有理数提高题

有理数基础训练题一、填空：1、 在数轴上表示一2的点到原点的距离等于（）。2、若 I a I = a,则 a （） 0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果a+b=O,那么a、b 一定是（）。5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。6 已知 |a| 3,|b| 2,|a b| a b，则 a b （）7、|x 2| |x 3|的最小值是（）。1 18、 在数轴上，点A、B分别表示 -，则线段AB的中点所表示的数是（）4 2a b 20109、若a,b互为相反数，m,n互为倒数，P的绝对值为3,则mn p2P（）。10、若 abc0,则 |a| |b|a b|c|的值是（c).11、下列有规律排列的一列数:.32531、一、一、一、一、4385，其中从左到右第100个数是（）二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、 y、z这三个数两两之积的和。3、若2x |4 5x| |1 3x| 4的值恒为常数，求x满足的条件及此时常数的值15、计算：一24、若 a,b,c 为整数，且 |a b |2010 |c a |2010 1，试求 |c a| |a b| |b c| 的值5 7911131517+ _ 一111 122030425672能力培训题知识点一：数轴例1：已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（）A. ab b B . ab b C . a b 0 D拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在 有（ ）A. 1 B . 2 C . 3 D . 43、把满足2 a 5中的整数a表示在数轴上,.a b 0a b,b 2a, a b, b a中，负数的个数aO b并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2:如果数轴上点 A到原点的距离为 3，点B到原点的距离为 5,那么A、B两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为 3,则a 3.2、 已知数轴上有 A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点 B与原点O的距离之和等于 。3、利用数轴比较有理数的大小；例 3 :已知a 0,b0且a b 0 ,那么有理数a,b, a, b的大小关系是。（用“ ”号连接）拓广训练：1、若m 0, n 0且m n，比较 m, n, m n,m n, n m的大小，并用“”号连接。例4：已知a 5比较a与4的大小拓广训练:1、已知a3，试讨论a与3的大小2、已知两数a,b，如果a比b大，试判断 a与b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c化简结果为（）A. 2a 3b c B . 3b c C . b c D . c b-1 a O 1 b c拓广训练：1、有理数a, b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a b b 1 a c 1 c的结果为。b a O c 12、已知a b a b 2b，在数轴上给出关于 a,b的四种情况如图所示，则成立的 ， | | a 0 bb 0 aOab0 b a 3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图：则c 1 a c a b化简后的结-1cOa bA. b 1 B.2ab 1 C .12ab2c D.1 2c b三、培优训练1、已知是有理数，且2x 12y 120,那以xy的值是（）131亠33A. Bc .或D1或一222222、如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B ,再向右移动5个单位长度到达果是（）点C .若点C表示的数为1，则点A表示的数为（)A. 7B. 3C. 3D. 251B匚20 13、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点 A、B、C D对应的数分别是整数a,b,c,d且d 2a 10，那么数轴的原点应是（A. A点 B . B点 C . C点4、数a,b,c,d所对应的点A, B,C,D在数轴上的位置如图所示，那么a c与bd的大小关系是.不确定的A . a c b d B . a5、不相等的有理数 a,b,c在数轴上对应点分别为么点B （A.在A C点右边 B .在A、C点左边 CA、C点之间.以上均有可能.只一个x使y取最小值.有无穷多个x使y取最小值8、0,b0,则使 x ax是有理数，则100x 221x b a b成立的x的取值围是x書的最小值是x 1 ,则下面四个结论中正确的是（A. y没有最小值C.有限个x （不止一个）使y取最小值D1 1在数轴上，点 A, B分别表示 丄和1，则线段AB的中点所表示的数是3510、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示:且 6a 6b 3c 4d 6,求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值。d b O a c11、（市中考题）（1）阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数 a,b , A、B两点这间的距离表示为AB，A、B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点,如图1，AB OB bA、B两点都不在原点时,O (A)如图2,占八、A、B都在原点的右边ABOB如图3,占八、A、B都在原点的左边ABOB OA如图4,占八、A、B在原点的两边 ABOAOB综上，数轴上A、B两点之间的距离 AB（2 ）回答下列问题:数轴上表示 2和5两点之间的距离是b o a数轴上表示-2和-5的两点之间的距离，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是数轴上表示X和-1的两点A和B之间的距离是，如果AB 2，那么x当代数式x 1x 2取最小值时,相应的 x的取值围是求x 1 x 2 x 3 x 1997的最小值。聚焦绝对值、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续 要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式 的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌 握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa0a0a0aa02、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 a表示数a的点到原点的距离；a b表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质 a 0 a2 a $ a2 a b a b a b a b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例1:已知a 5, b3且a bb a那么a b拓广训练:1、已知 a 1, b 2, c 3,且 ac，那么 a2、若a8, b5，且a b 0 ,那么a b的值是(A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-13拓广训练：1、已知x 3 x 2的最小值是a , x 3 x 2的最大值为b，求a b的值。三、培优训练1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示:-2 a -10 b 1则在ab,b 2a, b a, a b, a 2, b 4 中，负数共有(A. 3个 B . 1个C . 4个D . 2个2、若m是有理数，则 m m 定是A.零B .非负数 C.正数 D .负数3、如果x 2那么X的取值围是（4、a,b是有理数，如果是负数，其中（）b，那么对于结论（1） a 一定不是负数；（2） b可能8、A.只有（1）正确 B已知A.已知满足.只有（2）正确 C . (1) ( 2)都正确 D.(1)（2）都不正确a，则化简0 a 4，那么A. ab10、若 ab2所得的结果为（2a 3 D . 3 2ab a b成立的条件是（0 B . ab 1 C . ab的最大值等于（D . ab 15，则代数式x 52 x的值为x0，则a的值等于b ababc的值。 abc11、已知a,b,c是非零有理数，且 abc 0,abc 0,求a 2 ai ib13、阅读下列材料并解决有关问题:xx0我们知道x0x0，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,xx0如化简代数式 x 1x 2时，可令x 10和x 20，分别求得x1,x2 （称1,2分别为x 1与x 2的零点值）。在有理数围，零点值 x 1和x 2可将全体有理（1 ）当 x1时，原式=x 1x 2（2 ）当1 x 2 时，原式=x1x 2（3 ）当 x2时，原式：=x 1x2 2x2x1x1综上讨论，原式=31x 22x1x2通过以上阅读，请你解决以下问题：数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:（1） 分别求出x 2和x 4的零点值;2x 1;3 ；1。（2）化简代数式x 2 x 414、（ 1）当x取何值时，x 3有最小值？这个最小值是多少?（2 ）当x取何值时，5x2有最大值？这个最大值是多少？ （ 3）求xx 5的最小值。（4 ）求x 7 x 8 x 9的最小值。15、某公共汽车运营线路 AB段上有A D C B四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建 一个加油站 M,为了使加油站选址合理，要求 A, B, C, D四个汽车站到加油站 M的路程总 和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题:在一条直线上有依次排列的 n n 1台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站 P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”至吐匕较简单的情形：AiA?Ai A?（ p） D A3甲P乙甲-乙丙- 如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时，很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行， 因为甲和乙分别到 P的距离之和等于 A到A2的距离.如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床 A?处最合 适，因为如果 P放在A2处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 A1到A3的距离；而如果 P 放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到 P的距离之和仍是 A1到A3的距离，可是乙还得走 从A?到D近段距离，这是多出来的，因此 P放在A?处是最佳选择。不难知道，如果直线上 有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题（1）的结论，求 x 1 x 2 x 3x 617的最小值。有理数的运算、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观 察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。例2:计算:249一5025、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律cac加法交换律abba乘法运算律加法结合律a b c a b c乘法交换律a b 乘法结合律a b cb a a bab乘法分配律a bc23例1：计算：23422.7572533解：原式=4.6422.757 24.62.75 3 4.6 5.751.1533拓广训练：1、计算（1）0.60.08 -270.922 51111/C、 31591719（2）369 -41141144解：原式=1050110 505050024982525拓广训练:1、计算：2 3 4 52、裂项相消(1)ab(2)n n(4)例3、计算20092010解：原式=20092010拓广训练:201033420092009201020101、计算：-12007 2009例4:计算：713712173817 271113 -85271739172739解：分析：73412437761716,27 26,11 -10 -272717173939人A121738713734)2476令 A=13-85，则1727-11 1626 -10 1727392717392717393、以符代数原式=2A A 22A拓广训练:1、计算:1111 12111 121111123200632005320062320054、分解相约例5:计算：1242482n 2n 4n1392618n 3n 9n1解：原式=2421242n 1 2 4=1 241 22n川干.丿朋丄51392139n 1 3 91 391 2n1242641 3 9729三、培优训练20091、a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，则a2007-20082、计算：(1)1 1113 5577 91997199940.258 3 22 46 33、若a与b互为相反数，则 1898a299b2 =1997ab1 1313513974、计算:= 。2446669898985、计算:2 222324 2526 2728 29210 =。1997971998986、这四个数由小到大的排列顺序199898199999是。7、计算：3.1431.46280.68668.6 6.86=(8、A. 3140 B1000 D12001 2 32 4 6A. 149、计算:48144142822.5 3A.2 9101 4.52010、22为了求122仿照以上推理计算出A、5200911、a1, a2, a3,a2A. M N12、23小2009252竺等于3012402008 ,2 的值，可令S= 12009因此2S-S = 21，所以153B、 52010a2004都是正数，如果a2004a2a3设三个互不相等的有理数,19992000求a b 的值13、计算(1) 5.7 0.0003652009的值是(_2009/C 514既可表示为a2a 2003，那么22 23D、a20032 2008，则 2S =小200822009/21201054a2 a3a2004 ,M,N的大小关系是N D .不确定1,a b,a的形式，又可表示为 0,- ,ba0.19 0.006 5700 0.000000164的形式,(2)0.25 4313136.514、已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,ab 2003的值00-00OO*OV00-0000-00求 x31 m n ab x2 m n x200115、已知ab 2 a 20,求1 111的值2006ab a 1 b 1a 2 b 2a2006 b16、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1 2 3 L n n(n 1 如果图中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4 ,L，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ; (2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23 , 22, 21, L，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.【专题精讲】【例1】计算下列各题3 3 )0.7540.52251237 (125)3 333 3(4)4 ( 4)(0.125)12 ( 12)7 ( 8)13 ( 3)95【例2】计算:1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 L2005 2006 20072008【例3】计算：丄1丄11, 1 L261220309900/、 1111 -L1 33 55 799101反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。1 1 1 丄 丄丄 n(n 1) n n 11n(n k)1(-k n1n(n 1)( n 2)1 1 12n(n 1) (n 1)(n 2)宀）1 1例 4】（第18届迎春杯）计算:1 1 1 1 L 2481024【例5】计算:1121231234-(-)(-)(-)L23344455551235859L)6060606060【例6】计算:1111融)(23 1L2010)(1L200912011 L3【例7】请你从下表归纳出13 23 33 43 L n3的公式并计算出:13 23 33 43 L 503 的值。12345246810369121548121620510152025【实战演练】1、用简便方法计算：999998998999998 9999999981(20043、已知a1L (10021999 -,b11) ( 1)20031999 19991)1998 1998 19981 1( 1)(100110002000 2000 2000,c1999 199919991)2001 2001 20012000 2000 2000则abc4、计算：11 13 15 13 15 171 2 4 23 9 2*5、（“聪明杯”试题）（19f1(129 31 338 L n 2n 4n、218 L n 3n 9n)1 申000）（1冠济）的值得整数部分为A. 1提示：（n1)22n12164019 218、计算:2 2223220109、计算11r 2的值.1 2 310010、计算:值。131 1 (1 2)(1 3)12010的11 1(1丄)(11)L (1232010参考答案基础训练题、填空。1、2；2、w；3、非负数；4、互为相反数；5、0.1220毫米；6、5 或 1;7、5;18、占；9、一8;10、土 3, 1; 11101、 。8200二、解答题。1、25 或 87;3、当1 x 4时,常数值为7;4、 2;5、13596、不可能，因为每次翻转其中任意4个，无论如何翻转,杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例1、D拓广训练：1、B;3、因为 2a 5, 5 a 2，所以 543 3 4 5例2、8或2 拓广训练：1、0或一6;2、12例3、b a a b拓广训练：1、题目有误。例4、解：当4 a 5时，a 4 ；当 4 a 4时，a 4 ；当a 4时，a 4.拓广训练：略。例5、C 拓广训练：1、一 2;2、3、D三、培优训练1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D11957、； 8、b x a ； 9 、1522110、5； 11、3，3，4; x 1，1 或3; 1 x 2 :997002聚焦绝对值例1、一2或一8.拓广训练：1、4或0; 2、A例2、A拓广训练：1、通过零点值讨论得a=5,b=5;所以a+b=10.三、培优训练例1、拓广训练：1.2 ;162例2、拓广训练：3411例3、拓广训练：1004例4、拓广训练：1200920061、A; 2、B;3、D; 4、A; 5、A; 6、B;7、B;8、C9、1;10、1 或3;11、0;12、 7;13、零点值分别为2, 4.略。（分三种情况讨论）14、3；、-2 ；、1；、215、 加油站应建在D,C两汽站之间（包括D,C两汽车站）16 、95172有理数的运算三、培优训练12255、6;1、1; 2998、 ,59976、199819979819991998998 ；3、1 ；49798 ；10、20105421 （原题无答案）7 、C;8、D;9、B;11A；12、0;解析如下:由题意：Q 1 a b a且0 b b aab0或a0又Q a不能为0（分母不能为0)ab0 abb 1又Q 11,即1baa1b,a 111999.20000ab13、 1.8468103，-9214、28 或26;15、迴7 ;16、67, 12092008专题讲解例1、例2、 40962707225例3、4950100101例4、10231024885解析如下:例5、q122 123324442原式例6、2 321201059设12解析如下：2原式二1a2009120101a20102D , 127522解析如下：Q 13239 (1 2)21323 3336 (1 2 3)2例7、实战演练1、1997.解析如下.3333123+n (12 3n)2原式=999X (998998998+1) 998 X (999999999 1)4、2013299分析如下:5、卫4 解析：Q 13 23 33 +n3 (12 3 729n)212 4 18 n3原式-13 9 1 8 n36 A解析如下宀 122Q1 -1 331 12 4328, 1413 515原式2 22 2133 32 44 43 53 3 4 43 52000400013 2 4200120017、20 解析如下:2141181 313 3 511 403519 211 119211921 1111335192120212 1 9、200101解析如下1 112312 34112 341 112 201111 1111111原式 1-2 1 2 -36505023650502612100 10201010、解析如下：Q原式1 11212 3112 3 411 2 2010