2018年吉林省长春市高三上学期期中数学试卷（理科） 含解析

2017-2018学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z=，则z的共轭复数|=（）A5B1CD2已知集合A=x|x|1，B=x|x22x30，则AB=（）A（1，1）BRC（1，3D（1，33已知向量（）ABCD4“”是“f（x）=Asin（x+）是偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5已知命题p“函数f（x）=log2（x22x3）在（1，+）上单调递增”，命题q“函数f（x）=ax+11的图象恒过（0，0）点”，则下列命题正确的是（）ApqBpqCp（q）D（p）q6已知向量是奇函数，则实数a的值为（）A2B0C1D27要得到y=sinxcosxcos2x+的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A左移B右移C左移D右移8已知实数a=cos224sin224，b=12sin225，c=，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCabcDcba9直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）ABCD10已知等差数列an满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（）A5B3C5或3D4或311若函数f（x）=lnx+x2ax+a+1为（0，+）上的增函数，则实数a的取值范围是（）AB（，2C1，+）D2，+）12已知f（x）为定义域为R的函数，f（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，xR都有f（x）f（x），则不等式f（x）ex的解集为（）A（，1）B（，0）C（0，+）D（1，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若= 14函数f（x）=ex（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为 15已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，a0，则a+b+c+d的取值范围是 16已知O是ABC内一点，且5= 三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为（1）求角A的大小；（2）当a=2时，求ABC周长的最大值18长春某高校“红烛”志愿者协会计划募捐救助农村贫困学生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形状均相同的白球七个，红球三个，每位参与者投币10元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金5元，两个红球奖金10元，三个全为红球奖金100元（1）求参与者中奖的概率；（2）若有200个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值19在三棱锥PABC中，ABC与PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC平面PACM，D分别是AC与PC的中点，E在AP上且AE=AP（1）证明ME平面MBD；（2）若F为PA上一点，且PF=FA，当二面角FBDM为直二面角时，求的值；（3）写出三棱锥PABC外接球的体积（不需要过程）20已知一动点M到直线x=4的距离是它到F（1，0）距离的2倍（1）求动点M的轨迹方程C；（2）若直线l经过点F，交曲线C于A，B两点，直线AO交曲线C于D求ABD面积的最大值及此时直线BD的斜率21已知函数f（x）=alnx+（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点x1，x2，且m恒成立时，求m的取值范围22已知曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为msincos=（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若曲线C2与C1交于M，N两点，与x轴交于P点，若，求m的值2017-2018学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z=，则z的共轭复数|=（）A5B1CD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算【解答】解：z=，则|=|i|=1故选：B2已知集合A=x|x|1，B=x|x22x30，则AB=（）A（1，1）BRC（1，3D（1，3【考点】1E：交集及其运算【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合A=x|x|1=x|x1或x1，B=x|x22x30=x|1x3，AB=x|1x3=（1，3故选：C3已知向量（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的夹角公式计算即可【解答】解：设与的夹角为，|=1，|=2，cos=，0，=，故选：B4“”是“f（x）=Asin（x+）是偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充要条件的定义，结合三角函数的图象和性质，可得答案【解答】解：当“”时，“f（x）=Asin（x+）=Acosx是偶函数”，“f（x）=Asin（x+）是偶函数”时，“ +k，kZ”，故“”是“f（x）=Asin（x+）是偶函数”的充分不必要条件，故选：A5已知命题p“函数f（x）=log2（x22x3）在（1，+）上单调递增”，命题q“函数f（x）=ax+11的图象恒过（0，0）点”，则下列命题正确的是（）ApqBpqCp（q）D（p）q【考点】2E：复合命题的真假【分析】先判断两个简单命题的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表得到答案【解答】解：函数f（x）=log2（x22x3）的定义域为：（，1）（3，+），故命题p“函数f（x）=log2（x22x3）在（1，+）上单调递增”，为假命题；令x+1=0，则x=1，ax+11=0，故函数f（x）=ax+11的图象恒过（1，0）点，故命题q“函数f（x）=ax+11的图象恒过（0，0）点”，为假命题；则pq，pq，p（q）均为假命题；（p）q为真命题，故选：D6已知向量是奇函数，则实数a的值为（）A2B0C1D2【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出【解答】解：f（x）=2ex+aex，f（x）为奇函数，且定义域为R，f（0）=0，即2+a=0，解得a=2，故选：D7要得到y=sinxcosxcos2x+的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A左移B右移C左移D右移【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：要得到y=sinxcosxcos2x+=sin2x+=sin（2x）的图象，只需将函数y=sin2x的图象象右平移个单位即可，故选：D8已知实数a=cos224sin224，b=12sin225，c=，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCabcDcba【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】由题意利用余弦函数的值域和单调性，可得a，b，c的大小关系【解答】解：实数a=cos224sin224=cos48，b=12sin225=cos50，c=tan461，再根据余弦函数y=cosx在（0，90）上单调递减，且它的值域为（ 0，1），可得cab，故选：B9直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）ABCD【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分的几何意义表示出曲边图形的面积，再求值【解答】解：如图所示，由直线x=1，x=e与曲线y=围成的阴影部分面积是（）dx=dxdx=lnx=1+0=（25）故选：A10已知等差数列an满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（）A5B3C5或3D4或3【考点】84：等差数列的通项公式【分析】设等差数列an的公差为d，可得a1=32d，a2=3d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得关于d的方程，求出d，则a5可求【解答】解：设等差数列an的公差为d，则a1=32d，a2=3d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得=a1a4，即（3d）2=（32d）（3+d），解得：d=0或1，当d=0时，a5=a3+2d=3；当d=1时，a5=a3+2d=5故选：C11若函数f（x）=lnx+x2ax+a+1为（0，+）上的增函数，则实数a的取值范围是（）AB（，2C1，+）D2，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由函数f（x）=lnx+x2ax+a+1为（0，+）上的增函数，可得：f（x）=+2xa0，化为：a+2x=g（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：f（x）=+2xa，函数f（x）=lnx+x2ax+a+1为（0，+）上的增函数，f（x）=+2xa0，化为：a+2x=g（x），g（x）=2=，可知：x=时，函数g（x）取得极小值即最小值， =2则实数a的取值范围是a2故选：A12已知f（x）为定义域为R的函数，f（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，xR都有f（x）f（x），则不等式f（x）ex的解集为（）A（，1）B（，0）C（0，+）D（1，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意，令g（x）=，结合题意对其求导分析可得g（x）0，即函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）=e，可得g（e）=1，而不等式f（x）ex可以转化为g（x）g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，令g（x）=，其导数g（x）=，又由，xR都有f（x）f（x），则有g（x）0，即函数g（x）在R上为增函数，若f（1）=e，则g（e）=1，f（x）ex1g（x）g（1），又由函数g（x）在R上为增函数，则有x1，即不等式f（x）ex的解集为（，1）；故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若=【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得cos（）的值，再利用两角和的余弦公式求得cos=cos（）+的值【解答】解：sin（）=，（0，），cos（）=，cos=cos（）+=cos（）cossin（）sin=，故答案为：14函数f（x）=ex（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为3xy+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得在x=0处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）=ex（sinx+cosx+x+2），f（0）=3，f（0）=1，故切线方程是：y1=3x，即3xy+1=0，故答案为：3xy+1=015已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，a0，则a+b+c+d的取值范围是（7，+）【考点】7F：基本不等式【分析】根据题意，由等差中项的性质可得a+b+c=3b，且c=b+1，再结合等比中项的性质可得d=b+2，则a+b+c+d=3b+b+2=4b+2，分析可得b的取值范围，令t=4b+2，结合对勾函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，实数a，b，c成公差为1的等差数列，则a+b+c=3b，且c=b+1，若b，c，d成等比数列，则有c2=bd，又由c=b+1，则d=b+2，则a+b+c+d=3b+b+2=4b+2，又由a0，则b1，令t=4b+2，（b1），分析可得t7，则a+b+c+d的取值范围为（7，+）；故答案为：（7，+）16已知O是ABC内一点，且5=2【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】由题意可知=，利用平面向量加法的平行四边形法则作图即可得出面积比【解答】解：5+6+10=，=，延长OC至C，使得OC=2OC，连接AC，设AC的中点为D，则=2，2=，即O，B，D三点共线SAOB=SOBC=2SOBC，故答案为：2三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为（1）求角A的大小；（2）当a=2时，求ABC周长的最大值【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）将切化弦，再根据和角公式化简可得sinA=cosA，故而得出A=；（2）利用正弦定理得出b+c关于B的三角函数，从而得出b+c的最大值，于是得出结论【解答】解：（1）tanB+tanC=，=，sinA=cosA，tanA=，又0A，A=（2）由正弦定理得：，b=sinB，c=sinC=sin（B），b+c= sinB+sin（B）=4（cosB+sinB）=4sin（B+），当B+=即B=时，b+c取得最大值4ABC周长的最大值4+2=618长春某高校“红烛”志愿者协会计划募捐救助农村贫困学生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形状均相同的白球七个，红球三个，每位参与者投币10元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金5元，两个红球奖金10元，三个全为红球奖金100元（1）求参与者中奖的概率；（2）若有200个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据组合数公式计算概率；（2）根据概率计算数学期望【解答】解：（1）中奖的概率P=（2）设此次募捐所得善款的期望值为E，则E=200（105）+200（1）1020095819在三棱锥PABC中，ABC与PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC平面PACM，D分别是AC与PC的中点，E在AP上且AE=AP（1）证明ME平面MBD；（2）若F为PA上一点，且PF=FA，当二面角FBDM为直二面角时，求的值；（3）写出三棱锥PABC外接球的体积（不需要过程）【考点】LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）以M为原点，MB为x轴，MC为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ME平面MBD（2）设F（0，b，c），0t1，求出平面BDF的法向量和平面MBD的法向量，由二面角FBDM为直二面角，求出t=，再由PF=FA，求出（3）三棱锥PABC外接球的体积为【解答】证明：（1）ABC与PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC平面PACM，D分别是AC与PC的中点，PMAC，BMAC，PMBM，以M为原点，MB为x轴，MC为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，M（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），D（0，），A（0，1，0），E（0，），=（0，），=（，0，0），=（0，），=0， =0，MBME，MDME，MBMD=M，ME平面MBD解：（2）设F（0，b，c），0t1，（0，b，c）=（0，t，），F（0，t，），=（，t，），=（，），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），ME平面MBD，平面MBD的法向量为=（0，），二面角FBDM为直二面角，=+=0，解得t=，PF=FA，（3）三棱锥PABC外接球的体积为20已知一动点M到直线x=4的距离是它到F（1，0）距离的2倍（1）求动点M的轨迹方程C；（2）若直线l经过点F，交曲线C于A，B两点，直线AO交曲线C于D求ABD面积的最大值及此时直线BD的斜率【考点】J3：轨迹方程【分析】（1）设M（x，y），由题意可得： =2，化简整理可得动点M的轨迹方程C（2）由题意可设直线l的方程为：ty=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆方程联立化为：（3t2+4）y26ty9=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=点D到直线l的距离d=2点O到直线l的距离，利用点到直线的距离可得d，SABD=，化简整理利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）设M（x，y），由题意可得： =2，化简整理可得：，即为动点M的轨迹方程C（2）由题意可设直线l的方程为：ty=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：（3t2+4）y26ty9=0，y1+y2=，y1y2=，|AB|=点D到直线l的距离d=2点O到直线l的距离，d=2SABD=2=令=m1，则f（m）=3m+，f（m）=可知：m=1，即t=0时，函数f（m）取得最小值4，ABD面积的最大值为3取A（1，），B，可得：D可得：直线BD的斜率k=021已知函数f（x）=alnx+（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点x1，x2，且m恒成立时，求m的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，方程x22ax+a=0的=4a24a，分0a1时，a0，a1三种情况讨论；（2）由（1）得a1时，f（x）有两个极值点x1，x2可得x1+x2=2a，x1x2=af（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+2a（x1+x2）+2=alna+2a2a4a2+2=alna2a2a+2=利用导数求出G（x）=lna2a1+，（a1）的最大值即可【解答】解：（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，方程x22ax+a=0的=4a24a当0a1时，0恒成立，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）单调递增；当a0时，方程x22ax+a=0的根x1=a+0，x2=a0f（x）在（0，a+）单调递减，在（a+，+）单调递增；当a1时，方程x22ax+a=0的根x1=a+0，x2=a0f（x）在（0，a），（a+，+）单调递增，在（a，a+）单调递减；（2）由（1）得a1时，f（x）有两个极值点x1，x2x1+x2=2a，x1x2=af（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+2a（x1+x2）+2=alna+2a2a4a2+2=alna2a2a+2=令G（x）=lna2a1+，（a1）G（x）=0恒成立G（x）在（1，+）递减，22已知曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为msincos=（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若曲线C2与C1交于M，N两点，与x轴交于P点，若，求m的值【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C2的直角坐标方程；曲线C2的极坐标方程转化为msincos=1，由此能求出曲线C2的直角坐标方程（2）联立，得M（，），N（，），在xmy+1=0中，令y=0，得P（1，0），由此利用，能求出m的值【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数，得曲线C2的直角坐标方程为=1曲线C2的极坐标方程为msincos=，即msincos=1，曲线C2的直角坐标方程为xmy+1=0（2）联立，得 M（，），N（，），在xmy+1=0中，令y=0，得x=1，P（1，0），（1+，）=（，），解得m=- 17 -