谈谈小学数学练习的有效性

小学数学练习的有效性小学数学练习的功能1. 巩固知识2 运用知识3 发展能力 智力（1）知识引入教师讲解。示范 （2）动手操作 Hands on （3）口头语言表述 （4）不出声去完成操作， 符号表述 （5）简化、压缩。内化 （6）同化形成自己的知识结构 非智力学习情感、态度 习惯专注力4. 感受和体会数学思想方法二 练习过程分析通过练习形成技能的过程中，它的进步情况可以用一种曲线表示，这叫练习曲线。 这种练习曲线可以反映出技能形成过程中的工作效率、活动速度和准确性方面的变化。(一)练习曲线的几种共同趋势 在各种技能形成过程中，既有共同之处，又有个别差异，这些都可以从练习曲线上反映出来。 1.练习成绩逐步提高这种趋势可以用以下三种练习曲线表示出来。 (1)表示工作量对练习时间的关系：单位时间内完成的工作量随着练习时间的增加而增加，这是练习成绩提高的速度标志。 （2)表示每次练习所需时间对练习次数的关系： 每次练习所需时间随着练习次数的增多而逐步 减少这也是练习成绩提高的速度标志。 (3)表示每次练习的错误数对练习次数的关系：练习中发生错误的数量随着练习次数的增多而逐步减少，这是练习准确性提高的标志。以上这些共同趋势又有不同的表现形式，一般可以概括为以下三种： (1)在多数情况下，练习的进步总是先快后慢的。这里有着各种原因，例如，开始练习时，可能有较多的已有经验可以利用；操作较为简单；兴趣比较浓厚；情绪比较振奋等等c以后随着这些因素的变化，速度可能逐步减慢。 (2)在少数情况下，练习的进步也可能表现为先慢后快。这种情况的产生，常常由于开始练习时要用较多的精力去熟悉基础知识和基本技能，因此进步较慢，而后随着基础知识与 基本技能的熟练，速度就可能逐步加快。 （3）在个别情况下，练习进步的速度先后比较一致，没有明显的快慢之分。 2高原现象 在技能形成中，练习的中期常常会出现进步的暂时停顿现象，在练习曲线上形成所谓“高原期”，表现为曲线保持一定的水平状态(不上升，可能有些下降)，但在高原期以后，曲线 又会继续上升。 高原现象的产生，既有客观原因，又有主观原因。客观原因主要的是旧的活动结构与活动方式已经不适应、甚至妨碍成绩的继续提高，而改变这种结构与方式，需要一定的时 间，因此就会使进步暂时停顿。 主观原因是由于经过一段时间的练习，兴趣可能有所下降，干劲可能有所减弱，还可能产生心理的、生理的疲劳等等，从而影响成绩的继续提高。 高原现象一旦出现，教师应向学生指明这是暂时出现的停顿，鼓励他们的信心，同时要帮助学生寻找原因，引导他们继续努力。 3起伏现象 在技能形成中，成绩的提高常常会出现时而上升、时而下降的现象，练习曲线表现为一种有“峰”有“谷”的波浪状态。这就是练习的起伏现象。 起伏现象的出现，也有主、客观两方面的原因；一般说来，在练习过程中，有起有伏是一种正常现象。但是如果出现大起大伏，特别是成绩突然急剧下降时，教师应该引起重视， 认真了解原因，采取针对性的措施，帮助学生进步。 (二)练习曲线的个别差异 不同学生在学习同一种技能时，其进步情况常常因人而异，在练习曲线上表现出明显的个别差异。 这种差异可以从活动的速度和质量上概括为以下四种类型： (1)速度较快，质量较好； (2)速度较快，错误较多； (3)速度较慢，错误较少； (4)速度较慢，错误较多。 练习曲线上出现个别差异的原因大致有以下这些：学生的个性特点不同，学习态度不同，知识经验不同，准备状态和努力程度不同，练习方式不同，家庭条件不同，等等。这就说 明，技能的形成不仅决定于练习的数量和质量，而且也决定于学生本身的特点和其它条件。 因此，教师必须具体分析差异 产生的原因，因材施教，有的放矢，使每个学生都能获得进步。三、有效练习的基本条件 技能是通过练习形成的，但并非任何练习都能取得相同的效果，那种盲目地、机械地，过量地重复，经常是无效的，甚至还可能带来不良的后果。前面已经说到：“影响学习的重要变量不是重复的次数，而是重复的附带条件和后果”，为了使练习富有成效，我们在组织练习时，以下的各种条件值得十分注意： (一)做好练习的定向指导 要使练习成为学生自觉、主动的活动，避免变成盲目、机械的重复，教师在组织练习时，首先要做好练习的定向指导， 即让学生知道他们将要做什么、为什么、怎样做。为此必须： 1.让学生明确练习的目的和意义 包括练习在内的一切学习活动，学生强烈的学习意图和自觉、主动的行为是获得成效的必不可少的因素。技能的练习，可以主动地进行，也可以被动地进行。主动练习不仅运用 感官和动作，而且还要展开思维，发挥意识的指导作用，而被动练习，学生只是盲目地执行教师布置的任务，依葫芦画瓢，机械重复。两种练习，效果显然不会相同。只有让学生明确 认识练习的目的意义，他们才能产生自觉的学习意图，使练习过程经常处于意识的控制之下而主动地进行。 2使学生懂得练习的步骤和要求 在学生明确练习的目的意义以后，指导学生按照一定的步骤进行练习也是很必要的(这种指导对低、中年级的学生更是不可缺少的)。例如，在数学运算的练习中，要求学生按照会，准，简，快的步骤进行。这样做不仅能保证技能形成的质量，而且是一种良好的学习习惯的训练，对学生今后的学习是大有裨益的。如果会、准还没有做到，就去图简、求快，决不可能收到良好的效果。 3教给学生练习的方法 各种技能的练习，都有相应的具体方法。例如把整个技能分解为各个部分，分别加以掌握，然后在一定基础上再综合起来进行练习。这些方法需要教师的讲解。对于小学生来 说，只有讲解是不够的，而必须伴有教师的动作示范。动作示范是一种直观教学，对学生理解技能有很大的作用。 示范应该力求准确，务使这个技能在学生的头脑中形成完整的、清晰的表象，这种表象对学生以后的练习和实际操作会产生有效的自我调节作用。例如，体育运动中的“投”与“掷”两个动作有明显差别，如果学生头脑中没有形成两个动作的明确表象，在练习或操作时就会不得要领，难以收效。 技能的形成可以通过直接练习，也可以采用以原理为指导进行练习。采取何种方式为宜，要因学科、因技能的性质特点而异。 就数学学科来说，各种运算技能大都可以在讲清算 理以后来进行练习。 讲清原理原则，可以使学生从中得到启发，有利于技能的理解和掌握。但是学生在懂得原理以后，适量的重复练习还是非常必要的。心理学家的研究证明“不进 行活动是不能学会活动的”。学生知道了、理解了算理，并不等于学会了算理的运用，而通过练习，通过实际的操作活动，却可以促进对算理的认识，加深对算理的理解。 (二)练习的时间和次数要适当分配 任何技能的形成只靠读一次、练一回、抄一遍是不够的，而必须有一定数量的重复，要有“足够”的时间和次数，否则难以奏效。 但是对于这个“足够”，应有正确的理解和适当的掌握。所谓“足够”，并非越多越好，多练未必一定多效，这已经为很多教师的实践所证明。 究竟以多到何种程度为宜，这要因练习的内容而异，因学生的个性而异，只能灵活运用，不可能有一个固定的标准。 一般说来，练习的有效的时间分配大致如下：开始阶段，每次练习时间不宜太长，各次练习之间的时距可以短些；以后可以适当延长练习的时间和练习的时距；每次练习应以不感 到明显的疲劳为宜。以计算练习来说，开始练习时，应把计算的过程详细展开，速度宜慢，以保证计算的正确；随后则应逐步压缩计算过程，跳过一些中间环节，以提高计算速度和练习的效率。 练习可以连续进行，这种练习称为集中练习；也可以在各次练习之间安排一定的间歇时间，这种练习称为分配练习。般地说，分配练习的效果优于集中练习，但这种效果又因学生的年龄、能力，练习内容的性质、数量和难度而有所不同。例如，对年幼儿童、能力较低的儿童，以及内容较多、较难的技能，分配练习的效果相对地说更优于集中练习。另外，集中练习对内容的短期保持较为有效，而分配练习则对长期保持较为有利。 临考前的突击式的集中练习，很可能在考试中获取高分，但时过境迁，所学的东西也就忘了。有经验的教师，对一些基本的口算技能，常常在每次课始让学生练习三、五分钟，花时不多，收效甚大，用的就是分配练习的方法。总之，分配练习的效果一般总优于集中练习。 这里存在各种原因，心理学家们发现，在练习的间歇期中出现的遗忘现象，对以后的继续练习会产生一种所谓“免疫效应”，即学生会对遗忘的部分引起一定的警惕和更多的注意，从而能促进后继练习的效果，这可能是一个最重要的原因。 (三)恰当掌握练习课题的同一与变化 练习课题的同一，是指课题类型与例子保持基本不变；练习课题的变化，是指课题类型与例子保持多样化。 在学生能够接受的条件下，使练习课题多样化和同一类型课题的例子多样化，可以提高学生练习的兴趣，保持他们注意的稳定，从而有助于技能的形成与分化(即与类似技能相区分)，以及技能在今后的运用与迁移。但是变化过于频繁，过分的多样化，不利于技能的形成和巩固。为了保证技能的巩固，就要保持练习课题的相对同一， 即需要选用少量的例子反复地、充分地进行练习(这种练习，我们称之为基本练习)。所以，课题的同一与课题的变化应当按照恰当的比例相互结合、相互补充，片面的强调一方，忽视另一方的做法都不利于学生的学习。 另外，从学生学习中经常出现的定势现象来看，也给了我们同样的启示：学生已经形成的定势有利于同类课题或相似课题的学习与迁移，但在某些条件下可能干扰需要灵活性的 课题的学习。因此，在进行练习时，既要考虑课题的同一，：既要考虑课题的变化，以充分发挥定势的积极作用，避免定势的消极作用。 (四)充分发挥并利用反馈在练习中的作用 所谓反馈是指学生知道自己学习的结果，它对后继练习有极大的影响。心理实验证明：在不知道学习结果的情况下，重复的次数与学习的结果无关。 在我们的实际教学中，反馈 的作用是十分明显的，教师如果能对每次练习进行正确的、及时的指导，让学生非常明确和具体的知道自己的进步和不足，就可以收到显著的良好效果。 反之，如果只是要求学生单纯地重复，学生并不知道自己努力的结果，不能从中得到鼓励。这样的练习，有时反而有害，如会以错误为正确，或者养成敷衍塞责的不良习惯等。 学生学习中的反馈作用表现在：一是能激发继续练习的积极性，强化学生的学习动机，一是能获得矫正性信息，以调整自己的活动。 这两种作用是互为因果的，那种把反馈的作 用仅“局限于强化学习动机这个方面，是很不完全的，我们更要重视的是认知方面的作用，即给学生提供能在学习上产生：矫正作用的信息，让学生能从自己的学习结果中，证实自己的某些认识，澄清混淆的概念，改正错误的理解，分清学习材判中已经掌握的和尚未掌握的部分。这样就可以帮助学生调整自己的学习，把主要的精力集中在需要加强的部分。 反馈的认知作用和情感作用往往是同时出现的。例如，学生在做数学习题时，知道那些题目做对了，证实自己的认识，会给他带来满意和愉快的情绪体验；如果知道那些题目做错孔可能会产生不愉快的情绪体验。心理学家们指出，如果只有愉快或不愉快的情绪体验，而没有认知方面的信息，这种情绪体验并不能指导他们如何行动，对改进练习，提高效果并无影响。 日常生活中的经验也可以证明这一点，当小孩犯了错误，家长只顾打骂，但不说明道理， 孩子只有不愉快的情绪体验，但没有获得明确的信息指导，他就很难改正错误。所以，给学生提供矫正性信息，是反馈效果的重要方面。当然，事情还有另一方面，如果反馈仅止于认知方面的作用，而并无情感方面的作用；学生只有认识上的是非、正误之分，而缺乏相应的情绪体验，反馈的效果也会受到一定的削弱。 学生学习结果的反馈可以从周围的舆论、从各种竞赛活动中获得，但主要是从教师的评价中获得。教师对学生练习的评价(包括口头的、书面的)，可以看作是一种提供反馈信息的过程。 教师的恰当的、及时的评价所产生的反馈作用是十分巨大的。但是这种作用又以教师采取的方式以及所持的态度的不同而有所不同。心理学家的研究证明：教师给学生提供确切的答案比简单的告知“是”或“不是”的效果好；让学生知道他的回答为什么是正确的、或为什么是错误抵比单纯知道正确答案的效果好；在学生的作业上写上恰如其分的评语， 比写一般鼓励的话效果好。 在学生的重复练习中，教师决不能满足于那种“认真一点，再认真一点”的一般叮嘱，要知道这种笼统的要求对学生的作用是不大的，因为他既没有给学生提供认知方面的信启。也没有带给学生情绪上的体验，所以难以在他们的后继练习中产生有益的影响。另外，反馈的即时性，也是一个值得注意的问题。一般说来，即时反馈的效果优于延迟反馈的效果。这种情况反映在年幼儿童和能力较低儿童的身上尤为显著。对于这些儿童，教师更应该尽早让他们知道自己学习的结果。；让儿童及早知道自己的错误、纠正自己的错误，比错误固定以后再去克服，当然要容易得多。因此，教师应在练习的初期加强指导，宁愿慢一点，不要急于求成，把错误消灭在萌芽状态。同时，教师也应时刻注意，努力去发现、去预见在学生身上可能存在的潜在反馈，以便及时引导，防患于未然。心理学家罗西(CCRoss)与亨里(LKHenry)曾经作了一个这样的实验：把一班学生分成三组，每天学习进行测验。主试对第一组被试每日告知其学习结果；对第二组被试 每周告知其学习结果；而对第三组被试则无此种报告。如此进行了八周后，改变做法，第一组和第三组的情况对调，即对第一组不告知学习结果，对第三组每日告知学习结果：第二组 照旧。到第十六周，第二组的成绩稳步前进，第组的成绩逐步下降，而第三组成绩则突然上升。如上图所示。这个实验说明了即时反馈伪作用。 教师的评价是一种主要的反馈形式，但这种反馈又是有一定的局限性的。因此，我们在发挥这种反馈形式的作用的同时，应该努力养成学生自我评价的反馈形式，以代替由教师等外界提供的反馈。这种自我评价的反馈在任何学习情境中，都能及时地、有效地发挥它的作用。(五)根据技能的特点，采取不同的练习方法在动作技能的培养中，动作的视觉形象与动觉表象的结果，以及从视觉控制转化为动觉控制，对于动作技能的形成具有主要的作用。因此，在动作技能的训练中，教师首先要让学生获得每个动作的正确的视觉形象，也就是要让学生“看清楚”动作进行的过程与变化使其获得动觉体验，从而在头脑中形成动觉表象-以后，就要训练学生逐步减少其至摆脱视觉的控制作用，要求他们运用头脑中的动觉表象进行动觉控制。在智力技能的培养中，思维方法的训练和思维品质的提在智力技能的培养中，思维方法的训练和思维品质的提高，对于智力技能的形成具有特别重要的意义；而学生独立思考的能力与习惯的培养，则是关键性的一环。在智力技能的训练中，教师首先要根据学生的已有水平，提出恰当的课题和任务，要求学生通过自己的思维活动去解决问题，要在解决问题的过程中，教给学生思考的方法和步骤，注意训练学生思维的逻辑性、严密性以及选择最佳方法的积极性。需要指出的是，学生的粗心大意、懒于思考对练习作业的消极态度、呆读死记的学习方法，以及教师的过多的关心、过多的帮助，不给学生有自己思考、自己解决问题的机会，这些都是智力技能形成的主要障碍。四 提高练习有效性的几点意见(一). 根据学生的学习过程，设计有层次的练习学生的学习过程一般有：学习新课的准备，学习新课，巩固新课，新知识与有关旧知识的比较，联系和区别，新知识的引伸与为后继学习作铺垫，知识的综合应用等环节，相应地，练习也就有这么些层次。当然，这些环节有时是交叉的，也不一定每个课题都必须全部有。1. 基本功天天练2 运用学习的迁移规律设计练习一般地说，先前的学习对于以后学习所产生的影响，心理学上叫做学习的迁移。 迁移有两种情况：先前的学习促进以后的学习的叫正迁移简称迁移；反之，叫负迁移或者叫干扰。我们在学生学习新课之前，往往设计一些有助于学习新知识的练习(复习)，作为学习新知识的准备，就是利用学习的正迁移作用。 我们学完了某一知识之后，又要将新知识与可能干扰它的旧知识进行对比，就是消除负迁移， 例如学习小数加减法之前，先练习整数加减法，因为整数加减法“相同数位上的数对齐再加减”的道理对学习小数加减可以起到正迁移的作用。但是学习了小数点对齐再加减的法则后，还要回过来和整数加减法进行比较，使学生进一步理解小数点对齐也就是数位对齐。 “小数点对齐”的加减法竖式写法，还可能对以后学习小数乘法的竖式写法起负迁移的作用，所以学习了小数乘法的竖式写法后，又要设计与小数加减法竖式的写法作比较的练习，消除其干扰。3根据学生理解概念的过程设计练习根据小学生的思维特点，在进行数学概念的教学中，一般是先让学生观察具体形象的事物（或对实物、学具的操作)，引导他们进行分析，抽取出这一类事物的一般的本质属性，然后把这些属性联结起来，概括为概念。例如认识数“5”是先让学生观察5本书、5支笔、5面红旗、5颗算珠等，指出这些物体的形状、大小，颜色、用处等虽然各不相同，但是表示这 些量的数都是“5”，从而抽象出“5”这个数的概念(这里指基数概念，序数概念要另外学习)。这时概念教学的任务并没完成，要使学生真正理解和掌握概念，还应当让学生联系实际的例子来说明这个概念。上述例子，还应要求学生伸出5个手指、取出5根小棒等。心理学中把儿童学习概念的这种过程叫做“具体抽象具体化”的过程。根据这个过程，可以设计三个不同层次的练习。4根据学生探索新知识的过程设计练习根据瑞士心理学家皮亚杰(JPiage)的理论，儿童自我发现的东西，才能积极地被同化，从而产生深刻的理解。就是说这样的学习体现了认知结构由儿童主动构造起来的特点，利于激发儿童的学习兴趣和创造性。儿童在探索新知识的过程中，必然要用到已有的旧知识。 所以新知识的探索又是旧知识的运用过程，并可在这个过程中培养学生的学习能力。基于这样的认识，我们在本书中，还设计了一部分创造、设计情景，以引导学生运用旧知识探索新知识的练习。有人说，这种设计不是练习而是教法。我们说，这种设计不是“教法”是“学法”；而怎样让学生掌握“学法”，正是练习的重要内容之。皮亚杰认为智慧自动作发端，活动是连结主、客体的桥梁。在教学过程中，应该放手让儿童去动手、动脑探索外物，以获得丰富的逻辑一数理经验，通过反省的抽象，逐步形 成、发展自己的认知结构。这就象织网，活动愈多则经纬交错愈缜密，认知结构同化外来信息的能力就愈强。我们在设计这类练习时，通常是先把学生难以理解的抽象知识“物化”，让学生通过对实物(学具)的操作，再分析思考，得出初步结论(或假设)，最后验证这个结论或者加以证明。例如能被3整除的数的特征是比较抽象的知识。我们创设了一个情景，即让学生用小棒在数位表上摆数。通过操作，学生体验到用炙6、9根小棒，不管摆在什么数位上，摆成的数总是能为3所整除；而用土、2、4、5、7、8等根数的小棒，无论怎样摆，摆成的数均不能为3所整除。于是进行分析：刚才摆出的数由两个部分组成，一是数位，一是小棒的根数。是哪个因素造成能或不能为3整除?显然与数位无关，那么原因必然出在小棒的根数上。 把小棒的根数和各数位上的数的和联系起来，就得出“一个数，各数位上的数的总和能被3整除，这个数就能被3整除”的假设。这个假设是否真实，还须让学生举例验证，证实之后，才得到了结论。最后，我们还让部分学生(有余力的学生)在课外对这个结论作出证明。在上述过程中，练习层层深入，不但使学生学得了知识，也使他们学习了探索知识的方法，培养了他们的学习兴趣和探索进取的精神。5 根据知识的运用设计练习一般说来，“练习的实质在于把一般的规则运用到个别情况中去”(达尼洛夫、叶希波夫：教学论第156页)。在练习中大量的情况是运用已学到的定义、定律、法则、性质去解决具体的问题。这种从一般到特殊的推理过程是演绎推理的过程。演绎推理通常用的是三段论法。 它由三个判断组成：第一个判断是一般性事理， 叫做大前提；第二个判断是特殊事项：，叫做小前提；最后根据大前提和小前提作出结论。如运用如运用乘法结合律计算乘法“63425”思考过程是：根据乘法的结合律“三个数相乘，先把前面两个出相乘再乘以第三个数或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变” 大前提)，“63425是三个数相乘(小前提)，可以先把后面两个数相乘(这样比较简便)(结论)。所以， 6342563（425）=631006300。这种练习，起初应要求学生把计算的详尽过程写出来，以便于理解；并保证初期运算的正确，还要让学生作讲述思考过程的练习(讲思考过程是对思维的训练，当然不要求讲大前提，小 前提等术语)，但以后就应把这个过程加以压缩，把计算的中间步骤逐步略去，以提高计算速度。最后，还可设计有所引伸的练习题，如 12516125822000，使学生通过练习还会把一个因数分解为两个因数的积，然后运用结合律，使运算灵活、简便。（二） 学习就是学习者的“认知结构的组织、完善与重新组织”。我们在设计某一课题的练习时，一般先分析该课题在学科知识结构中的地位作用，然后找出本课题本身的知识结构，即这个知识的基本原理是什么，它的内部是怎样相互联系的等等。务必使学生理解该学科的基本结构。所谓“结构”，即事物间的相互联系和规律性。数学学科的基本结构，就是数学的基本概念、基本原理和基本方法的组织形式及其相互联系。 (三) 在教学中还要让学生想、说(包括讨论)和动手操作。想是信息加工，说和练是信息输出(讨论还包括对信息的评价)，动手操作则既有信息输入又有信息输出。根据现代脑生理学的研究，人的左半脑主管抽象思维，包括语言、计算等，而右半脑主管形象 思维，包括空间观念、想象力等，在设计练习时，让儿童摆弄一些学具，不但有利于概念的形成和法则的理解，更有利于大脑左右两半球的协调发展。智力的核心是思维力，而思维的基本过程是分析与综合。我们在设计练习时重视了分析与综合能力的培养。为了让学生充分发挥独立思考的作用，我们还设计了一些创造性作业，如制作乘法表、100以内的质数表、自编应用题及制作几何体模型等。(三)，对教师来说，在教学过程中随时要从学生的学习情况中得到反馈信息，以便随时调整教学方案；对于学生来说，通过教师对自 己输出信息的评价(也是一种反馈信息)，可以强化正确的，改正错误的，从而提高学习效率。根据反馈原理，学习就是下面的过程： 从上面可以看到，学习的过程包括：吸收信息；储存信息、加工信息；输出信息；反馈信息；评价信息。五者缺一就是不完全的学习。 根据上述原理，我们在设计练习题时，充分考虑到学生可能产生的反映而予以评析，供教师评价学生作业时参考。 根据直接的和间接的教学经验(以前学生学习的反馈)，能正确地预见到学生学习的难点和常见错误(这就是“前馈”作用)， 因此在设计练习时特别予以注意，采取适当的措施，“防患于未然”，以提高教学效率。信息加工是学习过程的重要一环。 为此，我们在练习的说明中，加强了学习方法和解题思路的指导。数学思想方法的培养。