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学案12函数模型及其应用导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用自主梳理1三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，) 上的单调性增长速度图象的变化随x增大逐渐表现为与_平行随x增大逐渐表现为与_平行随n值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数yax (a1)与幂函数yxn (n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度_yxn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有_(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn (n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有_由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有_3函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题4函数建模的基本程序自我检测1下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()AvexBv100ln xCvx100Dv1002x2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606B45.6C45.56D45.513(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()AyByCyDy4(2011湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()5一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一一次函数、二次函数模型例1(2011阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二分段函数模型例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费探究点三指数函数模型例3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加假设基金平均年利率为r6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元设f(x)表示第x(xN*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.031 291.32)变式迁移3(2011商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 30.477，lg 20.301)1解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义2考查函数模型的知识表现在以下几个方面：(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是() X1.953.003.945.106.12Y0.971.591.982.352.61A.y2xBylog2xCy(x21)Dy2.61cos x2拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.5m1)(单位：元)，其中m0，m表示不大于m的最大整数(如3.72)3，44)，当m0.5,3.1时，函数f(m)的值域是()A1.06,2.12,3.18,4.24B1.06,1.59,2.12,2.65C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18D1.59,2.12,2.653(2011秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 ()A多赚约6元B少赚约6元C多赚约2元D盈利相同4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为()A4 000元B3 800元C4 200元D3 600元5(2011沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ()A18万件B20万件C16万件D8万件题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2014年的垃圾量为_t.7(2010金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)8已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是_(填序号)买小包装实惠；买大包装实惠；卖3小包比卖1大包盈利多；卖1大包比卖3小包盈利多三、解答题(共38分)9(12分)(2010湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：mx，nx25x，当mn0时，称不亏损企业；当mnxn(2)慢于logaxxnlogax自我检测1A由e2，知当x增大时，ex增大更快2B依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 (x0)当x10时，Smax45.6(万元)3B每10个人可以推选1个，(xmod 10)6可以再推选一个，即如果余数(xmod 10)7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来4A55解析设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，则有0.3x0.09，即x0.3.估算或取对数计算，得5小时后，可以开车课堂活动区例1解(1)每吨平均成本为(万元)则4824832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函数，x210时，R(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元变式迁移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆(2)设每辆车的月租金为x元(x3 000)，租赁公司的月收益为y元，则yx50150162x21 000(x4 050)2307 050，当x4 050时，ymax307 050.答当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050.例2解(1)由图象可知：当t4时，v3412(km/h)，s41224(km)(2)当0t10时，st3tt2，当10t20时，s103030(t10)30t150；当20t35时，s10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.综上，可知S(3)t0,10时，smax102150650，t(10,20时，smax3020150450650，当t(20,35时，令t270t550650.解得t130，t240.204时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，当x时，yf26.4；当x时，yf1010，得()x108，两边取以10为底的对数，得xlg8，x，45.45，x45.45.答经过46小时，细胞总数超过1010个课后练习区1B通过检验可知，ylog2x较为接近2B当0.5m1时，m0，f(m)1.06；当1m2时，m1，f(m)1.59；当2m3时，m2，f(m)2.12；当3m3.1时，m3，f(m)2.65.3B设A、B两种商品的原价为a、b，则a(120%)2b(120%)223a，b，ab466元4B设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在8004 000元之间，(x800)14%420，x3 800.5A利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值6a(1b)a(1b)5解析由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为aaba(1b) t，同理可知2011年的垃圾量为a(1b)2t，2014年的垃圾量为a(1b)5 t.72 500 m2解析设所围场地的长为x，则宽为，其中0x0，所以x4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机(6分)(2)若企业亏损最严重，则nm取最大值因为nmx25xx(x1)2.(9分)所以当x1时，nm取最大值，此时m.故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元(12分)10解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)(5分)f(x)56048(x)56048256048302 000.(10分)当且仅当x时，上式取等号，即x15时，f(x)min2 000.所以楼房应建15层(12分)11解(1)依题意有y(4分)由于y0且xN*，由得6x10，xN*.由得1010时，y3x2130x575，当且仅当x时，y取最大值，但xN*，所以当x22时，y3x2130x575 (10x38，xN*)取得最大值833元(12分)比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多(14分)
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