新课标第1轮高中数学理总复习第43讲数学归纳法同步测控及答案

第43讲数学归纳法1.用数学归纳法证明不等式2nn2(其中nN，nn0)时，初始值n0()A1 B3C5 D62.设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)3.用数学归纳法证明命题“当n为正偶数时，xnyn能被xy整除”时，在验证n2正确后，归纳假设应写成()来源:A假设nk(kN*)时，xkyk能被xy整除B假设nk(kN*)时，x2ky2k能被xy整除C假设n2k(kN*)时，x2ky2k能被xy整除D假设n2k2(kN*)时，x2ky2k能被xy整除4.用数学归纳法证明：135(2n1)n2中，首先当n1时，左边1，右边1，命题成立；假设当nk时，命题成立；当nk1时，135(2k1)(k1)2，命题成立，得到nN*命题成立，则以下说法正确的是()A验证n1错误B假设错误C从nk到nk1推理错误D以上都不对5.观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n个不等式为_6.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_7.已知a0，b0，n1，nN*，用数学归纳法证明：()n.来源:8.用数学归纳法证明：当nN时，122225n1是31的倍数时，当n1时，原式为_，从k到k1时需增添的项是_9.(20xx湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，33，99.3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个 10.设函数f(x)满足2f(x)f()4x1，数列an和bn满足下列条件：a11，an12anf(n)，bnan1an(nN*)(1)求f(x)的解析式；(2)求数列bn的通项公式bn；(3)试比较2an与bn的大小，并证明你的结论来源:第43讲1C2.D3.C4.C5.1(nN*)6.(k35k)3k(k1)67证明：(1)当n2时，左边右边()2()20，不等式成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，不等式成立，即()k.因为a0，b0，k1，kN*，所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)(akbk)0.于是ak1bk1akbabk.当nk1时，()k1()k.即当nk1时，不等式也成立综合(1)(2)知，对于a0，b0，n1，nN*，不等式()n总成立81222232425k25k125k225k325k4解析：当n1时代入可得12222324.当nk时，左边122225k1，当nk1时，左边122225k125k25k125k4，与上式相减可得990910n解析：方法1：(1)4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9(19)种情况，第二位有10(09)种情况，所以4位回文数有91090种(2)由上面多组数据研究发现，2n1位回文数和2n2位回文数的个数相同，所以可以算出2n2位回文数的个数.2n2位回文数只用看前n1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为910n.方法2：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00，11，22，99”，因此四位数的回文数有90个，按此规律推导S2n10S2n2，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因此S2n110S2n，则答案为910n.10解析：(1)由已知，2f(x)f()4x1，所以2f()f(x)2x1.联立解得f(x)2x1.(2)由(1)知，an12an2n1，所以an22an12n3.两式相减得an23an12an2，即an2an12(an1an)2，所以bn12bn2.则bn122(bn2)，所以数列bn2是公比为2的等比数列又因为a11，所以a25，则b14，所以b126，所以bn262n1，所以bn32n2(nN*)来源:(3)由(2)知an1an32n2，而已知an12an2n1.联立解得an32n2n3，所以2an62n4n6，所以2anbn32n4(n1)，来源:n1时，2a1b3；n4时，2a4b4.猜想n3时，2anbn，即32n4(n1)下面用数学归纳法证明：()当n3时，显然成立()假设当nk(k3，kN*)时成立，则nk1时，32k12(32k)8(k1)8k84k84k4k84(k2)，所以nk1时也成立由()()知，n3时，2anbn.综上所述，n1时，2anbn.