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第二节一次函数知识点一知识点一 一次函数和正比例函数的概念一次函数和正比例函数的概念1 1一次函数：若两个变量一次函数：若两个变量x x，y y间的对应关系可以表示成间的对应关系可以表示成y ykxkxb(kb(k，b b为常数，为常数，k0)k0)的形式，则称的形式，则称y y是是x x的一次的一次函数其结构特征：函数其结构特征：k_k_；x x的次数是的次数是_；常数；常数项项b b可为任意实数可为任意实数00 1 1 2 2当当b b _时，时，y ykx(k0)kx(k0)为正比例函数，正比例函数为正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数是一种特殊的一次函数0 0正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数函数知识点二知识点二 一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质函数名称函数名称正比例函数正比例函数一次函数一次函数表达式表达式y ykx(k0)kx(k0)y ykxkxb(kb(k，b b为常数，为常数，k0)k0)图象形状图象形状及特点及特点过原点的一条直线过原点的一条直线过点过点(0(0，b)b)且平行于且平行于y ykxkx 的的一条直线一条直线作图方法作图方法过点过点(0(0，0)0)，(1(1，k)k)作直作直线线过点过点(0(0，b)b)，( (，0)0)作直线作直线图象、图象、性质性质K K0 0 时，图时，图象经过一、象经过一、三象限，三象限，y y随随x x的增大而的增大而_k0k0时，图时，图象恒过一、象恒过一、三象限，三象限，y y随随x x的增大的增大而而 _b0b0时，图时，图象过象过 _象限象限b0b0时，时，图象过图象过 _象限象限 增大增大增大增大一、二、三一、二、三一、三、四一、三、四图图象象、性性质质k0 k0 时，图时，图象经过二、象经过二、四象限，四象限，y y随随x x的增大的增大而而 _k0k0b0时，时，图象过图象过_象限象限b0byy2 2；当直线；当直线l1 1在直线在直线l2 2下方时，下方时，y y1 1y0 b0 kxkxb0 b0k0，b0 Bb0 Bk0k0，b0b0C Ck0k0，b0 Db0 Dk0k0b0 D D 2 2(2013(2013济南济南) )若直线若直线y ykxkx与四条直线与四条直线x x1 1，x x2 2，y y1 1，y y2 2围成的正方形有公共点，则围成的正方形有公共点，则k k的取值范围是的取值范围是 _._.k2k212考点二考点二 确定一次函数的表达式确定一次函数的表达式 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度待定系数法待定系数法例例2 2 (2017 (2017槐荫一模槐荫一模) )如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD的四个顶点的四个顶点A A，B B，C C，D D的坐标分别为的坐标分别为( (1 1，1)1)，( (1 1，3)3)，(5(5，3)3)，(1(1，3)3)，则其对称轴的函数表达式为，则其对称轴的函数表达式为 【分析分析】 先求出先求出ADAD，BCBC的中点坐标，然后的中点坐标，然后用待定系数法求出对称轴的函数表达式用待定系数法求出对称轴的函数表达式【自主解答自主解答】 A A，B B，C C，D D的坐标分别为的坐标分别为( (1 1，1)1)，( (1 1，3)3)，(5(5，3)3)，(1(1，3)3)，ADAD，BCBC的中点坐标分别为的中点坐标分别为(0(0，2)2)，(2(2，0)0)设对称轴的函数表达式为设对称轴的函数表达式为y ykxkxb(k0)b(k0)，则则 解得解得对称轴的函数表达式为对称轴的函数表达式为y yx x2.2.故答案为故答案为y yx x2.2.b22kb0k1b2 用待定系数法求一次函数表达式，需要确定一次函数图象用待定系数法求一次函数表达式，需要确定一次函数图象经过的两个点的坐标，求解关于经过的两个点的坐标，求解关于k k，b b的方程组的方程组3 3如图，过点如图，过点A A的一次函数的图象与正比例函数的一次函数的图象与正比例函数y y2x2x的图的图象相交于点象相交于点B B，则这个一次函数的表达式是，则这个一次函数的表达式是 _y yx x3 34 4(2016(2016槐荫二模槐荫二模) )如图，直线如图，直线ABAB的函数关系式为的函数关系式为y y x x3 3，直线，直线ACAC与直线与直线ABAB关于关于y y轴成轴对称，则直线轴成轴对称，则直线ACAC的函数表达式为的函数表达式为_323yx32命题角度命题角度图象的平移图象的平移 例例3 3 把直线把直线y yx x1 1沿沿x x轴向左平移轴向左平移3 3个单位，所得直线的函个单位，所得直线的函数表达式为数表达式为 【分析分析】由由“左加右减左加右减”的原则直接写出所求直线的表达式的原则直接写出所求直线的表达式【自主解答自主解答】 函数函数y yx x1 1的图象沿的图象沿x x轴向左平移轴向左平移3 3个单位，个单位，所得直线的表达式为所得直线的表达式为y y(x(x3)3)1 1x x4.4.故答案为故答案为y yx x4.4.讲：讲： 混淆图象的平移规律混淆图象的平移规律 一次函数图象的平移规律：左加右减自变量，上加下减一次函数图象的平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项此处需要注意的是，一次函数常数项此处需要注意的是，一次函数y ykxkxb b向左、向右向左、向右平移平移n(nn(n0)0)个单位，得到个单位，得到y yk(xk(xn n) )b b，而不是，而不是y ykxkxn nb.b.练：链接变式训练练：链接变式训练6 65.5.如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线l1 1对应的函数表达式对应的函数表达式为为y y2x2x，直线，直线l2 2与与x x，y y轴分别交于点轴分别交于点A A，B B，且，且l1 1l2 2，OAOA2 2，则线段，则线段OBOB的长为的长为( )( )A A3 3 B B4 4C C D D2 22 3 B B 6 6(2017(2017荆州荆州) )将直线将直线y yx xb b沿沿y y轴向下平移轴向下平移3 3个单位长个单位长度，点度，点A(A(1 1，2)2)关于关于y y轴的对称点落在平移后的直线上，轴的对称点落在平移后的直线上，则则b b的值为的值为_ 4 4 考点三考点三 一次函数与方程一次函数与方程( (组组) )、不等式的关系、不等式的关系 (5(5年年3 3考考) )例例3 3 (2016 (2016济南济南) )如图，若一次函数如图，若一次函数y y2x2xb b的图象交的图象交y y轴于点轴于点A(0A(0，3)3)，则不等式，则不等式2x2xb b0 0的解集为的解集为( () )A Ax x B Bx x3 C3 Cx x D Dx x3 33232【分析分析】 根据点根据点A A的坐标求出的坐标求出b b，令，令y y0 0求出求出x x，从而得出，从而得出点点B B的坐标，观察函数图象，找出在的坐标，观察函数图象，找出在x x轴上方的函数图象所轴上方的函数图象所对应的自变量取值范围，由此得出结论对应的自变量取值范围，由此得出结论【自主解答自主解答】 一次函数一次函数y y2x2xb b的图象交的图象交y y轴于轴于点点A(0A(0，3)3)，b b3.3.令令y y0 0，则，则2x2x3 30 0，解得，解得x x ，点点B( B( ，0)0)当当x x 时，一次函数图象在时，一次函数图象在x x轴上方，轴上方，不等式不等式2x2xb b0 0的解集为的解集为x x . .故选故选C.C.32323232讲：讲： 函数图象与不等式的关系函数图象与不等式的关系 利用函数图象求不等式的解集时，最易触雷的地方是利用函数图象求不等式的解集时，最易触雷的地方是不理解图象与不等式的关系，无法从图象中得出不等式的不理解图象与不等式的关系，无法从图象中得出不等式的解集解集练：链接变式训练练：链接变式训练7 77 7(2015(2015济南济南) )如图，一次函数如图，一次函数y y1 1x xb b与一次函数与一次函数y y2 2kxkx4 4的图象交于点的图象交于点P(1P(1，3)3)，则关于，则关于x x的不等式的不等式x xb bkxkx4 4的解集是的解集是( )( )A Ax x2 B2 Bx x0 0 C Cx x1 D1 Dx x1 1 C C 8 8(2017(2017济南济南) )将一次函数将一次函数y y2x2x的图象向上平移的图象向上平移2 2个单位个单位后，当后，当y0y0时，时，x x的取值范围是的取值范围是( )( )A Axx1 B1 Bx1x1C Cxx2 D2 Dx2x2A A考点四考点四 一次函数的综合一次函数的综合 (5(5年年1 1考考) )例例5 5 (2013 (2013济南济南) )如图，点如图，点A A的坐标是的坐标是( (2 2，0)0)，点，点B B的坐标是的坐标是(6(6，0)0)，点，点C C在第一象限内且在第一象限内且OBCOBC为等边三角形，直线为等边三角形，直线BCBC交交y y轴于点轴于点D D，过点，过点A A作直线作直线AEBDAEBD，垂足为，垂足为E E，交，交OCOC于点于点F.F.(1)(1)求直线求直线BDBD的函数表达式；的函数表达式；(2)(2)求线段求线段OFOF的长；的长；(3)(3)连接连接BFBF，OEOE，试判断线段，试判断线段BFBF和和OEOE的的数量关系，并说明理由数量关系，并说明理由【分析分析】 (1) (1)在在RtRtOBDOBD中，求出中，求出ODOD，得出点得出点D D的坐标，利用待定系数法求出的坐标，利用待定系数法求出直线直线BDBD的表达式即可；的表达式即可；(2)(2)分别求出分别求出BAEBAE和和AFOAFO的度数，即可得出的度数，即可得出OFOF；(3)(3)在在 RtRtABEABE 中，先求出中，先求出BEBE，再证明，再证明COECOEOBFOBF，可得可得BFBF和和OEOE的数量关系的数量关系【自主解答自主解答】 (1) (1)OBCOBC是等边三角形，是等边三角形，OBCOBC6060，OCOCBCBCOB.OB.点点B B的坐标为的坐标为(6(6，0)0)，OBOB6.6.在在RtRtOBDOBD中，中，OBCOBC6060，OBOB6 6，ODBODB3030，BDBD1212，ODOD 6 6 ，点点D D的坐标为的坐标为(0(0，6 )6 )2212633设直线设直线BDBD的函数表达式为的函数表达式为y ykxkxb b，则则 解得解得直线直线BDBD的函数表达式为的函数表达式为y y x x6 .6 .(2)OCB(2)OCB6060，CEFCEF9090，CFECFE3030，AFOAFO3030. .又又OBCOBC6060，AEBAEB9090，BAEBAE3030，BAEBAEAFOAFO，OFOFOAOA2.2.6kb0b6 3k3b6 3. 33(3)(3)如图，连接如图，连接BFBF，OE, OE, A(A(2 2，0)0)，B(6B(6，0)0)，ABAB8.8.在在RtRtABEABE中，中，ABEABE6060，ABAB8 8，BEBE ABAB4 4，CECEBCBCBEBE2 2，OFOFCECE2.2.在在COECOE和和OBFOBF中，中，COECOEOBFOBF，OEOEBF.BF.12CEOFOCEBOF60 ,COOB, 9 9如图，在平面直角坐标中，四边形如图，在平面直角坐标中，四边形OABCOABC的边的边OCOC，OAOA分别分别在在x x轴、轴、y y轴上，轴上，ABOCABOC，AOCAOC9090，BCOBCO4545，BCBC12 12 ，点，点C C的坐标为的坐标为( (1818，0)0)(1)(1)求点求点B B的坐标；的坐标；(2)(2)若直线若直线DEDE交交BOBO于点于点D D，交，交y y轴于点轴于点E E，且且OEOE4 4，ODOD2BD2BD，求直线，求直线DEDE的表达式的表达式2解：解：(1)(1)如图，过点如图，过点B B作作BFxBFx轴于点轴于点F F，在在RtRtBCFBCF中，中，BCOBCO4545，BCBC12 12 ，CFCFBFBF12.12.点点C C的坐标为的坐标为( (1818，0)0)，ABABOFOF181812126 6，点点B B的坐标为的坐标为( (6 6，12)12)2(2)(2)如图，过点如图，过点D D作作DGyDGy轴于点轴于点G G，ABDGABDG，ODGODGOBAOBA， . .ABAB6 6，OAOA1212，DGDG4 4，OGOG8 8，D(D(4 4，8)8)，E(0E(0，4)4)设直线设直线DEDE的表达式为的表达式为y ykxkxb(k0)b(k0)，DGABDGOAODOA23将将D(D(4 4，8)8)，E(0E(0，4)4)代入，代入，得得 解解 得得 直线直线DEDE的表达式为的表达式为y yx x4.4.4kb8b4k1b4
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