实变函数综合练习题

实变函数综合练习题实变函数综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C） （D）3、设是康托集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C） （D）4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个内点，则（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的连续函数4、设在可测集上可积，则（ B、D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积5、设是的单调函数，则（ A、C、D）（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ ）2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，而是闭集，不是开集。2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？答：简单函数是可测函数；可测函数不一定是简单函数；可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：单调函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、求。解： 因为而 所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即或且所以 或，即。反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的有理点全体，则是可测集且。证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，如果，则。证明：因为且，所以从而由题设 又在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得即。5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，。证明：记，其中显然在上，且于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。实变函数综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是闭集，则（ B ）（A）的内部 （B） （C） （D）3、设是有理数集，则（ C ）（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）（A）是开集 （B）是开集（C）是闭集 （D）是开集5、 设是中的可测集，都是上的可测函数，若，则（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上， （D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、若的外测度为零，则（ B、D ）（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、 设，是两个集合，则 2、设，如果满足，则是 开 集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减函数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ ）2、任何无限集均都是可数集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：连续函数是可测函数；可测函数不一定连续；可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：绝对连续函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与积分的关系得。2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以 且，即。反之，对任意，有且，即且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。5、设可测集上的非负可测函数列，且（）， 存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因可得，于是，当时，有因此，当时，并注意到和可得所以。充分性：对任意，由可得 ，从而。实变函数综合训练题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B）（C） （D）2、若是孤立点集，则（ B ）（A） （B） （C）的内部 （D）3、设是上的无理数集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）4、设是上的单调函数，则（ D ）（A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A），在上几乎处处为零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是上康托集，则（B、C）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个聚点，则（C、D ）（A） （B） （C）可能是可数集 （D）可能是不可数集3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的不可测函数4、设在可测集上不可积，则（ B、D ）（A）和都在上不可积 （B）和至少有一个在上不可积（C）在上可能可积 （D）在上一定不可积5、设是的有界变差函数，则（ A、D）（A）在上几乎处处连续 （B）是的连续函数（C）在上不可导 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 2、设，如果满足，则是 完全 集。3、若开区间和是直线上开集的两个不同的构成区间，则。4、设是无限集，是至多可数集，则的基数 。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的有限实函数，若对任意实数，都有是可测集，则是可测集上的 可测函数 。7、设是孤立点集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则 不一定成立 。9、设是上的可测函数，则在上的可积的充要条件是在上 勒贝格可积 。10、若是上的有界变差函数或绝对连续函数，则上的导数 几乎处处存在 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个型集的并集仍为型集。 （ ）2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在开集，使得，且。（ ）4、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，且存在（可为），则和至少有在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？答：不一定为零测集。例如 ，显然为单元素集，为零测集，不是零测集。2、上的可测集与Borel集的关系？答：Borel集是可测集；可测集不一定是Borel集；可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。3、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：可测集上的连续函数一定是可测函数；可测集上的可测函数不一定是连续函数；对上的一个可测函数，任取，在可测集中去掉一个测度小于的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即，且所以 或，即。反之，对任意，有且，即，且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的无理点全体，则是可测集且。证明： 记是中的有理点全体，由于是可数集，从而可测，且。又，所以，是可测集且。3、设，证明：是上的可测函数的充要条件是为可测集。证明：充分性：因为是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，特别取，注意到，可得为可测集。必要性：若为可测集，则是上的简单函数，从而为上的可测函数。4、设为可测集上的可测函数列，若，则在上。证明：对任意，由于所以，即在上。5、设，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：。证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的，存在可测集，在上一致收敛于，从而对题设中的，存在，当时于是，当时，并注意到题设的条件，有。即 。实变函数综合训练题（四）（含解答）一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）考核对典型集合掌握的情况（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）3、若的外测度为零，则（ B、D ）考核零测集的特点（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 4、若至少有一个内点，则（ B、D ）考核典型集的外测度可数性的特点（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集5、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）考核可测函数与勒贝格积分的简单综合（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 6、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）考核特征函数的特点（A）上的简单函数（B）上的可测函数 （C）上的连续函数（D）上的连续函数7、若在可测集上有积分值，则（A、C ）考核勒贝格积分的定义（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积8、设在可测集上可积，则（ B、D ）考核勒贝格积分的定义（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积9、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导10、设是的单调函数，则（ A、C、D）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导二、单项选择题（每题仅有一个正确答案）1设是中的无理点全体，则是（）.考核对典型集合掌握的情况（）可数集 （）有限集 （）不可数集 （）零测集2下面集合关系成立的是（）. 考核对集合的基本运算掌握的情况（） （） （） （）3若至少有一个内点，则有（）. 考核对典型集合外测度掌握的情况（） （） （）（） 4设是开集，则（ ）.考核开集闭集的基本特征（） （） （） （）5设是可测集，则的特征函数是上的（）. 考核对集合的特征函数的认识（）简单函数 （）常函数 （）连续函数（）单调函数6设是有理数集，,则是上的（）.考核目标同上题（）连续函数（）单调函数（）简单函数（）定积分存在的函数7设在可测集上勒贝格可积，则（）. 考核勒贝格积分的定义（）和有且仅有一个在上勒贝格可积；（）和都在上勒贝格可积（）和都在上不勒贝格可积；（）在上不勒贝格可积8设是上的无理数集，表示连续基数，则（）. 考核对典型集合基数和测度掌握的情况（） （） （） （）9设是上的单调函数，则是上的（）. 考核基本的有界变差函数和绝对连续函数（）连续函数 （）绝对连续函数 （）可导函数 （）有界变差函数10设在上绝对连续，则在上（）.考核绝对连续函数的关系的基本性质（）有界变差 （）可导 （）单调 （）连续可微三、填空题1设，为的两个子集，则等于 考核集合之间的基本关系2设，为两个集合，则 等于 考核目标同上3设，如果满足，则是 闭 集考核开集、闭集的定义4设，如果中的每一点都是内点，则是 开 集考核开集、闭集的定义5若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足且 考核开集的构成区间的定义和特点6设是上的开集,若开区间满足且,则称是开集的 构成 区间考核开集的构成区间的定义和特点7设是无限集，则的基数 大于或等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质8设是偶数集，则的基数 等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质9设，为可测集，则 大于或等于 考核测度的性质，单调性和次可加性10设，为可测集，则 小于或等于 考核测度的性质，次可加性11设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数. 考核可测函数的定义12设是可测集上的可测函数，则对任意实数，()，有是 可测 集. 考核可测函数的基本性质13设是可数集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度14设是康托集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度15设函数列为可测集上的可测函数列，且在上依测度收敛于，则存在的子列，使得在上 几乎处处收敛于 . 考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理16设,是上的可测函数列，是上的实函数,若在上几乎处处收敛于，则在上 依测度 收敛于.考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理 17设在上黎曼可积，则在上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 考核黎曼积分与勒贝格积分的关系18设,都在上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在上勒贝格积分值 相等 考核勒贝格积分的基本性质19若是上的绝对连续函数，则 是 上的有界变差函数考核有界变差函数和绝对连续函数的关系20若是上的有界变差函数，则可以表示成两个单调函数的 和或差 考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）1无限个闭集的并集仍为闭集考核开集、闭集的性质答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。2无限个开集的交集仍为开集考核开集、闭集的性质答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。3无限集均含有一个可数子集考核可数集的性质答：对，因为这是可数集与无限集的关系。4无限集都是可数集考核无限集的分类答：不对，因为无限集还包括不可数集。5设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可测集与型集的关系。6设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可数集与型集的关系。7设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数考核可测函数的基本性质答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。8设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测考核可测函数的基本性质答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得在上可测。9设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。10设是可测集上的可测函数，则一定存在考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证存在。五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）1简述无穷多个开集的交集是否必为开集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为开集其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。2简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为闭集其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。3可测集上的可测函数与简单函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。4可测集上的可测函数与连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意，在中去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理）。5上的有界变差函数与单调函数有何关系？考核单调函数与有界变差函数的关系要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。6上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？考核有界变差函数与绝对连续函数的关系要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题（注意这类题要写出主要步骤）1设，其中是有理数集，求考核简单的勒贝格积分的计算解：因是至多可数集，得在上几乎处处成立。所以由勒贝格积分的惟一性，。2设，其中是康托集，求考核简单的勒贝格积分的计算解：由康托集为零测集，即，得在上几乎处处成立。所以。注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用积分的惟一性。3求考核勒贝格控制收敛定理的简单应用解：因为，且而在勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理。4设,求考核勒贝格控制收敛定理的简单应用解：因为，且而显然在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理。注意：上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。七、证明题1证明：证明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定义证明。2证明：证明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定义证明。3设是中的有理点全体，则是可测集且提示：用外测度的定义证明证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。4设，且，则是可测集提示：用可测集的定义证明。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。5证明：上的实值连续函数必为上的可测函数证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。6证明：上的单调函数必为上的可测函数证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。7设是可测集上的勒贝格可积函数，为的一列可测子集，如果，则证明：因为且，所以从而由题设 又在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得即。8设是可测集上的可测函数，则在上勒贝格可积在上勒贝格可积证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。9设是可测集上的勒贝格可积函数，为中的一列递增可测子集，证明:证明：记，其中 显然在上，且 于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论10设是可测集，且，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：证明：由题设及叶果洛夫定理得，对题设中的，存在可测集，使得, 在上一致收敛于， 从而对题设中的，存在，当时于是，当时，并注意到题设的条件，有即 . 24