或a2a -1.g (x), g(x)随变化的情况如下表:x-1占)3-V7(笃71)12g(x)一0+g(x)15V7-313 2x解法2： f x =2ax2 2x_3_a=0在区间L 1,1上有解：=a 2 在区间L 1,11上 2x -1有解3 2x2x2的图象有交点724x -12x 2(2x2 -1)22由 h (x)=-2(2x -1)-4x(3-2x)2 2(2x2 -1)2y、y随x变化的情况如下表:x-1(-1,-)(占 J7、3-47z3-V7 占、(孕)12，2 )2(2 ，2)y+0一一y53+77123 _2x函数g(x) 2的草图如下：2x -13 + 二y - f(x)与y二a的图象在区间I上有交点(2) 方程f (x)二a在区间I上有几个解=y = f (x)与y = a的图象在区间I上有几个交 占八、例 6 设函数 f (x) = In x x2 -2ax a2, a R1(1)若函数f (x)在【2,2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；(2)求函数的极值点。1 i解：(1)函数f (x)在,2上存在单调递增区间 =不等式f (x)0在,2上有解2 2111二 a ：. X在,2上有解= a : (X )max2x22x119令g(x)二X ,X一,2，结合对勾函数性质知g(x)max ，所以2x249 a :42(2)令 f (x) = 0二 2x2aX_ =0= 2x2 - 2ax 1=0于是问题转化为求一元二次方程2x - 2ax 1=0在(0,：；3)上的解!解法一：用直接法直接求解因为尺=4a2 -8，所以当尺=4a2 -8 ： 0，即一 2 . a、2时，方程无解，所以没有极值点;2L42当.： = 4a8 = 0，即a -2时，对应的x =2，但在的左右两侧2导数值f(X)均大于0,所以没有极值点;当 a ： -、.2 时，& =4a2 -8 . 0，但 x1a+Ja2 -2X20所以方程在(0, ：)无解，没有极值点;当 a 2 时，厶=4a2 - 80，且XiX2 -亠a la2 -2其中xi是极大值点,X2是极小值点。综上所述，a 0= a 匹 209所以，当a .、.2时方程有两个正根,aa222和X2a /a2 -22为函数f (x)的极值点；当a 、2时，方程没有正根，所以没有极值点。 解法三：图象法2 1由 2x -2ax 1=0= a = x , x (0,：)2x一i分别画出y=a和y=x ,xw(0，)的图象2x由图可知当a 、一2时图象有两个交点，对应的方程有两个正根，a - .a2 _2a a2 -2即x1和x2为函数f (x)的极值2 2x 二的左右两侧导数值2f (x)均大于0,所以没有极值点；当2时，两图象没有交点，方程没有正根，所以没有极值点。评注：本题第(1)问是不等式有解问题，而第(2)问是方程有解问题，采用了三种不同的方法来处理。例 7 已知 f(x)二 sin(x), x 0，二及 g(x)二 a cosx 2, a = 0 ，若6 0,二,x-。2 22例 8 已知函数 f1(x)mx一，f2(x)=()x，4x2 +162其中m R且m = 0(1 )判断函数f_,(x)的单调性；(2)若 m ： -2，求函数 f(x)二 fMx) - f2(x) (x -2,2)的最值;(3)设函数g(x)=丿fi(x),x2，当m2时，若对于任意的 花“2,址)，总存在唯一2(x),xc2的X2 (7,2，使得g(xj =g(X2)成立，试求m的取值范围。解：( 1 g当m .0时，fi(x)在(-：，-2 )和(2：)上是减函数，在(-2,2)上是增函数;当m . 0时，fi (x)在(-：，-2) 和 (2,：)上是增函数，在(-2,2)上是减函数。(2)-2 _ x _ 2, m ： -2,x m 0，所以f (x) =fi(x) f2(x)二mx (1) x讥mx .4x2 1624x2 1622m(2)mx24x216由(1)知fdx)在(-2,2)上是减函数且f2(x)在(-2,2)上也是减函数所以f (x)在-2,2上是减函数当 x=2时， f(X)max = f(-2) =2m2 - 巴；当 x=2 时16心馬=f(2) =2心16(3)为 _2, g(xj = fO严 ，4捲 +16由(1)知亦)在十)上是减函数，所以g(x円0他，即g(x1円0护1、X2/1、m = / 1、mX2又X2：2,.X2m ：0，g(X2)=f2(X2)=()=()=(一)22 2 2g(X2)在(：,2)上是增函数，所以 g(X2) (0,f2(2)，即 g(X2)(0,(丄)2)2对任意& 2, ：)，总存在唯一的X2 (：,2)，使得g(xJ=g(X2)成立，=(0, (0,(丄)2)，故只需:(l)m，即-(丄)2 ： 0，16 2 16 2 16 2为此令h(m)二卫-(丄)m，则h(m)在2：)上是增函数，16 217而且有 h(2)10，h(4) =0，所以 h(m) : 0 时，2 - m ： 488故所求m的取值范围是2,4)。评注：一般地：分别定义在区间a,b和c,d上的函数f(x),g(x),若 vxi e a,b , 5x2“c,d，使 f(xJ = g(X2)成立二 切 y = f (x),x“a, b匸、y = g(x),xwc,dmx例9 (2012年南昌市一模第 21题)已知函数f (x(m, nR)在x=1处取到极值x + n2.(1) 求f (x)的解析式；1 1(2) 设函数g(x)=axl nx.若对任意的禺引,2，总存在唯一的x 2,e ( e为自2- - e然对数的底)，使得g(x2)= f(xD，求实数a的取值范围.m(x2 n) -2mx2 -mx2 mn解：(1) f(X)二(x2n)2二(x2 n)2由f (x)在x =1处取到极值mnm22，故 f(1) = 0, f (1) = 2 即(1 n)I旦=2.1 n解得m =4, n =1，经检验，此时f (x)在X =1处取得极值.故f(X)二4x13由(1)知，故f(x)在I)上单调递增，在(1,2)上单调递减188由 f(1)=2, f(2)=f() ，故 f(x)的值域为,2255依题意 g(x)=a-，记 M = i2 ,e , x M.xee xa依题意由8* g(e) 51(i)当a 时，g(x)乞0 , g(x)在M上单调递减, eg(E)-2 e1 2 11 1 1 1 (ii)当 a :： e 时，e2，当 (i ,)时，g (x) 0，当 x ()e 时，g (x)0ea ee aa2依题意得:1_ a e:eg(e)g(+)_21 2 a e e g(e) _2 ,1、 Ig( 2)- e 5解不等式组（I）得1 ： a乞13，而不等式组（n）无解。e 5e130(2) 当* g(t) a0 ，即1 t v4时，方程g(x) =0在(2,t)内有两解；9(X)min -2，总存在x0三(-2,t)，满足1t4X1 Oy = x2 _ xly =彳?x- 1 f(XX。)=2 (t _1)2，且-2 :t 叮或 t _4 时，有唯e 03一的x0适合题意；当1 t 4时，有两个x0适合题 意。方法二：如图所示，分别作出函数y = x2 - x和2 2y (t -1)的图象，由图可知：3当- 2 1或t_4时，方程在(-2,t)内有一解；当1 ：t ：4时，方程在(-2,t)内有两解。