资产组合选择理论

其中,0 t,ti,t2,.tnT是0,T的n等分点，Rti表示时间区间ti上的第二讲资产组合选择理论本讲主要讲述以下内容：收益与风险的度量标准的Markowitz均值一方差模型推广的风险-收益组合选择模型1.2收益与风险的度量1.资产收益（Returnncome,Yield）度量投资在某项资产上的收益（Returnncome）就是资产价格在一定时间上的绝对 改变量，收益率（Yield）是资产价格的变化率。这里资产指的是一切负债工具、普 通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。常见资产价格过程：无风险资产（银行存款，短期债券）的价格离散时间 Pn R（1 rf）n , n 1,2,Tt（u） du连续时间 PtPe0, t 0,T;其中 为t时刻的利息力（定义为（t） lim尊）t 0 tt特别，利息强度为常数即 时，Pt P0et ;当 t n 时，Pn PenP（1 rf）n，所以ln（1 rj风险资产（股票，长期债券）的价格Black-Scholes 模型：dStSt （ dtdWJ解上述方程可得：StSe（ 1）Wt其中Wt是概率空间（，F,P）上的标准Brown运动（即Wt是零初值平稳的 独立增量过程，且具有正态分布 WtN（0,t）股票价格模型的其他形式：带Possion跳的几何Brown运动模型、随机波动率模型、分式几何Brown运动模型、一般的指数半鞅模型）离散时间风险证券价格StS(1Rti )(1&),.(1Rtn)禾I息率，通常假设&,&,&是独立同分布随机变量。特别，SiSo(1 R)，R是风险利率，是随机变量。如果证券到期按面值 P兑换，那么该证券在0时刻的期望(合理)发行价格为：BoPE(1 R) 1 亡 E1 总1 E(豊)收益率设S Sit；0 t T是定义在滤子概率空间(Q,F,(Ft)t T,P)上的R 值随机 过程，Ft表示市场参与者在t时刻所掌握的有关市场的全部信息，S,表示资产i(如股票或者债券)在t时刻的价格，资产i在第t时期t 1,t内的收益率定义为：Rt(St S： D， t 1,2,., T(1.1)Dit表示第t时期t 1, t资产i的红利(债券的利息)，通常假设Dit是确定且为常 数Dit d。所以某一资产的收益率为在一定时间内(t 1,t)单位投资(Dit 1) 获得的总收益(5 S, 1) Dit)。资产的收益率也是概率空间(Q,F,(FJtP)上 的一个随机过程。特别，风险资产的价格是几何Brown运动，且股票无红利支付，则股票的瞬时收益率为：爭 dtdW如果风险资产价格过程为：StS(1 Rt1 )(1 &),.(1 Rtn)其中，假设Rt1,Rt2,.Rtn是独立同分布随机变量，则该资产在0,T上的收益率 为Rt(1 RJ(1RJ,.(1Rtn)1n即：I n(1 Rt)ln(1 Rt1 )(1 RJ,.(1&)ln(1%)i 1由中心极限定理可知，ln(1 Rt)近似服从正态分布任一资产(除了无风险资产以外)，由于未来收益的不确定性，因而存在有风险。资产收益率R是随机变量，如果能够知道收益率的概率分布，就可以确定资产的平均收益率ER。资产收益通常用资产收益率的均值来度量。通过收集收益率R的历史数据r,，t 1,2,.T利用数理统计中的估计理论(非参数估计和参数估计理论)，通过对收益率分布的估计，从而可以度量资产未来T的收益和风险。矩估计值为：ri R ?Tritt 12.资产风险(Risk)的度量风险(risk)是指风险资产的预期收益的不确定性(概率)。对资产未来收益 的不确定性的度量就是风险度量(Risk Measure)。资产风险是指风险资产的价格或收益率的不确定性。度量风险的标准有很多，最简单的风险度量标准是：方差Var(R)实际应用中可用矩估计方法，用收益率的样本方差来作为其估计量：T?2 Var(R) T(r rj2i 1或者修正样本方差?2 Var(F?)T(ritri)2i 1推广的风险度量标准 全风险测度(Overall Risk Measure)：方差:Var(R)标准差：Var(R)期望绝对偏差：E |RE(R)|COV(Ri，Rm)Var(Rm)下滑风险测度(Downside Risk Measure)下偏矩(Lower Partial Moments) n阶下偏矩定义为:qnLPM n(q) (q x) dFx (x)其中，Fx (x) P X x是资产X收益的分布函数.1） 二阶下偏矩（或半方差） （SLPM）：qSLPM (q)(q2x)2dFX(x)q2 (qx)FX (x)dx2)一阶下偏矩（ FLPM）qFLPM (q) (qx)dFX (x)qFX (x)dx3)零阶下偏矩（ ZLPM）qZLPM (q)dFX (x)4)风险价值（Value at Risk,简记为VaR)1VaRpF 1(p)即： PXVaRpp一定的目标期间内,在给定的置信水平p 下,预期的最大损失。果资产的分布是对称分布，上述定义等价于 PX VaRp 1 p5) 条件风险价值( Conditional Value at Risk, 简记为 CVaR )CVaRp E X | X VaRp6) 风险资本(Capital at Risk,简记为CaR)CaRp X0e rT F 1(p)7) 条件风险资本(Conditional Capital at Risk，简记为 CaRs)CaRsp X0e rT EX| XVaRp8) 风险收益(Earnings at Risk简记为EaR)EaRp EX EX |XVaRp有关上述不同风险度量之间的关系可参看文献：Jon Danielsson, Bjorn N. Jorgensen,Mandira S,Casper G. Comparing Risk Measures.Kaplanski G,Kroll Y. VaR Risk Measures Versus Traditional RiskMeasures:and Analysis and Survey. Journal of Risk, 2000, 4(3). 1.2标准均值一方差资产组合选择模型1952 年，Markowitz 在 Journal of Finance 上发表了“ Portfolio Selection” 一 文，最先提出用风险资产的预期收益率和收益率的方差（或标准差）来度量风险资产的收益和风险，利用数理模型研究了资产组合的选择问题-均值一方差资产 组合选择模型。模型的基本假设-组合分析是在单一时期进行；-资产是无限可分；-收益率概率分布的均值和方差是存在的，可以用参数估计的方法估计；-市场是无摩擦的（无交易费、税收、红利等因素）；投资者是理性的，即在相同的风险下，追求收益最大化，或者在相同的 收益下追求风险最小。模型建立设Ri表示第i种资产的收益率，是一个随机变量均值方差存在，E（RJ ri，Var（RJi2，Cov（Ri,Rj） j，记协方差矩阵为（j），Xi表示投资在第i种资产上的份额（在每种资产上分配的比例），xi 0 （不允许卖空），i 1,2,., n，nnXi 1，称RXiRi为由n个资产组成的投资组合，该投资组合的期望收益i 1i 1和方差分别为pE(R)nnXjE(R)Xi ri xri 1i 12PVar( R)nnnVar( XiRi)XjXj ji 1i 1j 1X X显然min仃1 i np max a1 i n标准均值一方差资产组合选择模型给定收益率的条件下选择风险最小的投资组合，即指定收益率x r p，求X （X1,X2,.Xn）使得投资组合的风险2 XX最小。nn2min pXjXj j x xXi 1 j 1ns.tXi ri X r pi 1nXi 1i 1Xi 0 i 1,2,.,n上述优化问题的最优解称为有效投资组合，对任意给定的投资组合期望收益 水平P,都可以得到一个与其相对应的有效投资组合的最小方差2，全部有效投资组合对应的收益率方差和期望在方差2 均值P平面上对应的集合称为投资组合的有效边界；在有效边界上不同投资者根据自己对风险和收益的偏好不 同，选择各自的最优资产组合。模型的求解由拉格朗日乘子法，令L(X1,X2,.Xn,1, 2)于是有72 X所以有X 1( 11代入约束条件解得：(I(I令：A I 1I，B IC pBpA B1 ， 2所以优化问题的最优解为:nnnXiXjij21 (Xi rii 1 j 1i 1x x 2 1(x I1)2 2(xrn1)2 2(xmp)i 1p)2 1丨 2 2r 02)1r) 1 (rI) 2 p1 1I) 1 (r I) 211 1r， C r r， AC 1 - 1X I 1 r 2B2，解上述线性方程组可得对应的最小方差为：2 (x)_J_1x x x I 1 x r 21 p 22(x)丄(A 2 2B p C)最优问题解的性质:1)对任意 p( min ri1 i nmax *)，有效投资组合得有效边界是2面上的一条抛物线。由于与p对应的有效组合x对应的方差为:2(x )丄(A p 2B p C) ( p 4)2由于是正定矩阵，所以A0,C0，且又许瓦茨不等式知AC B202)对任意 p ( min a p maxrj，1 i n1 i n2(x)，且2(x )4的充要条3)4)件是p B，此时对应的最优解为对(minGmaxrJ中的任意两个数 1 i n 1 i nCov(x，x 2)( 1舟)(2芒)对任意 p ( min ri1 i nC对应的有效组合1II 1I2，相应的有效解x 1和xmaxrj，对应的有效组合x 一定是1 i n与x的凸组合即x px (1 p)x有,B和(两基金分离定理)证明：对任意 p ( min ri1 i np maxri)，对应的有效组合x可表示为1 i n1Ax2Bx且 1A 2B 15)含有无风险资产(债券)Ro的投资组合设有n1种证券组成的资产组合(x0, x1,.xn)，其中x0表示在无风险资产上的投资，第i种风险资产的收益率为Ri，ERi ri令r上,rn)并设x0 1Xi 1x1 , x I 0i 1组合优化问题为：n n 2min p o j x xXi 1 j 1ns.tX0R0Xiri Ro x (r Rl)pi 1nxo 1xi 1 x Ii 1用拉格朗日乘子法可得，上述优化问题的解为x ( p Ro)1(r Rol)/(C 2RoB R；A)相应的最小方差：2(x ) ( p Ro)2/(C 2RoB RoA)即为：p Ro(x ) . C2&BR：A注：p Ro是冒风险所得的收益，它相应的风险用(x )度量。定义：罟称为Sharpe比，用符号S.R表示，其含义为单位风险所得的收 益O注：S.R反映了风险的收益，它是点(o,Ro)与抛物线2(x)丄(A 2 2B p C)上点(x ),)连线的斜率，S.R越大越有效，最大值就是 p Ro(x ) . C 2RoB RA 与抛物线 2(x)丄(A 2 2B p C)的切点(t, t)连线的斜率。特别当xo 0的投资正好是p Ro(x) .c 2RoB R：A 与抛物线 2(x)(A 2 2B p C)的切点(t, t)并且0C BR0C 2BR0 r0!At B AR0， t(B AR)2相应的最优策略 x(t)1(r R0I)/(B AR0)显然可以算出:Var(x(t)R) x(t) x(t) x(t)(r RJ)/(B AR0)定理：切点（t, t）处，得最优策略x（t）满足ARo)Cov(R, x(t)R) (r R0I )/(B由上式与 Var(x(t)R) (r R0)/(B AR0)可得Cov( R,x(t)R) Z 1 Var (x (t) R) ( tR0 丿上式说明，在每一种风险资产i上的投资Xi的平均超额收益r, R0与市场超额收益t R0成比例，这个比例只与R （第i种风险资产的收益）与x（t）R （市场平均收益）的协方差有关，而且比例系数就是 Ri （第i种风险资产的收益）与x（t）R （市场平均收益）的统计回归系数。令Cov(R,x (t) R)Var(x(t)R)就可以得到著名的CAMP模型：r R0I（ t R0） camp模型的统计分析（实证检验）只 Sharpe-Lintner 形式用z, R,R0表示风险资产i的在t时刻的超额收益率，i 1,2,.NZMt表示市场收益率ZM在t时刻的值，t 12.T 由Zit与ZMt之间的线性关系可假设计量模型为:ZitiZMtit , t 1,2,T , i 1,2,.N假定 a) E ti 0 , Cov( i，j) j1，i j ” tij 0,i j ， i , J 1,2,. I在已知样本数据(Zt,ZMt)条件下利用最小二乘法就可以得到，的估计值？，?,? 0b)若假设T是正态分布，就可以对估计量进行假设检验。主要结论是：? N, ? N , ?W ;(?,?)与？相互独立。对市场是否满足CAMP模型进行假设检验，即：检验假设H。：0三种检验方法：1) 已知，用Wald统计量当 H。：0 时，t1?1 ?(T(1 zM /SM) 1)2(N)2) 未知，用T统计量2 1_ 22 1 2T ?(T(1 Zm/Sm) ) (N)构造统计量T N 1 ? 1 ?TF(N T N 1)N(T 2) - (1 zM/SM) F(N, T N l)3) 似然比检验J Black形式如果不用无风险收益率，在 CAPM模型中可以用rM0 与市场收益率M不相关的组合投资收益率来代替 R。，不同之处是M0是存在，但不能被观 察到，在模型里把它当未知参数 处理，用Rt和rMt分别表示第i种证券在t 时的收益率，市场组合投资收益率，则 CAPM可写为：Riti (rMt) it ， t 1,2,.T ， i 1,2,.N此时市场计量模型可假设为：Riti ( rMt ) it ， t 1,仍然可以用统计方法来估计： , , ， 进而还可以对市场是否满足 CAMP 模型进行假设检验，.T检验假设H0 : 0 1.2 一般均值一方差资产组合选择模型臺单阶段Markowitz模型的推广n2Xi1）不相关风险资产的简化模型2min pxns.tXi 仃 x ri 1nXi 1i 1Xi 0 i 1,2,.,n实际应用中相当于将XjXjj 1ijX X规范化，将对称矩阵对角化2）单指数资产组合选择模型风险资产的收益率由一个外在因素I和随机因素决定Riaibi Ii， i 1,2,., nERi ai bj EI E i ai b i2 ERi ERi23）多指数资产组合选择模型风险资产的收益率由多种不同外在因素I和随机因素决定。Ri ai bi1 I 1biM I M i，i 1,2,.,nERj ai bn E11biM EI mE i 3i bi1 i12 2I ERi ERi4）带有约束（限制买空卖空）的Markowitz 模型i 1nminX2 2 2 pXi ii 1s.tnXi1liXihi1,2,., n5)多目标规划模型. 2 min p2XinmaxXi 1XiAxr pns.t. Xi 1i 1Xi0 i 1,2, .,n昼多阶段资产组合选择模型1) 离散事件资产组合选择模型假设投资者初始资产为 Wo 1，按资产组合X1(Xn,X21,.Xn11)投资到n1种收益率为R1(rn,r21,.rn11)的资产上，期末的财富为：W1R1X12) 连续时间资产组合选择模型叠收益一风险型资产组合选择模型1) 均值一绝对离差模型2) Sharpe比模型3) 均值一风险(downside-risk measure . VaR CVaR, EaR,)型模型