2018学年浙江省镇海中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）

2018届浙江省镇海中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的表面积公式：S=4R2 ，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=R3 ，其中R表示球的半径.第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为.故选D.2. 若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）A. 11 B. 9 C. 5 D. 3【答案】B考点：双曲线3. 直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为，则( )A. 030 B. 090 C. 3090 D. 30180【答案】C【解析】设直线a在平面的射影为直线c，在平面内作直线dc，由三垂线定理可得直线da因为直线a与平面所成的角为30，所以直线a与直线c所成的角为30，等于平面内的直线与直线a所成角的最小值直线b在平面内，当b与直线d平行或重合时，可得ab，直线a与b所成的角为90，达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为30，达到最小值因此，直线a与b所成的角为的取值范围为3090故选C4. 设为向量，则“”是“”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由得 所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以 ，所以“”是“”的必要条件.故选C.5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，则【答案】A【解析】对于选项A，可以证明，所以选项A正确;对于选项B，画图可知，直线m和n可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C，可以举反例，不垂直，满足已知条件，但是不垂直；对于选项D，可能不平行，是相交的关系.故选A.6. 椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】B【解析】设P（m，n），Q（x，y）椭圆M的方程为，作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（a，0），B（a，0）=（x+a，y），=（m+a，n）=0，（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a= 同理根据=0，可得ma= ，可得m2a2= 点P（m，n）是椭圆上的动点，整理得n2=（a2m2），代入可得：m2a2=（a2m2），化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选B.7. 如图，小于的二面角中，且为钝角，是在内的射影，则下列结论错误的是（ ）A. 为钝角 B. C. D. 【答案】D【解析】如图,过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.在直角BCO中,在直角三角形中，因为是锐角二面角，所以同理,因为 故选D.点睛：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析解析.8. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】满足QF1QP，点Q与点F2重合时，sinF1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12可得：e=因此e当点Q在最下端时，F1QF2最大，此时F1QF2Q可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此综上可得：故选C点睛：本题的关键在于找到点Q的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想，在解题过程中注意灵活运用.第卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9. 双曲线的焦距为_，渐近线方程为_【答案】 (1). 6 (2). 【解析】由题得 所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.10. 命题“若实数满足，则”的逆否命题是_命题（填“真”或者“假”）；否命题是_命题（填“真”或者“假”）【答案】 (1). 假 (2). 真【解析】 ，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足，则”，所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真.11. 已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为_若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是_【答案】 (1). (2). 【解析】如图，取AC中点O，连接BO，PO，ABC是边长为1的正三角形，PA平面ABC,BOAC，BO平面APC则PB与平面PAC所成角是BPO，可得BO=，PB=sinBPO=如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，0），C（0，1，0），H（0，）=（0，），=（，0）cos，故答案为： (1). (2). 点睛：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用空间向量来研究问题就简单了很多，所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间向量来研究.12. 已知，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是_若点为轨迹C的焦点，是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，则_【答案】 (1). (2). 【解析】设M（x，y），A（1，），B（1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，kAMkBM=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x1）点F为轨迹C的焦点，F（0，1），P是直线l：y=1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3，作QMy轴于M点，作PNy轴于N点，则，MF=，Q（，），|QF|=故答案为：(1). (2). 13. 过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60角的直线有_条【答案】4【解析】由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是60，除了一组对棱AB和CD，剩下的四条棱与AB和CD所成的角都是60，所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心，所以有四条. 故填4.14. 已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为_【答案】或【解析】双曲线的两条渐近线的方程为bxay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为，即，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，b2x02a2y02=a2b2，即2a2+2b2=5ab，b=2a或b=a，则e=故填或15. 四棱锥中，平面ABCD，BC/AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_【答案】【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b0）由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），=（2，0，1），=（2，b，0）. =（2，0，0）设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，2）二面角QPDA的平面角大小为，cos=即解得b=SADQ=S梯形ABCDSADQ=S1S2，S1=，S2=S1：S2=（34）：4故答案为（34）：4点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答. 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，（）求椭圆C的方程；（）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程【答案】（）；（）.【解析】试题分析: (1)第一问,直接由得到,化简得到一个方程,再结合对应的方程,得到a,b,c的值，即得到椭圆C的方程. （2）先利用韦达定理得到斜率k的方程，再根据点斜式写出直线的方程.试题解析：（）由题意知：，故，即，解得，又，解得， 故椭圆C的方程为； （）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在， 故设直线MN的方程为，代入椭圆方程得故，解得， 故直线MN的方程为17. （本小题满分15分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是的中点（）求证：平面；平面；（）求直线与平面所成角【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（1）第一问，先证明，即可证明平面；证明和，即可证明平面. (2)第二问，先证明即为直线与平面所成角 再解，即可得到直线与平面所成角试题解析：（）连接，故点G即为与的交点，且G为的中点，又F为的中点，故， 又GF平面， 平面故平面因为是等腰直角三角形斜边的中点，所以 因为三棱柱为直三棱柱，所以面面，所以面，设，则所以，所以又，所以平面 （2）由（1）知在平面上的投影为，故在平面上的投影落在AF上所以即为直线与平面所成角 由题知：不妨设，所以，在中，所以，即直线与平面所成角为18. 如图，平行四边形平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值的大小【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（1）第一问，证明，即可证明平面.(2)第二问，先作出二面角的平面角，再解三角形，即可得到二面角的余弦值的大小.试题解析：（）过点A作，因为平行四边形平面，平行四边形平面=CD，平面ABCD，故平面CDE，又平面CDE，故，又，平面ABCD，故平面 （）过作交于，过作交于，连接.由（）得平面，又平面，平面平面. 平面ADE， ，又垂直，且.平面，得角就是所求二面角的一个平面角. 又，所求二面角的余弦值为.19. 抛物线，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，。（）证明：是的等差中项；（）若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程【答案】（）见解析；（）.试题解析：（）设，由抛物线定义知又中垂线交轴于，故，因为，所以，故即，是的等差中项.（）因为，所以。设，故圆心， 设直线的方程为，由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。 故令，即时，为定值，故这样的直线的方程为.点睛：本题的难点在于求出弦长的平方后，如何分析出它为定值的条件，本题利用了分离参数求定值的方法. 20. 如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限（）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（）记的面积分别是，求的最小值【答案】（）；（）时，.【解析】试题分析：（1）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P的坐标，由题得，得到的值，得到t的值. (2)第二问，先算出的表达式，再得到的解析式，再利用导数或二次函数求它的最小值.试题解析：()设，故直线AM的方程为，直线BN的方程为联立得： ，解得： , 代入直线AM可得 ()直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得： 解得 直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得： 解得所以 当，即时，.点睛：本题的难点在求出后怎么求这个函数的最小值，可以变形后换元利用二次函数和复合函数的性质解答，要可以利用导数来解答.对于比较复杂的函数，要多注意观察函数的特征，再选择适当的方法求函数的最值.